07 抽屉原理.docx
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07抽屉原理
七抽屉原理
最不利原则
1有400个小朋友参加夏令营，问：
这些小朋友中，至少有多少人不单独过生日？
2在一付扑克牌中，最少要拿出多少张，才能保证在拿出的牌中四种花色都有？
3在一个口袋中有10个黑球、6个白球、4个红球。
问：
至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？
4口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：
（1）至少取多少根才能保证三种颜色都取到？
（2）至少取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子？
（3）至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子？
5袋里有红、白、蓝、黑四种颜色的单色球，从袋中任意取出若干个球。
问：
至少要取出多少个球，才能保证有3个球是同一颜色的？
6一只鱼缸里有很多条鱼，共有五个品种。
问：
至少捞出多少条鱼，才能保证有5条相同品种的鱼？
7某小学五年级的学生身高（按整数厘米计算），最矮的是138厘米，最高的是160厘米。
如果任意从这些学生中选出若干人，那么，至少要选出多少人，才能保证有5人的身高相同？
8一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最多要试验多少次才能使全部的钥匙和锁相匹配？
9一把钥匙只能打开一把锁，现有10把锁和其中的8把钥匙，要保证将这8把钥匙都配上锁，至少需要试验多少次？
10将100个苹果分给10个小朋友，每个小朋友分得的苹果个数互不相同。
分得苹果个数最多的小朋友至少得到多少个苹果？
11将400本书随意分给若干同学，但每人不得超过11本。
问：
至少有多少同学得到的书的本数相同？
12要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒子中，每个盒子最多可以装5个乒乓球。
证明：
至少有5个盒子中的乒乓球数目相同。
13一次数学竞赛，有75人参加，满分为20分，参赛者的得分都是自然数，75人的总分是980分。
问：
至少有几人的得分相同？
14把325个桃分给若干只猴子，每只猴子分得的桃不超过8个。
问：
至少有几只猴子得到的桃一样多？
15一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：
基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分。
问：
要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？
16六个小朋友每人至少有1本书，一共有20本书，试证明：
至少有两个小朋友有相同数量的书。
17全班有40个同学，共有不到780本书，试证明：
至少有2个同学有相同数量的书。
18有5050张数字卡片，其中1张上写着1，2张上写着2，3张上写着3……100张上写着100。
现在要从中抽取若干张，为了确保抽出的卡片至少有10张以上的数字完全相同，至少要抽取多少张卡片？
19口袋中装有10种不同颜色的珠子，每种都是100个。
要想保证从袋中摸出3种不同颜色的珠子，并且每种至少10个，那么至少要摸出多少个珠子？
20两个布袋各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4个。
从第一袋中拿出尽可能少的球，但至少有两种颜色一样的放入第二袋中；再从第二袋中拿出尽可能少的球放入第一袋中，使第一袋中每种颜色的球不少于3个。
这时，两袋中各有多少个球？
21用载重1.5吨的汽车运送若干箱共重19.63吨的货物，每箱货物重量相同且不超过350千克。
当每箱货物多重时，需要的汽车最多？
最多需要多少辆汽车？
简单抽屉问题
22在今年入学的一年级新生中有370多人是在同一年出生的。
试说明：
他们中至少有2个人是在同一天出生的。
23学校举行开学典礼，要沿操场的400米跑道插40面彩旗。
不管怎样插，是否总能找到2面彩旗，它们之间的距离不大于10米？
24在100米的路段上植树，问：
至少要植多少棵树，才能保证至少有2棵之间的距离小于10米？
25证明：
在任意的37人中，至少有4人的属相相同。
26试证明：
将2行5列方格纸的每一个方格染成黑色或白色，不管怎样染，至少有2列着色完全一样。
27一个正方体有六个面，给每个面都涂上红色或白色。
证明：
至少有三个面是同一颜色。
28体育组有足球、篮球和排球，上体育课前，老师让11名同学往操场拿球，每人最多拿两个。
