单元排列组合.docx

1、单元排列组合單元：排列組合主題：計數原理範例一： 1.將1000元換成500元劵,100元劵,50元劵,其中100元劵至少要一張,則有多少種換法？ 2.每次用20根火柴為成一三角形,共可圍成多少個不全等的三角形？類題：1.設x,y,z皆為自然數,則x+3y+8z=32的解有多少組？ 解答：142.將100元兌換成5元,10元及50元的零錢： (1)任意兌換的話,有幾種不同的兌換方式？ 解答：18 (2)若兌換時,至少要10元零錢3枚,有幾種不同的兌換方式？ 解答：113.有一十字路口,規定不可迴轉,東西向可以左右轉,南北向不可左轉,則此路口有多少種車的流動向？ 解答：10範例二： 1.A,B兩

2、地有12條通路,其中3條是A到B的單行道,另外4條是B到A的單行道,其餘為雙向道,則：(1)小龍由A捯B來回一趟,有幾種不同的走法？ (2)若來回一趟所走的路線必須不同,又有幾種不同的走法？ 2.小眞與小明一起到麥當勞點餐,有16號餐點可以選擇,另有5種不同的點心,若他們兩各點一份餐點,合點一份點心,試問有多少種不同的方法？類題：1.小華有不同的上衣5件,外出長褲6條,襪子3雙,皮鞋5雙,帽子3頂,今小華外出必須穿著整齊(不一定要帶帽子),求外出時有幾種不同的穿法？ 解答：18002.在牆上有一寬2公吋,長9公吋的空白長方形,若有許多的紅色與綠色長方形瓷磚,紅瓷磚的寬為1公吋,長3公吋,綠瓷磚

3、寬1公吋,長6公吋,用這些瓷磚填滿此長方形,則可填出多少種不同的圖形？ 解答：93.有三個正整數的和為10,則這三個正整數之積最大值為？最小值為？ 解答：大36小8範例三： 右圖正ADE,各邊的中點B,C,F,若每一線段及每一點均不得重複經過,則從A到F的走法有多少？類題：1.某人最多可玩五次輪盤賭博,每次他不是贏一元就是輸一元,此人開始以一元下注,但在五次未結束前,若他贏得三元(即有四元在手)或手中0元,則停止玩輪盤賭博,則(1)可能的情形有多少種？ 解答：11(2)五次以前就結束的情形有幾種？ 解答：3(3)輸光的情形有幾種？ 解答：42.甲乙兩人比賽網球,第一個先連勝兩局或先勝三局者,則

4、他贏得比賽,試求比賽可能發生的情形有多少種？ 解答：103.某人由x軸之原點出發,向左或向右每次走1步,若到達3或-3處或若如果他站在原點以外處2次,則停止移動,則此人步行之可能的方式有多少種？ 解答：14主題：排列範例一： 1.若,則n=?,r=? 2.若則n=?類題：1.若求n=? 解答：152.若 解答：380範例二： 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人排成一列,依下列條件分別求其排列數： (1)甲、乙、丙三人須完全相鄰 (2)甲、乙、丙三人不完全相鄰 (3)甲、乙、丙三人須完全分開 (4)甲、乙、丙三人恰有兩人相鄰 (5)甲不排首位 (6)甲不排首、乙不排二 (7)甲不排首、乙不排二、丙不

5、排三類題1.有4個男生及3個女生排成一列,試依下列條件分別求其排列數： (1)若要求男生排在一起,女生一排在一起 解答：288 (2)若只要求男生排在一起 解答：576 (3)任兩女生不得相鄰 解答：1440 (4)同性不得相鄰而排 解答：722.(1)連、扁、宋三人在排成一列的八個空位中,選坐相連的三個座位,則有多少不同的坐法？ 解答：36 (2)承上若三人都不相鄰而坐的情形有多少？ 解答：1203.五對夫妻參加雙人跳舞,則：(1)丈夫皆不與其妻為舞伴的情形有多少種？ 解答：44 (2)恰有一對夫婦共舞的情形有多少種？ 解答：454.用1、2、3、4、5等五個數字排成一個五位數abcde,則

