初三数学复习设计.docx
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初三数学复习设计
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方程思想
在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想。
1要具有正确列出方程的能力
有些数学问题需要利用方程解决，而正确列出方程是关键，因此要善于根据已知条，寻找等量关系列方程。
2要具备用方程思想解题的意识。
有些几何问题表面上看起与代数问题无关，但是要利用代数方法——列方程解决，因此要善于挖掘隐含条，要具有方程的思想意识，还有一些综合问题，需要通过构造方程解决。
在平时的学习，应该不断积累用方程思想解题的方法。
3要掌握运用方程思想解决问题的要点。
除了几何的计算问题要使用方程或方程思想以外，经常需要用到方程思想的还有一元二次方程根的判别式，根与系数关系，方程、函数、不等式的关系等内容，在解决与这些内容有关的问题时要注意方程思想的应用。
用方程思想解几何问题
方程是解决数学问题的重要工具，也是重要的数学思想。
几何计算、几何证明也常通过方程解决。
现就构建方程解几何问题举例如下。
例1如图，中，且，求的度数。
解：
设
因
故
又
故
解得
例2如图，正方形ABD内一点P，于E，若，求正方形的边长。
解：
延长EP交B于，设正方形边长为x
在中，
解得，即正方形的边长为8
例3如图，矩形ABD中，截去正方形ABN后，矩形ND与原矩形ABD相似，求矩形ABD长与宽的比。
解：
设，则
解得，其中负值不合题意，舍去。
例4如图，弦N、PQ、RS分别交于A、B、，已知，，求证：
是等边三角形。
证明：
设
则
解得，故是等边三角形
例题分析
例1：
一商店以每3盘16元钱的价格购进一批录音带，又从另外一处以每4盘21元钱价格购进比前一批数量加倍的录音带，如果以每3盘元的价格全部出售可得到所投资的20％的收益，求的值。
分析：
可以设商店第一次购进x盘录音带，则第二次购进2x盘录音带。
根据题意，列出方程：
答：
的值是19。
小结：
上述例题是应用问题，正确列出方程是解题的关键，在学习过程中要不断培养这方面的能力。
其中所设的x是辅助元，它在解题过程中是参加变化的量，可以消去，也叫做参变量，并不是最终所求的未知量。
从本题可以看出，设辅助元x以后可以方便我们解题。
例2：
以AB为直径的圆交B于D，交A于F，DE切半圆于D，交A于E，若AB：
B＝：
6，且AF＝7，求E的长。
解：
连结AD、FD。
是直径
例3：
已知方程两根为a、b，方程两根为、d，求的值
解：
由根系关系得：
例4：
已知方程有两个根的积等于2，解这个方程。
分析：
若直接求解此方程较困难，可以利用待定系数法，由根与系数的关系可知，两根之积为2的一元二次方程，如果二次项的系数是1，那么常数项是2。
解：
设
小结：
本例是一个解方程的问题，但是在求解过程中仍然体现了方程思想，利用根系关系构造方程，利用待定系数法构造方程组，都是方程思想的应用。
易错题分析
例1已知关于x的方程有两个正整数根，求整数。
分析：
本题关于x的方程有两个正整数根，所以这个方程是一元二次方程，，如果用根系关系解，即，，。
列出关于的不等式，再由正整数根的条求出的值，方法比较繁。
一般说，解字母系数的一元二次方程，都可以分解因式，这样解法比较简便。
解：
将方程分解因式：
检验：
当＝1时，方程为
当＝2时，方程为
点证：
本题有的同学解法比较繁，而且容易错，用分解因式的方法较好。
另外求出以后，变形为以后，便于讨论的值。
最后，求出的值以后要注意检验是否符合题意，以免多解或丢解，还可以检验，等。
例2若关于x的方程，有两个不同的正整数根，求正整数的值。
分析：
本题用因式分解的方法较好，但求出以后，要注意检验，因为题目要求有两个不同的正整数根，所以。
解：
关于x的方程有两个不同的正整数根
，将方程的左边分解因式：
点评：
本题容易错在＝3没有舍。
所以一定要注意检验。
例3已知抛物线在x轴上方，关于x的方程
两个不等实数根是，当是整数时，求的值。
分析：
本题是二次函数和方程的综合题，要用限定的范围，由已知是整数确定的值。
然后用根系关系求出的值。
解：
在x轴上方
但方程有两个不等实根是一元二次方程
点评：
本题容易错的地方是求出以后，没有舍去＝－3，所以一定要检验一元二次方程的二次项系数，使其不为零。
以上三个例题，组成一个题组，小结为一元二次方程要注意验二次项系数，验，并且还要检验是否符合题意，这样才能避免出错。
方程思想练习题
一选择题：
1已知，其内切圆半径为，则三角形三边的长是（）
A8，7，13B8，，126，7，14D8，7，14
2已知等腰三角形的一腰与底边的长分别为方程的两根，若这样的三角形只有一个时，a的取值范围是（）
Aa<8B0<a<80<a<8或a＝9Da＝9
3已知斜边为10的直角三角形的两条直角边a、b为方程的两根，则的值为（）
A＝－8B＝14＝14或＝－8D＝
4已知二次函数图象顶点坐标为（－2，－4），交轴于点（0，－3），则它的解析式是（）
在的长为（）
6如图，AE切⊙于D，并且和弦B的延长线交于A，D平分AD＝12，则A的长为（）
A14B116D17
7⊙与AB、A相切于、N，且圆心在AB上，又A=1，B=20，则⊙的面积为（）
二填空题：
1已知的三边长为a、b、，且满足
（1）a>b>，
（2）2b＝a＋，（3）b是正整数，（4），则b的值是_______。
2已知a为自然数，二次方程有一正整数根p，那么a=_______，方程的另一极是_____________。
3已知是整数，二次方程有两个正整数根，则的值是_________。
三解答题：
1某考生的准考证号码是一个四位数，它的千位数字是1，如果把1移到个位上去，那么所得的新数比原数的倍少49，求这个考生的准考证号码。
2如图，正方形ABD的中心为，面积为且，求PB的长。
3已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，
的两个实根，且求、n的值。
4如图，EB是直径，是圆心，B、D切半圆于B、D、D交BE延长线于A点，若B=6，AD=2AE，求半圆的面积。
已知抛物线与x轴有两个交点A、B，且A在x轴正半轴，B在x轴负半轴，设A长为a，B长为b。
（1）求的取值范围。
（2）若a、b满足a：
b＝3：
1，求的值。
（3）由
（2）所得的抛物线与轴交于，问在抛物线上是否存在一点P，使？
若存在，求P点的坐标；如果不存在，请说明理由。
试题答案
一
1A23B4DB67A
二
1243=1或=2
三
1提示：
设原数后三位为x，则原数为1000+x，由题意列方程：
解之x=990，原数为1990
2提示：
，可设PB=14x,PA=x，设正方形边长为a，在中，，即，
3提示：
由根与系数关系，
整理解得=3，n=2
4
（1）>－3
（2）=0
（3）不存在。
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