试证明：
至少有2个同学拿球的情况完全一样。
29口袋里放有足够多的红、白、蓝三种颜色的球，现有31个人轮流从袋中取球，每人各取三个球。
证明：
至少有4个人取出的球的颜色完全相同。
30篮子里有苹果、梨、桃和桔子，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友，才能保证至少有两个小朋友拿的水果完全一样？
31学校开办了语文、数学、美术和音乐四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。
问：
至少在多少个学生中，才能保证有两个或两个以上的同学参加学习班的情况完全相同？
32为了丰富暑假生活，学校组织甲、乙两班进行了一次军棋对抗赛，每班各出五人，同时对弈。
比赛时天气很热，学校给选手们准备了两种饮料：
可乐和汽水，每个选手都选用了一种饮料。
证明：
至少有两对选手，甲班的两名选手选用的饮料相同，乙班的两名选手选用的饮料也相同。
33有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号。
在200个信号中至少有多少个信号完全相同？
34库房里有一批篮球、排球、足球和手球，每人任意搬运两个。
证明：
在41个搬运者中至少有5人搬运的球完全相同。
35库房里有一批篮球、排球、足球和手球，每人任意搬运三个。
问：
在61个搬运者中至少有几人搬运的球完全相同？
36六年级一班27个同学排成3路纵队外出参观，同学们都戴着红色或白色的太阳帽。
求证：
在9个横排中，至少有2排同学所戴帽子的颜色顺序完全相同。
37育英小学六年级的同学要从10名候选人中投票选举三好学生，规定每位同学必须从这10人中任选2名。
问：
至少有多少人参加投票，才能保证必有不少于5个同学投了相同两个候选人的票？
38将1～10随意填在右图的10个○中。
试说明至少有一行的数字之和不小于15。
3910名运动员进行乒乓球比赛，每2名运动员都要比赛一场、每场比赛三局两胜。
如果在所有各局比赛中，最高得分为23比21，那么至少有多少局的比分相同？
40有n个队参加的足球比赛，已经赛了（n+1）场。
证明：
必有1个队至少赛了3场。
划分图形
41在一个3米×4米的矩形中，任意点5个点。
证明：
至少有2个点的距离不大于2.5米。
42在边长为1的正三角形中，任意放入5个点。
证明：
其中至少有两
43在边长为1的正三角形内，任意放入10个点，求证：
必有2个点的
44在一个半径为10米的圆形旱冰场上，有七位同学在滑旱冰。
证明：
一定有两个同学间的距离不大于10米。
45在边长为1的正方形内，任意放入9个点，则其中必有3个点，它
46在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。
证明：
在以这五点为顶点的三角形中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。
整数分组
47证明：
在任意的四个自然数中，至少有两个数的差是3的倍数。
48任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？
为什么？
49证明：
在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20。
50从1，4，7，10，…，37，40这14个数中任取8个数，试证：
其中至少有2个数的和是41。
51证明：
在自然数1～100中任取21个数，其中一定有2个数的差（大数减小数）小于5。
52证明：
在自然数1～125中任取7个数，其中一定有2个数的商（大数除以小数）不大于2。
53证明：
在自然数20～160中任取6个数，其中一定有2个数的比值
54证明：
从前100个自然数中任意取出51个数，其中至少有2个数，较大的数是较小的数的整数倍。
55从1，3，5，7，……，37，39这20个奇数中任意取出14个，试证明：
其中至少有2个数，一个数是另一个数的倍数。
56从2，4，6，8，…，30，32这16个偶数中任意取出9个，试证明：
其中至少有2个数、一个数是另一个数的倍数。
57从1，3，5，…，97，99中最多可以选出多少个数，使它们当中的每一个数都不是另一个数的倍数？
58证明：
从八个连续自然数中任意选出五个，其中必有两个数的差等于4。
59从1，2，3，…，1998，1999这些数中最多可以选出多少个数，使其中任意两个数的差都不等于4？
60从前11个自然数中任意取出6个，求证：
其中必有2个数互质。
61证明：
在前2n个自然数中，任意取出（n+1）个，其中必有2个数互质。
62求证：