6、滿足(a-1)(b-2)(c-3)(d-4)(e-5)=0的五位數共有多少個 解答：44範例三： 1.用0、1、2、3、4、5等六個數字排成數字不重複的三位數中,(1)共有幾個？(2)為4的倍數者有幾個？ (3)為3的倍數者有多少個？ (4)所得之所有數字和為？ 2.用0、1、2、3、4、5中,任取4個數字作四位數,數字可重複,則試求下列的方法數： (1)任意選取 (2)此四位數為偶數 (3)此四位數為4的倍數 (4)此四位數為5的倍數 (5)所有四位數的和 (6)其中大於2300的四位數類題：1.以1、3、5、7、9作成數字不同的五位數,則(1)可作幾個？ 解答：120 (2)總和為？ 解答

7、：66666002.(1)求將六封不同的信,投入四個郵筒的方法數為？ 解答：4096 (2)五個旅客投宿四家飯店的方法數？ 解答：1024 (3)將五種不同的酒倒入四個不同的酒杯,但酒杯的酒不能混合 解答：3125主題：不盡相異物的排列範例一： 1.attention的字母重新排列,則(1)有多少不同的排法？(2)其中首位排t的排法數？ (3)母音字母順序不變的排法數？(4)子音不相鄰的排法數？(5)母音不相鄰的排法數？ 2.某日有七節課,其中兩節數學,另外國文、英文、物理、化學、體育各一節,今為求上課效率,規定第四、五節不得排數學課,則當日的課表有多少種可能？類題：1.甲、乙、丙、丁、戊、己

8、六人排成一列,依下列條件分別求其排列數： (1)甲必在乙之前的排法數？ 解答：360 (2)甲在乙之前而乙在丙之前？ 解答：120 (3)甲在乙、丙之前？ 解答：240 (4)甲在乙、丙之前且丁在乙丙之後？ 解答：602.把庭院深深深幾許七字全取而排成一列,則(1)任意排的排法數？ 解答：840 (2)三個深不完全連在一起的排法數？ 解答：720 (3)三個深完全分開的排法數？ 解答：240 (4)三個深至少有兩個相鄰的排法數？ 解答：600 (5)三個深恰有兩個相鄰的排法數？ 解答：4803.20個圍棋黑白子,將其排成上下相對的兩列,每列各十子,上列放四黑六白,下列放三黑七白,但規定黑子上下

9、不得相對,則有多少種不同的排法數？ 解答： 範例二： 用1112233444等10個數字排成一十位數,則所排成的數中偶數的有多少個？範例三： 老師將12枝相同的鉛筆分給甲、乙、丙、丁、戊、己六位小朋友,其種兩位各得4枝,兩位各得2枝,而有兩位沒分到,則(1)有多少種分法？(2)在此種分法下, 戊、己兩位都獲得4枝的分法有多少？類題：1.警報器長鳴一次需3秒,短銘一次需1秒,而鳴放一次間間隔2秒,問歷程30秒可作多少個信號？B 解答：80 D C2.如右圖,由A到B走捷徑(只許)試求下列 走法各有幾種(1) 由A到B全部的走法有多少？ 解答：126(2) A由A到B必經過D的走法有多少？ 解答：

10、60(3) 由A到B不經過C的走法有多少？ 解答：66(4)由A到B不經過C且不經過D的走法有多少？ 解答：333.有相同的鉛筆3枝,原子筆2枝,鋼筆2枝分給兒童,每人最多一枝,求： (1)分給7個人,有幾種分法？ 解答：210 (2)分給9個人,有幾種分法？ 解答：7560主題：重複排列範例： 有五件不同的物體分給甲乙丙丁四人,求下列各情形的分法： (1)任意分 (2)甲恰得一件 (3)甲至少得一件 (4)甲至少得二件 (5)甲至多得一件 (6)甲乙兩人每人至少得二件 (7)每個人至少得一件類題：1.由1、2、3、4、5、6,六個數字所組成(數字可重複)的四位數中含有奇數個1的共有多少個？

