届福建省龙岩市高三上学期期末教学质量检查数学理试题.docx
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届福建省龙岩市高三上学期期末教学质量检查数学理试题
2020届福建省龙岩市高三上学期期末教学质量检查数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合
，
，则下列判断正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
首先求出集合
，再根据元素与集合的关系以及集合的基本关系与基本运算即可得出选项.
解：
由
，
，
对于A，
，故A不正确；
对于B，集合
中不含
，故B不正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，
，故D不正确；
故选：
C
点评：
本题考查了集合中的基本知识，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.
2．设
，
，则
的值为（）
A．0B．
C．
D．
【答案】C
根据复数的乘法以及复数相等即可求解.
解：
，
则
，
所以
.
故选：
C
点评：
本题考查了复数的乘法运算以及复数相等的概念，属于基础题.
3．如图，一个装饰物的正视图、侧视图都是边长为2，且有一个内角为
的菱形，俯视图是正方形，则这个装饰物的体积为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
由三视图知该几何体是两个大小相同的正四棱锥的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出该几何体的体积.
解：
由三视图知该几何体是两个大小相同的正四棱锥的组合体，
正视图、侧视图均都是边长为2，且有一个内角为
的菱形，
所以正四棱锥的底边边长为
，高为
，
所以组合体的体积为
故选：
A
点评：
本题考查了由三视图求几何体的体积，考查了棱锥的体积公式以及学生的空间想象能力，属于基础题.
4．已知首项为1，公比为
的等比数列
的前
项和为
，则“
”是“
”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
利用充分条件与必要条件的定义以及等比数列的前
和公式即可得出选项.
解：
，当
时，则
，所以
，
当
时，
，解得
，
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：
B
点评：
本题考查了充分条件与必要条件的定义以及等比数列的前
和公式，考查了学生对定义的理解和分析能力，属于基础题.
5．已知圆
被两直线
，
分成面积相等的四部分，且截
轴所得线段的长为4.则圆
的方程是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
由题意可得，圆心
一定是两条直线
，
的交点，联立直线方程求得圆心坐标，再由垂径定理求得半径，则圆
的方程可求.
解：
设圆
的方程为
，
圆
被两直线
，
分成面积相等的四部分，
圆心
一定是两条直线
，
的交点，
联立
，解得
，
，
又圆
截
轴所得线段的长为4，
，
则圆
的方程
.
故选：
B
点评：
本题考查了圆的标准方程以及两直线的交点，属于基础题.
6．函数
的部分图象大致为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图像经过特殊点判断函数的图像即可.
解：
函数
，
设
，可得
为奇函数，
所以
的图像关于
对称，
则
的图像关于
对称，故排除A、C
当
时，
，即
，故排除B.
故选：
D
点评：
本题考查了函数图像的识别，解决此类问题要充分挖掘函数的性质，利用函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊值进行判断，此题属于基础题.
7．如图所示，已知在
中，
，
，
交
于点
，若
，则
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
设
，利用向量加法的三角形法则以及减法的几何意义可得
，从而可得
，再根据
三点共线，可得
，解得
，即可求出
解：
设
，
，
，
，
，
三点共线，
，解得
，
，
，
.
故选：
B
点评：
本题考查了向量加法、减法以及向量共线定理的推论，考查了学生基本知识的应用能力，属于基础题.
8．已知函数
，对任意的
，
，当
时，
，则下列判断正确的是（）
A．
B．函数
在
上递增
C．函数
的一条对称轴是
D．函数
的一个对称中心是
【答案】D
利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期
，从而得到
，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断.
解：
，
又
，即
，
有且仅有
满足条件；
又
，则
，
，
函数
，
对于A，
，故A错误；
对于B，由
，
解得
，故B错误；
对于C，当
时，
，故C错误；
对于D，由
，故D正确.
故选：
D
点评：
本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.
9．某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）.该软件提供了三种奖励方案：
第一种，每闯过一关奖励80慧币；第二种，闯过第一关奖励8慧币，以后每一关比前一关多奖励8慧币；第三种，闯过第一关奖励1慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍）.游戏规定：
闯关者须于闯关前任选一种奖励方案.已知一名闯关者冲关数一定超过3关但不会超过9关，为了得到更多的慧币，他应如何选择奖励方案？
A．选择第一种奖励方案B．选择第二种奖励方案
C．选择第三种奖励方案D．选择的奖励方案与其冲关数有关
【答案】A
设冲关数为
，则
，根据题意分别计算出三种方案获得的慧币，比较即可求解.
解：
设冲关数为
，三种方案获得的慧币为
，
由题意可知：
；
，
；
当
时，
，
，
，
故选择第一种奖励方案.
故选：
A
点评：
本题考查了常见函数的模型，同时考查了等差数列、等比数列的前
项和公式，属于基础题.