对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得（a-b）（c-d）（e-f）是105的倍数。
63任意写一个由数字1，2，3组成的三十位数，从这三十位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数。
证明：
从所有不同位置截取的三位数中，至少有两个相同。
64任意写一个由数字1，2，3，4组成的六十七位数，从这个六十七位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数。
证明：
从所有不同位置截取的三位数中，至少有两个相同。
6510个小朋友每人有10块糖，如果每人每天至少吃3块，吃完为止，那么至少有几个小朋友每天吃糖的数目都相同？
66右图是一个5行5列的方格表，能否在每个空格中分别填上1，2，3中的一个数，使得每行、每列、每条对角线上的五个空格中的数字和互不相同？
为什么？
67在9×9方格纸的每个方格中任意填入1，2，3三个数之一，然后分别对每个2×2方格中的四个数求和。
问：
在这些和数中至少有多少个相同？
68证明：
对于任意的七个自然数，其中必有四个数的和是4的倍数。
69证明：
对于任意的七个自然数，其中必有两个数的和或差是10的倍数。
71设自然数n具有如下性质：
从前n个自然数中任取21个，其中必有2个数的差是5。
求这样的n中最大的那个。
状态分类
72平面上有A，B，C，D，E，F六个点，其中没有三点共线，每两点之间用红线或蓝线连结。
求证：
不管怎样连结，至少存在一个三边同色的三角形。
73证明：
在任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认识，或者相互不认识。
74证明：
在任意的10个人中，至少有2个人，他们在这10个人中认识的人数相等。
75证明：
在任意的n个人中，至少有2个人，他们在这n个人中认识的人数相等。
76在一次老朋友的聚会中，大家见面都很高兴，彼此握手。
证明：
随时都有至少两个人握手的次数一样多。
77经过选拨，全市有12个小学足球队参加育红杯足球比赛，比赛规定每两个队之间都要赛一场。
证明：
比赛开始后的任何时间，都至少有两个队比赛过的场次一样多。
78有19个人，每人至少与另外18人中的10人认识。
证明：
可以从中找到3个人，他们彼此相互认识。
79任意将若干个小朋友分为五组，试证明：
其中一定有两组，他们中的男孩总数和女孩总数都是偶数。
80对一块3×7的棋盘，每一格可任意染成黑色或白色。
求证：
对任意的染法，棋盘上至少有一个长方形，它的四个角着色相同。
81在一块5×5的棋盘上，每一格可任意染成黑色或白色。
证明：
对任意的染法，至少有一个四角同色的矩形存在。
8240名学生跳集体舞，其中10名男生和10名女生围成一圈作为内圈，其余的20名学生作为外圈。
当外圈学生转动使每一个学生对着内圈的一个学生时，将两个男生或两个女生相对的情况称为一个配对方式。
证明：
总有一个位置，使得配对数不少于10个。
8325名男生和25名女生随意地围坐成一圈，证明：
至少有1人的两边坐的都是女生。
84九位科学家在一次国际会议上相遇，他们之中的任意三个人中，至少有两个人会说同一种语言。
假设每位科学家最多会说三种语言，试证明：
至少有三位科学家能用同一种语言交谈。
DAAN
七抽屉原理
1．35人。
提示：
闰年的366天中，365人单独过生日，剩下1天有35人一起过生日。
2．42张。
提示：
注意扑克中的两张王牌。
3．15个。
4．
（1）21根；
（2）13根；（3）10根。
5．9个。
6．21条。
7．93人。
8．45次。
提示：
第一把锁试验9次，第二把锁试验8次……
9．44次。
提示：
第一把锁试验8次，其余与第8题类似。
10．15个。
提示：
所有人的苹果个数应当尽量接近。
1＋2＋…＋10＝55，（100－55）÷10＝4……5，推知10个小朋友的苹果个数应分别为5，6，7，8，9，11，12，13，14，15。
11．7人。
提示：
1＋2＋…＋11＝66，400÷66＝6……4。
最不利的分法是：
得1，2，…，11本书的各6人，还剩4本书，要使每人不超过11本，无论发给谁，都会使至少有7人得到书的本数相同。
12．提示：
与第11题类似。
13．6人。
提示：
与第11题类似。
设得6～20分的各5人，总计得975分。
14．10只。
提示：
与第11题类似。
15．115人。
提示：
从0分到40分这41个分数中，只有39，38，35三个分数得不到。
16．证明：
因为每人至少有1本书，若6个人的书的数量都不同，则至少有书1＋2＋3＋4＋5＋6＝21（本），现在只有20本，所以至少有2人有相同数量的书。
17．证明：
如果40人的书的数量各不相同，那么至少应有书
0＋1＋2＋…＋39＝780（本），
