1、07 抽屉原理七 抽屉原理最不利原则1 有400个小朋友参加夏令营,问:这些小朋友中,至少有多少人不单独过生日?2 在一付扑克牌中,最少要拿出多少张,才能保证在拿出的牌中四种花色都有?3 在一个口袋中有10个黑球、 6个白球、 4个红球。问:至少从中取出多少个球,才能保证其中有白球?4 口袋中有三种颜色的筷子各10根,问:(1)至少取多少根才能保证三种颜色都取到?(2)至少取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子?(3)至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子?5 袋里有红、白、蓝、黑四种颜色的单色球,从袋中任意取出若干个球。问:至少要取出多少个球,才能保证有3个球是同一颜色的?6 一只鱼缸里有很
2、多条鱼,共有五个品种。问:至少捞出多少条鱼,才能保证有5条相同品种的鱼?7 某小学五年级的学生身高(按整数厘米计算),最矮的是138厘米,最高的是160厘米。如果任意从这些学生中选出若干人,那么,至少要选出多少人,才能保证有5人的身高相同?8 一把钥匙只能开一把锁,现有10把钥匙和10把锁,最多要试验多少次才能使全部的钥匙和锁相匹配?9 一把钥匙只能打开一把锁,现有10把锁和其中的8把钥匙,要保证将这8把钥匙都配上锁,至少需要试验多少次?10 将100个苹果分给10个小朋友,每个小朋友分得的苹果个数互不相同。分得苹果个数最多的小朋友至少得到多少个苹果?11 将400本书随意分给若干同学,但每人
3、不得超过11本。问:至少有多少同学得到的书的本数相同?12 要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒子中,每个盒子最多可以装5个乒乓球。证明:至少有5个盒子中的乒乓球数目相同。13 一次数学竞赛,有75人参加,满分为20分,参赛者的得分都是自然数,75人的总分是980分。问:至少有几人的得分相同?14 把325个桃分给若干只猴子,每只猴子分得的桃不超过8个。问:至少有几只猴子得到的桃一样多?15 一次数学竞赛出了10道选择题,评分标准为:基础分10分,每道题答对得3分,答错扣 1分,不答不得分。问:要保证至少有4人得分相同,至少需要多少人参加竞赛?16 六个小朋友每人至少有1本书,一共有20本书,
4、试证明:至少有两个小朋友有相同数量的书。17 全班有40个同学,共有不到780本书,试证明:至少有2个同学有相同数量的书。18 有5050张数字卡片,其中1张上写着1,2张上写着2,3张上写着3100张上写着100。现在要从中抽取若干张,为了确保抽出的卡片至少有10张以上的数字完全相同,至少要抽取多少张卡片?19 口袋中装有10种不同颜色的珠子,每种都是100个。要想保证从袋中摸出3种不同颜色的珠子,并且每种至少10个,那么至少要摸出多少个珠子?20 两个布袋各有12个大小一样的小球,且都是红、白、蓝各4个。从第一袋中拿出尽可能少的球,但至少有两种颜色一样的放入第二袋中;再从第二袋中拿出尽可能
5、少的球放入第一袋中,使第一袋中每种颜色的球不少于3个。这时,两袋中各有多少个球?21 用载重1.5吨的汽车运送若干箱共重19.63吨的货物,每箱货物重量相同且不超过350千克。当每箱货物多重时,需要的汽车最多?最多需要多少辆汽车?简单抽屉问题22 在今年入学的一年级新生中有 370多人是在同一年出生的。试说明:他们中至少有2个人是在同一天出生的。23 学校举行开学典礼,要沿操场的 400米跑道插 40面彩旗。不管怎样插,是否总能找到2面彩旗,它们之间的距离不大于10米?24 在100米的路段上植树,问:至少要植多少棵树,才能保证至少有2棵之间的距离小于 10米?25 证明:在任意的37人中,至
6、少有 4人的属相相同。26 试证明:将2行5列方格纸的每一个方格染成黑色或白色,不管怎样染,至少有2列着色完全一样。27 一个正方体有六个面,给每个面都涂上红色或白色。证明:至少有三个面是同一颜色。28 体育组有足球、篮球和排球,上体育课前,老师让11名同学往操场拿球,每人最多拿两个。试证明:至少有2个同学拿球的情况完全一样。29 口袋里放有足够多的红、白、蓝三种颜色的球,现有31个人轮流从袋中取球,每人各取三个球。证明:至少有4个人取出的球的颜色完全相同。30 篮子里有苹果、梨、桃和桔子,如果每个小朋友都从中任意拿两个水果,那么至少有多少个小朋友,才能保证至少有两个小朋友拿的水果完全一样?3