11、解答：5202.將四個不同的球投入三個不同的袋子,每次一球,連續四次,則： (1)每袋皆有球的方法？ 解答：36 (2)恰有一個空袋的方法數？ 解答：42 (3)恰有二個空袋的方法數？ 解答：33.渡船三艘,每艘可載6人,試依下列條件分別求安全過渡的方法數： (1)6人同時過渡？ 解答：729 (2)7人同時過渡？ 解答：2184 (3)8人同時過渡？ 解答：6510 (4)9人同時過渡？ 解答：19194主題：環狀排列範例一： 1.設有甲乙丙丁等八人,今選出五人圍一圓桌而坐,求下列各條件的排法數： (1)任意排列 (2)必須有甲 2.雙親及四個子女圍一圓桌而坐,則：(1)任意圍坐的坐法？ (

12、2)雙親必須相對而坐類題：1.從五位男生,三位女生,選出五位圍圓桌而坐,則(1)方法數？ 解答：1344 (2)若規定選出的五人之中,至少有二位女生且女生必須相鄰而坐的方法數？ 解答：4802. 13個人跳土風舞圍成兩圈,外圈8人,內圈5人,方法數有多少？ 解答：3843.爸爸、媽媽、哥哥與妹妹四人參加喜宴,與其他客人坐滿一張12個座位的圓桌,若四人座位相鄰,且哥哥、妹妹夾坐於爸爸、媽媽中間,則共有多少種坐法？ 解答：161280範例二： 一對夫婦邀請四對夫婦共10人圍一圓桌而坐,求下列的排法數： (1)任意入坐 (2)每對夫婦皆相鄰而坐 (3)主人夫婦相對而坐 (4)每對夫婦皆相對而坐 (5

13、)男女間隔而坐 (6)男女間隔夫婦相鄰而坐類題：1.八人為一方桌而坐,每邊坐2人的坐法？ 解答：100802.由10顆不同的珠子中：(1)全取串成一條項鍊,有幾種串法？ 解答：161440 (2)從10顆中取出6顆串成一項鍊,有幾種串法？ 解答：126003.用六種不同顏色塗於一正立方體的表面每面不同色(考慮正立方體可以翻轉),則有多少種塗法？ 解答：30主題：組合範例一： 1.某大樓住了十對夫婦,想選出4人擔任住戶管理委員會的委員,求下列情形的選法： (1)任意選 (2)不可全選男或全選女 (3)夫婦不可同時當選 (4)恰有一對夫當選 (5)恰為兩對夫婦當選 2.某社團有九位男社員,五位女社

14、員,要由其中選三名委員,若規定男女生至少各有一名當選,則有多少種不同的選法？類題：1.有13題問題的試卷中,須選擇10題作答,求下列情形的選法有多少： (1)任意選答 解答：286 (2)前五題必須作答 解答：56 (3)前五題至少選作三題 解答：2762.因乾旱水源不足,自來水公司計畫在下週一至週日的七天中選擇兩天停水,若要求停水的兩天不相連,則自來水公司共有多少不同的選擇？ 解答：153.自1到9的自然數中取3個,則： (1)任二個數不相連的取法有多少？ 解答：35 (2)三數和為偶數的取法有多少？ 解答：44 (3)三數乘積為偶數的取法有多少？ 解答：74 (4)三數成等差的取法有多少？

15、 解答：16AB範例二：右圖為每一小方格為一平方單位的正方形,則 (1)共有多少個矩形？ (2)有多個正方形？ (3)有多少個面積為6平方單位的矩形？ (4)至少包含A或B的矩形有多少個？類題：1.一正立方體的8個頂點決定：(1)多少條直線？ 解答：28(2)多少個三角形？ 解答：56(3)多少個平面？ 解答：202.兄弟二人在排成一列的20空位中,選作不相鄰的兩個位置的坐法有多少？ 解答：3423.從一副52張的撲克牌中,取5張出現3條(三張同號,另兩張不同號且與前述三張不同號)的可能取法有多少？ 解答：549124.從一副52張的撲克牌中,取3張,則：(1)三張均同一花色的取法有多少？ 解