而现在的书不足780本，所以至少有2人的书的数量相同。
18．865张。
提示：
数字小于10的45张卡片全抽走，10～100的各抽9张。
此时再抽1张，必有10张数字相同。
19．273个。
解：
从最不利的情况考虑，他摸出2种颜色的珠子每种100个，剩下的8种颜色每种摸出9个。
此时再摸出1个珠子，无论是剩下的8种颜色的哪种都满足题意，所以至少要摸出100×2＋9×8＋1＝273（个）。
20．第一袋19个，第二袋5个。
解：
第一次取完后，只需知道第一袋中有某种颜色的球不足3个即可（取了多少个球，怎样取的都可以不考虑）。
第二次取后，要保证第一袋中每种颜色的球不少于3个，最不利的情况是两种颜色的球各有8个，另一种颜色的球有3个。
所以，第一袋中有球8＋8＋3＝19（个），第二袋中有球4×3×2－19＝5（个）。
21．每箱302千克，需17辆汽车。
0.3吨时能装5箱，为使每辆车剩余的载重量尽量大，每箱的重量应大于且尽
19.63吨货物分为65箱，每箱重19.63÷65＝0.302（吨）＝302（千克），这时每辆车只能装4箱，需17辆汽车。
23．能。
24．12棵。
26．提示：
因为只有2种颜色，所以每列的两格有2×2＝4（种）不同染法。
28．提示：
一个球也不拿、拿一个球和拿两个球总共有10种不同情况。
29．提示：
取三个球共有10种不同的颜色搭配。
30．11个。
提示：
任意拿两个水果共有10种不同的拿法。
31．12个。
提示：
不参加、参加1个和参加2个总共有11种不同情况。
32．提示：
每对选手选用饮料有22＝4（种）不同方法。
33．提示：
用三面旗子共可组成43＝64（种）信号。
34．提示：
拿两个相同的球和拿两个不同的球共有10种不同拿法。
35．4人。
提示：
三个球都相同有4种拿法，三个球有两个相同有12种拿法，三个球各不相同有4种拿法。
所以共有20种不同拿法。
36．提示：
因为只有两种颜色的帽子，所以每个横排帽子的颜色排列顺序有23＝8（种）可能。
37．181人。
解：
从10人中选2人，共有10×9÷2＝45（种）不同选法。
要保证至少有5个同学投了相同候选人的票，至少要45×4＋1＝181（人）。
38．因为最上面一行最大是10，另外三行的数字之和不小于1＋2＋…＋9＝45，所以至少有一行的数字之和不小于45÷3＝15。
39．5局。
解：
共赛了（9＋1）×9÷2＝45（场），因为每场至少比赛2局，所以至少比赛了90局。
按乒乓球比赛规则，比赛得分从21比0到21比19有20种可能，再加上22比20，23比21，共有22种可能。
90÷22＝4……2，所以至少有5局比分相同。
40．提示：
参赛的队次共有（2n＋2）个。
41．提示：
将矩形等分为四个小矩形（见左下图）。
42．提示：
将正三角形等分为四个小正三角形（见右上图）。
43．提示：
将正三角形等分为九个小正三角形（见左下图）。
44．提示：
将圆等分成六个扇形（见右上图）。
45．提示：
将正方形等分为四个小正方形（见左下图），至少有三个点放入同一小正方形内。
46．提示：
将矩形等分为两个小矩形（见右上图），至少有三个点放入同一小矩形内。
47．提示：
按除以3的余数分类。
48．8个。
提示：
按除以7的余数分类。
49．提示：
将（1，19），（3，17），（5，15），（7，13），（9，11）这五组看做五个抽屉。
50．提示：
与第49题类似。
51．提示：
从1开始依次将前100个自然数每5个一组分为20组，显然每组内任意两数之差都小于5。
52．提示：
将（1，2），（3，4，5，6），（7，8，…，14）（15，16，…，30），（31，32，…，62），（63，64，…，125）这六组数作为六个抽屉。
53．提示：
将（20，21，…，30），（31，32，…，46），（47，48，…，70），（71，72，…，106），（107，108，…，160）这五组数作为五个抽屉。
54．提示：
将这100个数分为下面的50组：
（1）1，1×2＝2，1×22＝4，…，1×26＝64；
（2）3，3×2＝6，3×22＝12，…，3×25＝96；
（3）5，5×2＝10，5×22＝20，…，5×24＝80；
……
（25）49，49×2＝98；
（26）51；
（27）53；
……
（50）99。
这50组数中，每组中的任意两个数都存在倍数关系，故可将这50组数作为50个抽屉。
55．提示：
将这20个奇数分为（1，3，9，27），（5，15，45），（7，21），（11，33），（13，19），（17），（19），（23），（25），（29），（31），（35），（37）共13组，前5组各组内任意两数都存在倍数关系。
56．提示：
与第55题类似。
57．33个。
提示：
与第55题类似，可分为33组，每组都取最大的数。