7、1 学校开办了语文、数学、美术和音乐四个课外学习班,每个学生最多可以参加两个(可以不参加)。问:至少在多少个学生中,才能保证有两个或两个以上的同学参加学习班的情况完全相同?32 为了丰富暑假生活,学校组织甲、乙两班进行了一次军棋对抗赛,每班各出五人,同时对弈。比赛时天气很热,学校给选手们准备了两种饮料:可乐和汽水,每个选手都选用了一种饮料。证明:至少有两对选手,甲班的两名选手选用的饮料相同,乙班的两名选手选用的饮料也相同。33 有一批四种颜色的小旗,任意取出三面排成一行,表示各种信号。在200个信号中至少有多少个信号完全相同?34 库房里有一批篮球、排球、足球和手球,每人任意搬运两个。证明:在
8、41个搬运者中至少有5人搬运的球完全相同。35 库房里有一批篮球、排球、足球和手球,每人任意搬运三个。问:在61个搬运者中至少有几人搬运的球完全相同?36 六年级一班27个同学排成3路纵队外出参观,同学们都戴着红色或白色的太阳帽。求证:在9个横排中,至少有2排同学所戴帽子的颜色顺序完全相同。37 育英小学六年级的同学要从10名候选人中投票选举三好学生,规定每位同学必须从这10人中任选2名。问:至少有多少人参加投票,才能保证必有不少于5个同学投了相同两个候选人的票?38 将110随意填在右图的10个中。试说明至少有一行的数字之和不小于15。39 10名运动员进行乒乓球比赛,每2名运动员都要比赛一
9、场、每场比赛三局两胜。如果在所有各局比赛中,最高得分为23比21,那么至少有多少局的比分相同?40 有n个队参加的足球比赛,已经赛了(n+1)场。证明:必有1个队至少赛了3场。划分图形41 在一个3米4米的矩形中,任意点 5个点。证明:至少有2个点的距离不大于2.5米。42 在边长为1的正三角形中,任意放入5个点。证明:其中至少有两43 在边长为1的正三角形内,任意放入10个点,求证:必有2个点的44 在一个半径为10米的圆形旱冰场上,有七位同学在滑旱冰。证明:一定有两个同学间的距离不大于10米。45 在边长为1的正方形内,任意放入9个点,则其中必有3个点,它46 在一个矩形内任意放五点,其中
10、任意三点不在一条直线上。证明:在以这五点为顶点的三角形中,至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。整数分组47 证明:在任意的四个自然数中,至少有两个数的差是3的倍数。48 任意取多少个自然数,才能保证至少有两个数的差是7的倍数?为什么?49 证明:在从1开始的前10个奇数中任取6个,一定有2个数的和是20。50 从1,4,7,10,37,40这14个数中任取8个数,试证:其中至少有2个数的和是41。51 证明:在自然数1100中任取21个数,其中一定有2个数的差(大数减小数)小于5。52 证明:在自然数1125中任取7个数,其中一定有2个数的商(大数除以小数)不大于2。53 证明:在自然数2
11、0160中任取6个数,其中一定有2个数的比值54 证明:从前100个自然数中任意取出51个数,其中至少有2个数,较大的数是较小的数的整数倍。55 从1,3,5,7, 37,39这20个奇数中任意取出 14个,试证明:其中至少有2个数,一个数是另一个数的倍数。56 从2,4, 6, 8, 30, 32这 16个偶数中任意取出 9个,试证明:其中至少有2个数、一个数是另一个数的倍数。57 从1,3,5,97,99中最多可以选出多少个数,使它们当中的每一个数都不是另一个数的倍数?58 证明:从八个连续自然数中任意选出五个,其中必有两个数的差等于4。59 从1,2,3,1998, 1999这些数中最多
12、可以选出多少个数,使其中任意两个数的差都不等于4?60 从前11个自然数中任意取出6个,求证:其中必有2个数互质。61 证明:在前2n个自然数中,任意取出(n+1)个,其中必有2个数互质。62 求证:对于任意的8个自然数,一定能从中找到6个数a,b,c,d,e,f,使得(a-b)(c-d)(e-f)是105的倍数。63 任意写一个由数字1,2,3组成的三十位数,从这三十位数中任意截取相邻三位,可得一个三位数。证明:从所有不同位置截取的三位数中,至少有两个相同。64 任意写一个由数字1,2,3,4组成的六十七位数,从这个六十七位数中任意截取相邻三位,可得一个三位数。证明:从所有不同位置截取的三位
