单元排列组合.docx
《单元排列组合.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《单元排列组合.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
单元排列组合
單元：
排列組合
主題：
計數原理
範例一：
1.將1000元換成500元劵,100元劵,50元劵,其中100元劵至少要一張,則有多少種換法？
2.每次用20根火柴為成一三角形,共可圍成多少個不全等的三角形？
類題：
1.設x,y,z皆為自然數,則x+3y+8z=32的解有多少組？
解答：
14
2.將100元兌換成5元,10元及50元的零錢：
（1）任意兌換的話,有幾種不同的兌換方式？
解答：
18
（2）若兌換時,至少要10元零錢3枚,有幾種不同的兌換方式？
解答：
11
3.有一十字路口,規定不可迴轉,東西向可以左右轉,南北向不可左轉,則此路口有多少種車的流動向？
解答：
10
範例二：
1.A,B兩地有12條通路,其中3條是A到B的單行道,另外4條是B到A的單行道,其餘為雙向道,則：
（1）小龍由A捯B來回一趟,有幾種不同的走法？
（2）若來回一趟所走的路線必須不同,又有幾種不同的走法？
2.小眞與小明一起到麥當勞點餐,有1~6號餐點可以選擇,另有5種不同的點心,若他們兩各點一份餐點,合點一份點心,試問有多少種不同的方法？
類題：
1.小華有不同的上衣5件,外出長褲6條,襪子3雙,皮鞋5雙,帽子3頂,今小華外出必須穿著整齊（不一定要帶帽子）,求外出時有幾種不同的穿法？
解答：
1800
2.在牆上有一寬2公吋,長9公吋的空白長方形,若有許多的紅色與綠色長方形瓷磚,紅瓷磚的寬為1公吋,長3公吋,綠瓷磚寬1公吋,長6公吋,用這些瓷磚填滿此長方形,則可填出多少種不同的圖形？
解答：
9
3.有三個正整數的和為10,則這三個正整數之積最大值為？
最小值為？
解答：
大36小8
範例三：
右圖正△ADE,各邊的中點B,C,F,若每一線段及每一點均不得重複經過,則
從A到F的走法有多少？
類題：
1.某人最多可玩五次輪盤賭博,每次他不是贏一元就是輸一元,此人開始以一元下注,但在五次未結束前,若他贏得三元（即有四元在手）或手中0元,則停止玩輪盤賭博,則
（1）可能的情形有多少種？
解答：
11
（2）五次以前就結束的情形有幾種？
解答：
3
（3）輸光的情形有幾種？
解答：
4
2.甲乙兩人比賽網球,第一個先連勝兩局或先勝三局者,則他贏得比賽,試求比賽可能發生的情形有多少種？
解答：
10
3.某人由x軸之原點出發,向左或向右每次走1步,若到達3或-3處或若如果他站在原點以外處2次,則停止移動,則此人步行之可能的方式有多少種？
解答：
14
主題：
排列
範例一：
1.若
則n=?
r=?
2.若
則n=?
類題：
1.若
求n=?
解答：
15
2.若
解答：
380
範例二：
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人排成一列,依下列條件分別求其排列數：
（1）甲、乙、丙三人須完全相鄰
（2）甲、乙、丙三人不完全相鄰
（3）甲、乙、丙三人須完全分開（4）甲、乙、丙三人恰有兩人相鄰
（5）甲不排首位（6）甲不排首、乙不排二
（7）甲不排首、乙不排二、丙不排三
類題
1.有4個男生及3個女生排成一列,試依下列條件分別求其排列數：
（1）若要求男生排在一起,女生一排在一起解答：
288
（2）若只要求男生排在一起解答：
576
（3）任兩女生不得相鄰解答：
1440
（4）同性不得相鄰而排解答：
72
2.