16、答：1144 (2)三張均不同點數的取法？ 解答：183045.某拳擊比賽,規定每位選手必須和所有其他選手各比賽一場,賽程總計為78場,則選手人數為多少人？ 解答：13範例三： 從aaabbcd七字母中(1)任取三個的取法有多少？ (2)將上題所取的字母排成一列的排法有多少？類題：1.mississippi一自的字母中,任取4個字母的組合數有多少？排列數有多少？ 解答：21,1762.由1,1,2,2,3,4,5等七個數字中,任取四個作成的四位數有幾個？ 解答：270主題：重複組合範例一： 1.將6個相同的玩具,分給四個小朋友,則：(1)任意分？ (2)每人至少一個的分法？ 2.書店售有八種書

17、籍,今某位老師欲購買五本書以獎勵其學生,則此位老師有多少種不同的選擇？類題：1.有十一件相同的東西,分給甲乙丙三人(東西要分完)(1)若甲至少得1件,乙至少得2件,丙至少得4件,則分法有多少種？ 解答：15(2)若三人中有一人至少得一件,一人至少得兩件,另一人至少得四件的分法有多少種？解答：422.福利社供應香草,楊梅,芒果,可可,巧克力,葡萄等六種冰淇淋,今有同學十二人同往,每人各要一份,問售貨員取出之冰淇淋有多少種不同的組合？ 解答：6188範例二： 設x+y+z+u=12,求合於以下條件各有幾組整數解？ (1)非負的整數解 (2)正整數解 (3)x0,y1,z2,u3 (4)x0,y1,

18、z2,u3 (5)x-1,y-2,z5,u5類題：1.x+y+z+u10的整數解中,求：(1) 非負的整數解有多少組？ 解答：1001(2)正整數解有多少組？ 解答：2102.有10人參加投票,自4名候選人中圈選一人(設無廢票),則： (1)若投票採無記名,則各候選人的得票情形有多少種？ 解答：286 (2)若投票採記名投票,則各候選人的得票情形有多少種？ 解答：4103.有5枝相同的鉛筆,4塊相同的橡皮擦,分給三位小朋友,則下列各條件的分法各為何？ (1)任意分 解答：315 (2)每人至少得一支鉛筆 解答：90 (3)每人每種至少得一件 解答：18 (4)每人至少得一件 解答：228主題：

19、分組分堆範例： 有12件不同的東西,則依下列各條件的分法各有多少：(1)平分成三堆 (2)依3,4,5分成三堆 (3)依3,3,6分成三堆 (4)平分給三人 (5)分給三人,甲得3件,乙得4件,丙得5件 (6)分給三人,甲得3件,乙得3件,丙得6件 (7)分給三人,一人得3件,一人得4件,一人得5件 (7)分給三人,一人得3件,一人得3件,一人得6件類題：1.將甲乙丙丁等八人平均分到A,B,C,D四個班級的分法？ 解答：25202.將甲乙丙丁等九人均分成3組,若甲乙兩人不同組的分法有多少？ 解答：210主題：二項式定理範例一 1.求的展開式中x3項係數為何？ 2.若展開後常數項係數為1215,

20、則實數a=?類題：1.求(3x2-2y)7展開式中x6y4的係數？ 解答：151202.的展開式中,x3的係數為？x2項的係數為？常數項？ 解答：-160,0,2403.設f(x)=(1-x)10=a0+a1x+a2x2+、+a10x10,下列何者正確？(A)a250 (B)a5100 (C)a2=a8 (D)a0+a1+a2+a3+a4= (E) =1 解答：CDE範例二： (1+x3)+(1+x3)2+(1+x3)3+、+(1+x3)20展開式中x6項係數為？類題：1.(1-x2)+(1-x2)2+(1-x2)3+、+(1-x2)10展開式中x4項係數為？ 解答：1652.(1+x+x2)6展開式,(1)經合併後共有多少相異項？ 解答：13 (2)其中x10項係數為？ 解答：213.求(1.02)10之近似值至小數點後第二位？ 解答：1.224.試求(x-1)2除x100+1之餘式？ 解答：100x-98