13、数中,至少有两个相同。65 10个小朋友每人有10块糖,如果每人每天至少吃3块,吃完为止,那么至少有几个小朋友每天吃糖的数目都相同?66 右图是一个5行5列的方格表,能否在每个空格中分别填上1,2,3中的一个数,使得每行、每列、每条对角线上的五个空格中的数字和互不相同?为什么?67 在99方格纸的每个方格中任意填入1,2,3三个数之一,然后分别对每个22方格中的四个数求和。问:在这些和数中至少有多少个相同?68 证明:对于任意的七个自然数,其中必有四个数的和是4的倍数。69 证明:对于任意的七个自然数,其中必有两个数的和或差是10的倍数。71 设自然数n具有如下性质:从前n个自然数中任取21个
14、,其中必有2个数的差是5。求这样的n中最大的那个。状态分类72 平面上有A,B,C,D,E,F六个点,其中没有三点共线,每两点之间用红线或蓝线连结。求证:不管怎样连结,至少存在一个三边同色的三角形。73 证明:在任意的6个人中必有3个人,他们或者相互认识,或者相互不认识。74 证明:在任意的10个人中,至少有2个人,他们在这10个人中认识的人数相等。75 证明:在任意的n个人中,至少有2个人,他们在这n个人中认识的人数相等。76 在一次老朋友的聚会中,大家见面都很高兴,彼此握手。证明:随时都有至少两个人握手的次数一样多。77 经过选拨,全市有12个小学足球队参加育红杯足球比赛,比赛规定每两个队
15、之间都要赛一场。证明:比赛开始后的任何时间,都至少有两个队比赛过的场次一样多。78 有19个人,每人至少与另外18人中的10人认识。证明:可以从中找到3个人,他们彼此相互认识。79 任意将若干个小朋友分为五组,试证明:其中一定有两组,他们中的男孩总数和女孩总数都是偶数。80 对一块37的棋盘,每一格可任意染成黑色或白色。求证:对任意的染法,棋盘上至少有一个长方形,它的四个角着色相同。81 在一块55的棋盘上,每一格可任意染成黑色或白色。证明:对任意的染法,至少有一个四角同色的矩形存在。82 40名学生跳集体舞,其中10名男生和10名女生围成一圈作为内圈,其余的20名学生作为外圈。当外圈学生转动
16、使每一个学生对着内圈的一个学生时,将两个男生或两个女生相对的情况称为一个配对方式。证明:总有一个位置,使得配对数不少于10个。83 25名男生和 25名女生随意地围坐成一圈,证明:至少有1人的两边坐的都是女生。84 九位科学家在一次国际会议上相遇,他们之中的任意三个人中,至少有两个人会说同一种语言。假设每位科学家最多会说三种语言,试证明:至少有三位科学家能用同一种语言交谈。DAAN七 抽屉原理135人。提示:闰年的366天中,365人单独过生日,剩下1天有35人一起过生日。242张。提示:注意扑克中的两张王牌。315个。4(1)21根;(2)13根;(3)10根。59个。621条。793人。8
17、45次。提示:第一把锁试验9次,第二把锁试验8次944次。提示:第一把锁试验8次,其余与第8题类似。1015个。提示:所有人的苹果个数应当尽量接近。121055,(10055)1045,推知10个小朋友的苹果个数应分别为5,6,7,8,9,11,12,13,14,15。117人。提示:121166,4006664。最不利的分法是:得1,2,11本书的各6人,还剩4本书,要使每人不超过11本,无论发给谁,都会使至少有7人得到书的本数相同。12提示:与第11题类似。136人。提示:与第11题类似。设得620分的各5人,总计得975分。1410只。提示:与第11题类似。15115人。提示:从0分到4
18、0分这41个分数中,只有39,38,35三个分数得不到。16证明:因为每人至少有1本书,若6个人的书的数量都不同,则至少有书12345621(本),现在只有20本,所以至少有2人有相同数量的书。17证明:如果40人的书的数量各不相同,那么至少应有书01239780(本),而现在的书不足780本,所以至少有2人的书的数量相同。18865张。提示:数字小于10的45张卡片全抽走,10100的各抽9张。此时再抽1张,必有10张数字相同。19273个。解:从最不利的情况考虑,他摸出2种颜色的珠子每种100个,剩下的8种颜色每种摸出9个。此时再摸出1个珠子,无论是剩下的8种颜色的哪种都满足题意,所以至少