（1）連、扁、宋三人在排成一列的八個空位中,選坐相連的三個座位,則有多少不同的坐法？
解答：
36
（2）承上若三人都不相鄰而坐的情形有多少？
解答：
120
3.五對夫妻參加雙人跳舞,則：
（1）丈夫皆不與其妻為舞伴的情形有多少種？
解答：
44
（2）恰有一對夫婦共舞的情形有多少種？
解答：
45
4.用1、2、3、4、5等五個數字排成一個五位數abcde,則滿足（a-1）（b-2）（c-3）（d-4）（e-5）=0的五位數共有多少個解答：
44
範例三：
1.用0、1、2、3、4、5等六個數字排成數字不重複的三位數中,
（1）共有幾個？
（2）為4的倍數者有幾個？
（3）為3的倍數者有多少個？
（4）所得之所有數字和為？
2.用0、1、2、3、4、5中,任取4個數字作四位數,數字可重複,則試求下列的方法數：
（1）任意選取
（2）此四位數為偶數（3）此四位數為4的倍數
（4）此四位數為5的倍數（5）所有四位數的和（6）其中大於2300的四位數
類題：
1.以1、3、5、7、9作成數字不同的五位數,則
（1）可作幾個？
解答：
120
（2）總和為？
解答：
6666600
2.
（1）求將六封不同的信,投入四個郵筒的方法數為？
解答：
4096
（2）五個旅客投宿四家飯店的方法數？
解答：
1024
（3）將五種不同的酒倒入四個不同的酒杯,但酒杯的酒不能混合解答：
3125
主題：
不盡相異物的排列
範例一：
1.attention的字母重新排列,則
（1）有多少不同的排法？
（2）其中首位排t的排法數？
（3）母音字母順序不變的排法數？
（4）子音不相鄰的排法數？
（5）母音不相鄰的排法數？
2.某日有七節課,其中兩節數學,另外國文、英文、物理、化學、體育各一節,今為求上課效率,規定第四、五節不得排數學課,則當日的課表有多少種可能？
類題：
1.甲、乙、丙、丁、戊、己六人排成一列,依下列條件分別求其排列數：
（1）甲必在乙之前的排法數？
解答：
360
（2）甲在乙之前而乙在丙之前？
解答：
120
（3）甲在乙、丙之前？
解答：
240
（4）甲在乙、丙之前且丁在乙丙之後？
解答：
60
2.把「庭院深深深幾許」七字全取而排成一列,則
（1）任意排的排法數？
解答：
840
（2）三個深不完全連在一起的排法數？
解答：
720
（3）三個深完全分開的排法數？
解答：
240
（4）三個深至少有兩個相鄰的排法數？
解答：
600
（5）三個深恰有兩個相鄰的排法數？
解答：
480
3.20個圍棋黑白子,將其排成上下相對的兩列,每列各十子,上列放四黑六白,下列放三黑七白,但規定黑子上下不得相對,則有多少種不同的排法數？
解答：
範例二：
用1112233444等10個數字排成一十位數,則所排成的數中偶數的有多少個？
範例三：
老師將12枝相同的鉛筆分給甲、乙、丙、丁、戊、己六位小朋友,其種兩位各得4枝,兩位各得2枝,而有兩位沒分到,則
（1）有多少種分法？
（2）在此種分法下,戊、己兩位都獲得4枝的分法有多少？
類題：
1.警報器長鳴一次需3秒,短銘一次需1秒,而鳴放一次間間隔2秒,問歷程30秒可作多少個信號？
B
解答：
80
D
C
2.如右圖,由A到B走捷徑（只許
）試求下列
走法各有幾種
（1）由A到B全部的走法有多少？
解答：
126
（2）
A
由A到B必經過D的走法有多少？
解答：
60
（3）由A到B不經過C的走法有多少？
解答：
66
（4）由A到B不經過C且不經過D的走法有多少？
解答：
33
3.有相同的鉛筆3枝,原子筆2枝,鋼筆2枝分給兒童,每人最多一枝,求：
（1）分給7個人,有幾種分法？
解答：
210
（2）分給9個人,有幾種分法？
解答：
7560
主題：
重複排列
範例：
有五件不同的物體分給甲乙丙丁四人,求下列各情形的分法：
（1）任意分
（2）甲恰得一件（3）甲至少得一件（4）甲至少得二件
