人教版八年级数学下册第7讲勾股定理综合复习教案讲义及练习.docx

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人教版八年级数学下册第7讲勾股定理综合复习教案讲义及练习

第七讲勾股定理综合复习

适用学科

初中数学

适用年级

初中二年级

适用区域

通用

课时时长（分钟）

120

知识点

1、数学思想方法的应用

2、勾股定理即逆定理的应用

3、勾股定理的实际应用

教学目标

1、掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法。

2、能运用勾股定理解决实际问题。

3、能利用勾股定理逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形。

4、通过实例了解勾股定理及其逆定理的应用，发展学生的逻辑推理能力和数字应用能力。

教学重点

用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。

教学难点

勾股定理及其定理的探索过程。

教学过程

一、课堂导入

平地秋千未起，踏板一尺离地。

送行二步与人齐，五尺人高曾记。

仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉。

良工高士好奇，算出索长有几？

这类数字“诗题“，初看起来感觉一筹莫展，似乎无处下手，但只要细品诗意（古时1步=5尺），画出图来，数形结合，应用本章所学内容，便可柳岸花明。

二、复习预习

三、知识讲解

考点1数学思想方法

方程思想

方程是解决数学问题的重要工具，许多数学问题都可以转化为方程来求解。

方程思想在本章中的体现：

设直角三角形中某条边，根据已知条件表示其他两边，再以勾股定理为依据列方程求解。

数形结合思想

在勾股定理的探索验证中，较多地体现了数形结合思想，勾股定理是以“形”定“数”，直角三角形的判定是以“数”定“形”，因此，此定理有“数与形的第一定理”的美称。

考点2勾股定理的应用

当遇到含有直角三角形求边长的问题时，可试着应用勾股定理来求解，而当没有直角三角形时，有时需先构造直角三角形，再应用勾股定理求解。

考点3勾股定理及其逆定理的综合运用

应用一：

求线段的长

应用二：

折叠问题中的勾股定理

应用三：

求面积

考点4生活中的勾股定理及逆定理

勾股定理及逆定理应用于生活

应用一：

生活中的勾股定理

应用二：

方位问题

四、例题精析

考点一数学思想方法

例1

【题干】已知直角三角形的两直角边之比为3：

4，斜边为10,求直角三角形的两直角边.

【解析】已知两直角边的比,可设每份为x,根据勾股定理列方程求解。

【答案】解：

设两直角边为3x,4x,由题意知

∴x=2,则3x=6,4x=8.

故直角三角形的两直角边为6和8.

例2

【题干】如图所示，A、B两村庄在河边CD的同侧，A、B两村庄到河的距离分别为AC=1km,BD=3km,且CD=3km，现在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水管时工程费用为每千米20000元，在CD上选择水厂位置点P，使铺设水管的费用最少。

并求出最少费用。

【解析】假设A关于直线CD的对称点为

，利用轴对称的性质，使OA=O

，由两点之间线段最短可知：

当

、O、B在同一直线上时，OA=O

，由两点之间线段最短可知：

当

、O、B在同一直线上时，OA+OB最小，即铺设水管的费用最省。

【答案】解：

作A关于CD的对称点

，连接

B交CD于O，则O点即为所求，如图所示，过

作

E⊥BD交BD的延长线于E。

则

E=CD=3km,DE=

C=AC=1km,

BE=BD+DE=3+1=4（km）.

在Rt△

EB中，

B=

=

=5（km）.

∴OA+OB=

B=5（km）.

∴总费用为5×20000=100000（元）.

考点二勾股定理及其逆定理的运用

例1

【题干】如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且∠ABC=90°，连接AC.

（1）求AC的长度；

（2）试判断三角形ACD的形状.

【解析】

（1）根据勾股定理易求出AC的长；

（2）在△ACD中，再由勾股定理的逆定理，判断三角形的形状．

【答案】

（1）∵∠B=90°，AB=1，BC=2，

∴AC2=AB2+BC2=1+4=5，

∴AC=

（2）△ACD是直角三角形．理由如下：

∵AC2+CD2=5+4=9，AD2=9，

∴AC2+CD2=AD2

∴△ACD是直角三角形．

例2

【题干】如图，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝24cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分△BDE的面积cm2．

【答案】90．

【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=12CM，BC=AD=24CM，AD∥BC，∠A=90°，

∴∠EDB=∠CBD．∵△CBD与△C′BD关于BD对称，∴△CBD≌△C′BD，∴∠EBD=∠CBD，

∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE．

设DE为x，则AE=24﹣x，BE=x，由勾股定理，得：

，

，∴DE=15cm，

∴S△BDE=

cm2．故答案为：

90．

例2

【题干】如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC.已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长度；

（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？

（3）根据

（2）中的规律和结论请构图求出代数式

+

的最小值。

【解析】

（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC,CE可由勾股定理求得；

（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，AC+CE>AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；

（3）由

（1）

（2）的结果可作BD=12,过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式

+

的最小值，然后构造矩形AFDB,Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值。

【答案】解：

（1）

（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小

（3）如图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连结AE交BD于点C。

即为求AC+CE得最小值，当点A、C、E在同一直线时AC+CE最小AE=

+

的最小值。

过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，

则AB=DF=2,AF=BD=12,EF=ED+DF=3+2=5,

所以AE=

即

+

的最小值为13.

考点三勾股定理及其逆定理的实际应用

例1

【题干】如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？

【解析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，求出区域的面积，即可求出答案．

【答案】连结AC，

在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=4米，CD=3米，由勾股定理得：

AC=

（米），

∵AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，

该区域面积S=S△ACB﹣S△ADC=

×5×12﹣

×3×4=24（平方米），

即铺满这块空地共需花费=24×100=2400元．

例2

【题干】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：

有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？

【解析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解得。

【答案】设水深为x尺，则芦苇长为（x＋１）尺，由勾股定理得

（x+1）2＝x2＋（10÷2）2

X=12

则水池的深度为１２尺，芦苇的长度为１３尺

例3

【题干】如图，居民楼与马路是平行的，在一楼的点A处测得它到马路的距离为9m，已知在距离载重汽车41m处就可受到噪声影响．

（1）试求在马路上以4m/s速度行驶的载重汽车，能给一楼A处的居民带来多长时间的噪音影响？

（2）若时间超过25秒，则此路禁止该车通行，你认为载重汽车可以在这条路上通行吗？

【解析】

（1）先根据勾股定理求出BC及DC的长，进而可得出BD的长，根据载重汽车的速度是4m/s即可得出受噪音影响的时间；

（2）根据

（1）中得出的时间与25秒相比较即可得出结论．

【答案】

（1）∵由题意得AC=9，AB=AD=41，AC⊥BD，

∴Rt△ACB中，BC=

，

Rt△ACD中，DC=

，

∴BD=80，

∴80÷4=20（s），

∴受影响时间为20s；

（2）∵20＜25，

∴可以通行．

课程小结

本节课你有什么收获呢？

1、掌握勾股定理及逆定理的应用

2、掌握生活中的勾股定理及逆定理。

3、了解并掌握勾股定理中的数学思想方法的应用。