19、要摸出1002981273(个)。20第一袋19个,第二袋5个。解:第一次取完后,只需知道第一袋中有某种颜色的球不足3个即可(取了多少个球,怎样取的都可以不考虑)。第二次取后,要保证第一袋中每种颜色的球不少于3个,最不利的情况是两种颜色的球各有8个,另一种颜色的球有3个。所以,第一袋中有球88319(个),第二袋中有球432195(个)。21每箱302千克,需17辆汽车。0.3吨时能装5箱,为使每辆车剩余的载重量尽量大,每箱的重量应大于且尽19.63吨货物分为65箱,每箱重19.63650.302(吨)302(千克),这时每辆车只能装4箱,需17辆汽车。23能。2412棵。26提示:因为只有2
20、种颜色,所以每列的两格有224(种)不同染法。28提示:一个球也不拿、拿一个球和拿两个球总共有10种不同情况。29提示:取三个球共有10种不同的颜色搭配。3011个。提示:任意拿两个水果共有10种不同的拿法。3112个。提示:不参加、参加1个和参加2个总共有11种不同情况。32提示:每对选手选用饮料有224(种)不同方法。33提示:用三面旗子共可组成4364(种)信号。34提示:拿两个相同的球和拿两个不同的球共有10种不同拿法。354人。提示:三个球都相同有4种拿法,三个球有两个相同有12种拿法,三个球各不相同有4种拿法。所以共有20种不同拿法。36提示:因为只有两种颜色的帽子,所以每个横排帽
21、子的颜色排列顺序有238(种)可能。37181人。解:从10人中选2人,共有109245(种)不同选法。要保证至少有5个同学投了相同候选人的票,至少要4541181(人)。38因为最上面一行最大是10,另外三行的数字之和不小于12945,所以至少有一行的数字之和不小于45315。395局。解:共赛了(91)9245(场),因为每场至少比赛2局,所以至少比赛了90局。按乒乓球比赛规则,比赛得分从21比0到21比19有20种可能,再加上22比20,23比21,共有22种可能。902242,所以至少有5局比分相同。40提示:参赛的队次共有(2n2)个。41提示:将矩形等分为四个小矩形(见左下图)。4
22、2提示:将正三角形等分为四个小正三角形(见右上图)。43提示:将正三角形等分为九个小正三角形(见左下图)。44提示:将圆等分成六个扇形(见右上图)。45提示:将正方形等分为四个小正方形(见左下图),至少有三个点放入同一小正方形内。46提示:将矩形等分为两个小矩形(见右上图),至少有三个点放入同一小矩形内。47提示:按除以3的余数分类。488个。提示:按除以7的余数分类。49提示:将(1,19),(3,17),(5,15),(7,13),(9,11)这五组看做五个抽屉。50提示:与第49题类似。51提示:从1开始依次将前100个自然数每5个一组分为20组,显然每组内任意两数之差都小于5。52提示
23、:将(1,2),(3,4,5,6),(7,8,14)(15,16,30),(31,32,62),(63,64,125)这六组数作为六个抽屉。53提示:将(20,21,30),(31,32,46),(47,48,70),(71,72,106),(107,108,160)这五组数作为五个抽屉。54提示:将这100个数分为下面的50组:(1)1,122,1224,12664;(2)3,326,32212,32596;(3)5, 5210, 52220, 52480;(25) 49,49298;(26)51;(27)53;(50)99。这50组数中,每组中的任意两个数都存在倍数关系,故可将这50组数作
24、为50个抽屉。55提示:将这20个奇数分为(1,3,9,27),(5,15,45),(7,21),(11,33),(13,19),(17),(19),(23),(25),(29),(31),(35),(37)共13组,前5组各组内任意两数都存在倍数关系。56提示:与第55题类似。5733个。提示:与第55题类似,可分为33组,每组都取最大的数。58提示:设八个连续自然数中最小的为,则可将这八个数分为四组:(,4),(1,5),(2, 6),(3,7)。每组中两数之差都等于4。591000个。提示:由第58题知八个连续自然数中最多能选出四个,使其中任意两个数的差不等于4。将前1999个自然数每八