（5）甲至多得一件（6）甲乙兩人每人至少得二件（7）每個人至少得一件
類題：
1.由1、2、3、4、5、6,六個數字所組成（數字可重複）的四位數中含有奇數個1的共有多少個？
解答：
520
2.將四個不同的球投入三個不同的袋子,每次一球,連續四次,則：
（1）每袋皆有球的方法？
解答：
36
（2）恰有一個空袋的方法數？
解答：
42
（3）恰有二個空袋的方法數？
解答：
3
3.渡船三艘,每艘可載6人,試依下列條件分別求安全過渡的方法數：
（1）6人同時過渡？
解答：
729
（2）7人同時過渡？
解答：
2184
（3）8人同時過渡？
解答：
6510
（4）9人同時過渡？
解答：
19194
主題：
環狀排列
範例一：
1.設有甲乙丙丁等八人,今選出五人圍一圓桌而坐,求下列各條件的排法數：
（1）任意排列
（2）必須有甲
2.雙親及四個子女圍一圓桌而坐,則：
（1）任意圍坐的坐法？
（2）雙親必須相對而坐
類題：
1.從五位男生,三位女生,選出五位圍圓桌而坐,則
（1）方法數？
解答：
1344
（2）若規定選出的五人之中,至少有二位女生且女生必須相鄰而坐的方法數？
解答：
480
2.13個人跳土風舞圍成兩圈,外圈8人,內圈5人,方法數有多少？
解答：
384
3.爸爸、媽媽、哥哥與妹妹四人參加喜宴,與其他客人坐滿一張12個座位的圓桌,若四人座位相鄰,且哥哥、妹妹夾坐於爸爸、媽媽中間,則共有多少種坐法？
解答：
161280
範例二：
一對夫婦邀請四對夫婦共10人圍一圓桌而坐,求下列的排法數：
（1）任意入坐
（2）每對夫婦皆相鄰而坐（3）主人夫婦相對而坐
（4）每對夫婦皆相對而坐（5）男女間隔而坐（6）男女間隔夫婦相鄰而坐
類題：
1.八人為一方桌而坐,每邊坐2人的坐法？
解答：
10080
2.由10顆不同的珠子中：
（1）全取串成一條項鍊,有幾種串法？
解答：
161440
（2）從10顆中取出6顆串成一項鍊,有幾種串法？
解答：
12600
3.用六種不同顏色塗於一正立方體的表面每面不同色（考慮正立方體可以翻轉）,則有多少種塗法？
解答：
30
主題：
組合
範例一：
1.某大樓住了十對夫婦,想選出4人擔任住戶管理委員會的委員,求下列情形的選法：
（1）任意選
（2）不可全選男或全選女（3）夫婦不可同時當選
（4）恰有一對夫當選（5）恰為兩對夫婦當選
2.某社團有九位男社員,五位女社員,要由其中選三名委員,若規定男女生至少各有一名當選,則有多少種不同的選法？
類題：
1.有13題問題的試卷中,須選擇10題作答,求下列情形的選法有多少：
（1）任意選答解答：
286
（2）前五題必須作答解答：
56
（3）前五題至少選作三題解答：
276
2.因乾旱水源不足,自來水公司計畫在下週一至週日的七天中選擇兩天停水,若要求停水的兩天不相連,則自來水公司共有多少不同的選擇？
解答：
15
3.自1到9的自然數中取3個,則：
（1）任二個數不相連的取法有多少？
解答：
35
（2）三數和為偶數的取法有多少？
解答：
44
（3）三數乘積為偶數的取法有多少？
解答：
74
（4）三數成等差的取法有多少？
解答：
16
A
B
範例二：
右圖為每一小方格為一平方單位的正方形,則
（1）共有多少個矩形？
（2）有多個正方形？
（3）有多少個面積為6平方單位的矩形？
（4）至少包含A或B的矩形有多少個？
類題：
1.一正立方體的8個頂點決定：
（1）多少條直線？
解答：
28
（2）多少個三角形？
解答：
56
（3）多少個平面？
解答：
20
2.兄弟二人在排成一列的20空位中,選作不相鄰的兩個位置的坐法有多少？
解答：
342
3.從一副52張的撲克牌中,取5張出現3條（三張同號,另兩張不同號且與前述三張不同號）的可能取法有多少？
解答：
54912
4.從一副52張的撲克牌中,取3張,則：
（1）三張均同一花色的取法有多少？
解答：
1144
（2）三張均不同點數的取法？
解答：
18304