58．提示：
设八个连续自然数中最小的为α，则可将这八个数分为四组：
（α，α＋4），（α＋1，α＋5），（α＋2，α＋6），（α＋3，α＋7）。
每组中两数之差都等于4。
59．1000个。
提示：
由第58题知八个连续自然数中最多能选出四个，使其中任意两个数的差不等于4。
将前1999个自然数每八个一组分为250组，其中最后一组是七个数，每组都取前四个数，这1000个数就是符合题目要求的数。
60．提示：
将（1，2，3，5，7，11），（4，9），（6），（8），（10）这五组数作为五个抽屉。
61．证明：
将前2n个自然数依次每两个分为一组，共分为n组。
从中任意取出（n＋1）个数，必有两个数在同一组，这两个数是相邻的两个数，必然互质。
62．提示：
105＝3×5×7。
对于任意的8个自然数，必可选出2个数，使它们的差是7的倍数；在剩下的6个数中，又可选出2个数，使它们的差是5的倍数；在剩下的4个数中，又可选出2个数，使它们的差是3的倍数。
63．提示：
由1，2，3组成的三位数有33＝27（种），而在三十位数中截取相邻三位有28种截法。
64．提示：
与第63题类似。
65．2个。
提示：
第一天吃3块有（3，3，4），（3，4，3），（3，7）三种吃法；第一天吃4块有（4，3，3），（4，6）两种吃法；第一天吃5，6，7，10块各有一种吃法（5，5），（6，4），（7，3），（10）。
总共有9种不同吃法。
66．不可能。
因为五个格中的数字和最小为1＋1＋1＋1＋1＝5，最大为3＋3＋3＋3＋3＝15，只有11个互不相同的值。
而5行、5列及两条对角线上的数字和有12个。
根据抽屉原理，必有两个数字和相等。
67．8个。
提示：
四数之和在4至12之间，有9个不同值，而2×2的方格共有64个。
68．提示：
七个数中必有三对数的奇偶性相同，即满足
α1＋α2＝2k1，α3＋α4＝2k2，α5＋α6＝2k3。
在k1，k2，k3三个数中又至少有两个奇偶性相同。
69．证明：
构造六个盒子：
第一个盒子放个位数为0的自然数；第二个盒子放个位数为1或9的自然数；第三个盒子放个位数为2或8的自然数；第四个盒子放个位数为3或7的自然数；第五个盒子放个位数为4或6的自然数；第六个盒子放个位数为5的自然数。
显然，每个盒中的任意两个数或者和是10的倍数，或者差是10的倍数。
现将任意的7个自然数放入这六个盒子，必有一个盒子至少放了2个数。
70．证明：
下面的1999个数中必有一个能被1999整除，
如果不然，那么它们除以1999有1999个余数，而余数只能是1，2，3，…，1998这1998个数，由抽屉原理，至少有两个除以1999得到相同的
与假设矛盾。
71．40。
解：
设计20个抽屉，使得每个抽屉中的两个数的差是5：
（1,6）,（2,7）,（3,8）,（4,9）,（5,10）,
（11,16）,（12,17）,（13,18）,（14,19）,（15,20）,
（21,26）,（22,27）,（23,28）,（24,29）,（25,30）,
（31,36）,（32,37）,（33,38）,（34,39）,（35,40）。
这样从前40个自然数中任取21个，必然有2个数在同一抽屉里。
所以40是符合题意的n的一个值。
事实上也是最大的一个，因为从上述20个抽屉中各取一个数，再取一个41，这样得到的21个数中任意2个数的差都不是5。
72．证明：
我们用虚线表示红色，用实线表示蓝色（见右图）。
从任意一点，如从A点出发，向其余五点连五条线段。
因为只有两种颜色，所以至少有三条同色，不妨设AB，AD，AE三条同为蓝色。
再看BD，BE和ED三条线段，若其中有一条为蓝色，则三边为蓝色的三角形已存在，否则△BDE就是一个三边同为红色的三角形。
73．提示：
本质上与第72题相同。
74．提示：
本题是第75题当n＝10时的特例。
75．证明：
在这n个人中如果有人认识所有的人，那么每个人所认识的人数有从1至（n－1）共（n-1）种可能；如果没有人认识所有的人，那么每个人所认识的人数有从0至（n－2）也是（n-1）种可能。
现有n个人，每人认识的人数有（n-1）种可能，根据抽屉原理，至少有2人认识的人数相等。
76．提示：
与第75题类似。
77．提示：
与第75题类似。
78．提示：
在这19人中，假设A与B认识。
除此之外，A，B还至少各认识其余17人中的9人，所以在这17人中至少有1人，他与A，B都认识。
79．提示：
每组中男孩和女孩人数的奇偶性搭配只有（奇奇），（奇偶），（偶奇），（偶偶）四种可能。
80．证明：
因为只有两种颜色，所以第一行的7个格中至少有4个格着色相同，为确定起见，不妨设前4个格着白色。
如果第二行的前4格有2个
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