25、个一组分为250组,其中最后一组是七个数,每组都取前四个数,这1000个数就是符合题目要求的数。60提示:将(1,2,3,5,7,11),(4,9),(6),(8),(10)这五组数作为五个抽屉。61证明:将前2n个自然数依次每两个分为一组,共分为n组。从中任意取出(n1)个数,必有两个数在同一组,这两个数是相邻的两个数,必然互质。62提示:105357。对于任意的8个自然数,必可选出2个数,使它们的差是7的倍数;在剩下的6个数中,又可选出2个数,使它们的差是5的倍数;在剩下的4个数中,又可选出2个数,使它们的差是3的倍数。63提示:由1,2,3组成的三位数有3327(种),而在三十位数中截取
26、相邻三位有28种截法。64提示:与第63题类似。652个。提示:第一天吃3块有(3,3,4),(3,4,3),(3,7)三种吃法;第一天吃4块有(4,3,3),(4,6)两种吃法;第一天吃5,6,7,10块各有一种吃法(5,5),(6,4),(7,3),(10)。总共有9种不同吃法。66不可能。因为五个格中的数字和最小为111115,最大为3333315,只有11个互不相同的值。而5行、5列及两条对角线上的数字和有12个。根据抽屉原理,必有两个数字和相等。678个。提示:四数之和在4至12之间,有9个不同值,而22的方格共有64个。68提示:七个数中必有三对数的奇偶性相同,即满足122k1,3
27、42k2,562k3。在k1,k2,k3三个数中又至少有两个奇偶性相同。69证明:构造六个盒子:第一个盒子放个位数为0的自然数;第二个盒子放个位数为1或9的自然数;第三个盒子放个位数为2或8的自然数;第四个盒子放个位数为3或7的自然数;第五个盒子放个位数为4或6的自然数;第六个盒子放个位数为5的自然数。显然,每个盒中的任意两个数或者和是10的倍数,或者差是10的倍数。现将任意的7个自然数放入这六个盒子,必有一个盒子至少放了2个数。70证明:下面的1999个数中必有一个能被1999整除,如果不然,那么它们除以1999有1999个余数,而余数只能是1,2,3,1998这1998个数,由抽屉原理,至
28、少有两个除以1999得到相同的与假设矛盾。7140。解:设计20个抽屉,使得每个抽屉中的两个数的差是5:(1,6),(2,7),(3,8),(4,9),(5,10),(11,16),(12,17),(13,18),(14,19),(15,20),(21,26),(22,27),(23,28),(24,29),(25,30),(31,36),(32,37),(33, 38),(34,39),(35,40)。这样从前40个自然数中任取21个,必然有2个数在同一抽屉里。所以40是符合题意的n的一个值。事实上也是最大的一个,因为从上述20个抽屉中各取一个数,再取一个41,这样得到的21个数中任意2个数
29、的差都不是5。72证明:我们用虚线表示红色,用实线表示蓝色(见右图)。从任意一点,如从A点出发,向其余五点连五条线段。因为只有两种颜色,所以至少有三条同色,不妨设AB,AD,AE三条同为蓝色。再看BD,BE和ED三条线段,若其中有一条为蓝色,则三边为蓝色的三角形已存在,否则BDE就是一个三边同为红色的三角形。73提示:本质上与第72题相同。74提示:本题是第75题当n10时的特例。75证明:在这n个人中如果有人认识所有的人,那么每个人所认识的人数有从1至(n1)共(n-1)种可能;如果没有人认识所有的人,那么每个人所认识的人数有从0至(n2)也是(n-1)种可能。现有n个人,每人认识的人数有(n-1)种可能,根据抽屉原理,至少有2人认识的人数相等。76提示:与第75题类似。77提示:与第75题类似。78提示:在这19人中,假设A与B认识。除此之外,A,B还至少各认识其余17人中的9人,所以在这17人中至少有1人,他与A,B都认识。79提示:每组中男孩和女孩人数的奇偶性搭配只有(奇奇),(奇偶),(偶奇),(偶偶)四种可能。80证明:因为只有两种颜色,所以第一行的7个格中至少有4个格着色相同,为确定起见,不妨设前4个格着白色。如果第二行的前4格有2个
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