5.某拳擊比賽,規定每位選手必須和所有其他選手各比賽一場,賽程總計為78場,則選手人數為多少人？
解答：
13
範例三：
從aaabbcd七字母中
（1）任取三個的取法有多少？
（2）將上題所取的字母排成一列的排法有多少？
類題：
1.mississippi一自的字母中,任取4個字母的組合數有多少？
排列數有多少？
解答：
21,176
2.由1,1,2,2,3,4,5等七個數字中,任取四個作成的四位數有幾個？
解答：
270
主題：
重複組合
範例一：
1.將6個相同的玩具,分給四個小朋友,則：
（1）任意分？
（2）每人至少一個的分法？
2.書店售有八種書籍,今某位老師欲購買五本書以獎勵其學生,則此位老師有多少種不同的選擇？
類題：
1.有十一件相同的東西,分給甲乙丙三人（東西要分完）
（1）若甲至少得1件,乙至少得2件,丙至少得4件,則分法有多少種？
解答：
15
（2）若三人中有一人至少得一件,一人至少得兩件,另一人至少得四件的分法有多少種？
解答：
42
2.福利社供應香草,楊梅,芒果,可可,巧克力,葡萄等六種冰淇淋,今有同學十二人同往,每人各要一份,問售貨員取出之冰淇淋有多少種不同的組合？
解答：
6188
範例二：
設x+y+z+u=12,求合於以下條件各有幾組整數解？
（1）非負的整數解
（2）正整數解（3）x≧0,y≧1,z≧2,u≧3
（4）x>0,y>1,z>2,u>3（5）x>-1,y>-2,z>5,u≧5
類題：
1.x+y+z+u≧10的整數解中,求：
（1）非負的整數解有多少組？
解答：
1001
（2）正整數解有多少組？
解答：
210
2.有10人參加投票,自4名候選人中圈選一人（設無廢票）,則：
（1）若投票採無記名,則各候選人的得票情形有多少種？
解答：
286
（2）若投票採記名投票,則各候選人的得票情形有多少種？
解答：
410
3.有5枝相同的鉛筆,4塊相同的橡皮擦,分給三位小朋友,則下列各條件的分法各為何？
（1）任意分解答：
315
（2）每人至少得一支鉛筆解答：
90
（3）每人每種至少得一件解答：
18
（4）每人至少得一件解答：
228
主題：
分組分堆
範例：
有12件不同的東西,則依下列各條件的分法各有多少：
（1）平分成三堆
（2）依3,4,5分成三堆（3）依3,3,6分成三堆
（4）平分給三人（5）分給三人,甲得3件,乙得4件,丙得5件
（6）分給三人,甲得3件,乙得3件,丙得6件（7）分給三人,一人得3件,一人得4件,一人得5件
（7）分給三人,一人得3件,一人得3件,一人得6件
類題：
1.將甲乙丙丁等八人平均分到A,B,C,D四個班級的分法？
解答：
2520
2.將甲乙丙丁等九人均分成3組,若甲乙兩人不同組的分法有多少？
解答：
210
主題：
二項式定理
範例一
1.求
的展開式中x3項係數為何？
2.若
展開後常數項係數為1215,則實數a=?
類題：
1.求（3x2-2y）7展開式中x6y4的係數？
解答：
15120
2.
的展開式中,x3的係數為？
x2項的係數為？
常數項？
解答：
-160,0,240
3.設f（x）=（1-x）10=a0+a1x+a2x2+、、、+a10x10,下列何者正確？
（A）a2>50（B）a5>100（C）a2=a8
（D）a0+a1+a2+a3+a4=
（E）
=1解答：
CDE
範例二：
（1+x3）+（1+x3）2+（1+x3）3+、、、+（1+x3）20展開式中x6項係數為？
類題：
1.（1-x2）+（1-x2）2+（1-x2）3+、、、+（1-x2）10展開式中x4項係數為？
解答：
165
2.（1+x+x2）6展開式,
（1）經合併後共有多少相異項？
解答：
13
（2）其中x10項係數為？
解答：
21
3.求（1.02）10之近似值至小數點後第二位？
解答：
1.22
4.試求（x-1）2除x100+1之餘式？
解答：
100x-98
升级会员 