10．已知过抛物线
的焦点
的直线交抛物线于
，
两点，则
的最小值为（）
A．4B．8C．9D．12
【答案】C
当直线
的斜率不存在时，可得
，从而可得
，利用焦点弦公式求出
；当直线
的斜率存在时，设出直线
方程：
，将直线方程与抛物线方程联立，可得
，根据焦点弦公式借助基本不等式即可求解.
解：
由题意可知
，
当直线
的斜率不存在时，可得
，所以
，即
；
当直线
的斜率存在时，设斜率为
，则直线
方程：
，
则
，整理可得
，所以
，
所以
，
当且仅当
时，取等号，
故
的最小值为9.
故选：
C
点评：
本题考查了直线与抛物线的位置关系、焦点弦公式以及基本不等式求最值，属于基础题.
11．已知函数
有唯一零点，则
（）
A．
B．-2C．
D．2
【答案】B
通过转化可知问题等价于函数函数
的图像与
的图像只有一个交点求
的值，分
三种情况，结合函数的单调性分析可得结论.
解：
因为函数
有唯一零点，
等价于方程
有唯一解，
等价于函数
的图像与
的图像只有一个交点.
当
时，
，此时有两个零点，矛盾；
当
时，由于
在
单调递减，在
单调递增，
且
在
单调递减，在
单调递增，
所以函数
的图像最低点为
，
的图像的最低点为
，由于
，
故两函数图像有两个交点，矛盾，
当
时，由于
在
单调递减，在
单调递增，
且
在
单调递增，在
单调递减，
所以函数
的图像最低点为
，
的图像的最高点为
，
若两函数只有一个交点，则
，即
.
故选：
B
点评：
本题考查了函数零点个数求参数的取值范围，考查了转化与化归的思想，属于难题.
12．正四面体
的棱长为2，动点
在以
为直径的球面上，则
的最大值为（）
A．2B．
C．4D．
【答案】C
建立空间坐标系，设
，求出
关于
的表达式，根据球的半径得出
的取值范围，利用简单的线性规划得出答案.
解：
设
的中点为
，以
为原点建立如图所示的空间坐标系，
则
，
设
，则
，
，
，
在以
为球心，以
为半径的球面上，
，
，
，
令
，
则直线
与单位圆
相切时，截距取得最小值，
令
，解得
或
的最大值为
.
故选：
C
点评：
本题考查了空间向量的数量积以及简单的线性规划，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于难题.
二、填空题
13．设
，向量
，
，且
，则
______.
【答案】
利用向量垂直数量积为
，求出
，然后将
平方即可求解.
解：
由向量
，
，且
，
所以
，解得
，
则
所以
，
故答案为：
点评：
本题考查了向量数量积的坐标表示以及向量的坐标求向量的模，属于基础题.
14．已知实数
，
满足约束条件
，则
的最小值为______.
【答案】1
作出约束条件的可行域，将目标函数
化为
，利用线性规划求
截距的最小值即可求解.
解：
作出实数
，
满足约束条件
的可行域，如图所示，
由
解得
，
，
作出直线
：
，
将目标函数
化为
，
目标函数过点
时，
，
综上所述，
的最小值为1.
故答案为：
1
点评：
本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出约束条件的可行域，属于基础题.
15．已知双曲线
：
的左焦点为
，过原点的直线与双曲线相交于
、
两点.若
，
，
，则双曲线
的实轴长
______.
【答案】
在
中，由余弦定理可得
，即可得到
，设
为双曲线的右焦点，连接
，根据对称性可得四边形
是矩形，再利用双曲线的定义即可求解.
解：
在
中，
，
，
，
由余弦定理可得
，
从而可得
，解得
，
所以
为直角三角形，
设
为双曲线的右焦点，连接
，根据对称性可得四边形
是矩形，
所以
，所以
.
故答案为：
点评：
本题考查了余弦定理解三角形、双曲线的定义以及焦点四边形，属于基础题.
16．已知数列
的通项公式为
，其前
项和记为
，则下列命题正确的是______.
①数列
为递减数列；
②对任意正整数
，
都成立；
③对任意正整数
，
都成立；
④对任意正整数
，
都成立.
【答案】②④
根据三角函数的性质可判断①，利用三角函数的有界性以及等比数列的前
和公式可判断②，利用绝对值的几何意义以及等比数列的前
和公式可判断③④.
解：
可知①是明显错误的.
对于②，由
得
，所以②正确，
对于③④，
，所以④正确，③是错误的.
故答案为：
②④
点评：
本题考查了等比数列的前
和公式、三角函数的最值、绝对值的几何意义，属于中档题.
三、解答题
17．已知函数
的最小值为-2.
（1）求实数
的值；
（2）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
，若
，
，
，求
的长.
【答案】
（1）
（2）
（1）利用二倍角的余弦公式以及辅助角公式函数化简为
，利用三角函数的最值即可求解.
（2）由
得
，求出角
，再根据
，从而可得
，解得
，利用正弦定理即可求解.
解：
解：
（1）
.
∵
的最小值为-2，∴
，解得
.
（2）由
得
，∵
，∴
，
∴
，解得
，
∵
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