人教版八年级数学下册第7讲勾股定理综合复习教案讲义及练习.docx

1、人教版八年级数学下册第7讲 勾股定理综合复习教案讲义及练习第七讲勾股定理综合复习适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域通用课时时长（分钟）120知识点1、 数学思想方法的应用2、 勾股定理即逆定理的应用3、 勾股定理的实际应用教学目标1、 掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法。2、 能运用勾股定理解决实际问题。3、 能利用勾股定理逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形。4、 通过实例了解勾股定理及其逆定理的应用，发展学生的逻辑推理能力和数字应用能力。教学重点用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。教学难点勾股定理及其定理的探索过程。教学过程一、课堂导入平地秋千未起，踏板一

2、尺离地。送行二步与人齐，五尺人高曾记。仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉。良工高士好奇，算出索长有几？这类数字“诗题“，初看起来感觉一筹莫展，似乎无处下手，但只要细品诗意（古时1步=5尺），画出图来，数形结合，应用本章所学内容，便可柳岸花明。二、复习预习三、知识讲解考点1 数学思想方法方程思想方程是解决数学问题的重要工具，许多数学问题都可以转化为方程来求解。方程思想在本章中的体现：设直角三角形中某条边，根据已知条件表示其他两边，再以勾股定理为依据列方程求解。数形结合思想在勾股定理的探索验证中，较多地体现了数形结合思想，勾股定理是以“形”定“数”，直角三角形的判定是以“数”定“形”，因此，此定理有“数与

3、形的第一定理”的美称。考点2 勾股定理的应用当遇到含有直角三角形求边长的问题时，可试着应用勾股定理来求解，而当没有直角三角形时，有时需先构造直角三角形，再应用勾股定理求解。考点3 勾股定理及其逆定理的综合运用应用一：求线段的长应用二：折叠问题中的勾股定理应用三：求面积考点4 生活中的勾股定理及逆定理勾股定理及逆定理应用于生活应用一：生活中的勾股定理应用二：方位问题四、例题精析考点一数学思想方法例1【题干】已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10,求直角三角形的两直角边.【解析】已知两直角边的比,可设每份为x,根据勾股定理列方程求解。【答案】解：设两直角边为3x,4x,由题意知,x=2,

4、则3x=6,4x=8.故直角三角形的两直角边为6和8.例2【题干】如图所示，A、B两村庄在河边CD的同侧， A、B两村庄到 河的距离分别为AC=1km,BD=3km,且CD=3km，现在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水管时工程费用为每千米20000元，在CD上选择水厂位置点P，使铺设水管的费用最少。并求出最少费用。【解析】假设A关于直线CD的对称点为，利用轴对称的性质，使OA=O，由两点之间线段最短可知：当、O、B在同一直线上时，OA=O，由两点之间线段最短可知：当、O、B在同一直线上时，OA+OB最小，即铺设水管的费用最省。【答案】解：作A关于CD的对称点 ，连接B交CD

5、于O，则O点即为所求，如图所示，过作EBD交BD的延长线于E。则E=CD=3km,DE=C=AC=1km,BE=BD+DE=3+1=4(km).在RtEB中，B=5（km）.OA+OB=B=5（km）.总费用为520000=100000（元）.考点二 勾股定理及其逆定理的运用例1 【题干】如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且ABC=90，连接AC.（1）求AC的长度；（2）试判断三角形ACD的形状.【解析】（1）根据勾股定理易求出AC的长；（2）在ACD中，再由勾股定理的逆定理，判断三角形的形状【答案】（1）B=90，AB=1，BC=2，AC2=AB2+BC2=

6、1+4=5，AC= （2）ACD是直角三角形理由如下：AC2+CD2=5+4=9，AD2=9，AC2+CD2=AD2ACD是直角三角形例2【题干】如图，矩形ABCD中，AB12cm，BC24cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分BDE的面积 cm2【答案】90【解析】四边形ABCD是矩形，AB=CD=12CM，BC=AD=24CM，ADBC，A=90，EDB=CBDCBD与CBD关于BD对称，CBDCBD，EBD=CBD，EBD=EDB，BE=DE设DE为x，则AE=24x，BE=x，由勾股定理，得：，DE=15cm，SBDE=cm2故答案为：90例2【题干】如图，C为线段BD上

7、一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC.已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.（1） 用含x的代数式表示AC+CE的长度；（2） 请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？（3） 根据（2）中的规律和结论请构图求出代数式+的最小值。 【解析】（1）由于ABC和CDE都是直角三角形，故AC,CE可由勾股定理求得；（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和第三边知，AC+CEAE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；（3）由（1）（2）的结果可作BD=12,过点B作ABBD，过点D作EDBD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长

8、即为代数式+的最小值，然后构造矩形AFDB,RtAFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值。【答案】解：（1）（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小（3）如图所示，作BD=12，过点B作ABBD，过点B作ABBD，过点D作EDBD，使AB=2，ED=3，连结AE交BD于点C。即为求AC+CE得最小值，当点A、C、E在同一直线时AC+CE最小AE=+的最小值。过点A作AFBD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB=DF=2,AF=BD=12,EF=ED+DF=3+2=5,所以AE=,即+的最小值为13.考点三 勾股定理及其逆定理的实际应用例1【题干】如图，某住宅小区在施工过

9、程中留下了一块空地，已知AD=4米，CD=3米，ADC=90，AB=13米，BC=12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 【解析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出ACB=90，求出区域的面积，即可求出答案【答案】连结AC，在RtACD中，ADC=90，AD=4米，CD=3米，由勾股定理得：AC=（米），AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，AC2+BC2=AB2，ACB=90，该区域面积S=SACBSADC=51234=24（平方米），即铺满这块空地共需花费=24100=240

10、0元例2【题干】在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？【解析】 找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解得。【答案】设水深为x尺，则芦苇长为（x）尺，由勾股定理得 （x+1)2 x2 (102)2 X=12则水池的深度为尺，芦苇的长度为尺例3【题干】如图，居民楼与马路是平行的，在一楼的点A处测得它到马路的距离为9m，已知在距离载重汽车41m处就可受到噪声影响（1）试求

11、在马路上以4m/s速度行驶的载重汽车，能给一楼A处的居民带来多长时间的噪音影响？（2）若时间超过25秒，则此路禁止该车通行，你认为载重汽车可以在这条路上通行吗？【解析】（1）先根据勾股定理求出BC及DC的长，进而可得出BD的长，根据载重汽车的速度是4m/s即可得出受噪音影响的时间；（2）根据（1）中得出的时间与25秒相比较即可得出结论【答案】（1）由题意得AC=9，AB=AD=41，ACBD，RtACB中，BC=，RtACD中，DC=，BD=80，804=20（s），受影响时间为20s；（2）2025，可以通行课程小结本节课你有什么收获呢？1、 掌握勾股定理及逆定理的应用2、 掌握生活中的勾股定理及逆定理。3、 了解并掌握勾股定理中的数学思想方法的应用。