高考数学大题专题练习立体几何一doc.docx
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高考数学大题专题练习立体几何一doc
2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何
（一）
1.如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，
PD=AB=2，点E,F,G分别为PC,PD,BC的中点.
（1）求证：
PAEF；
（2）求二面角D-FG-E的余弦值.
2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱
ADE-BCF和一个正四棱锥
P-ABCD组合而
成，AD
AF，AE=AD=2.
（1）
证明：
平面PAD平面ABFE；
（2）
求正四棱锥P-ABCD的高h，使得二面角C-AF-P的余弦值是2
2.
3
1
3.四棱锥
P
ABCD中，侧面PDC是边长为
2的正三角形，且与底面垂直，底面
ABCD是
面积为2
3
的菱形，
ADC为锐角，M为PB的中点．
P
（Ⅰ）求证：
PD∥面ACM．
M
（Ⅱ）求证：
PACD．
（Ⅲ）求三棱锥P
ABCD的体积．
C
B
D
A
4.如图，四棱锥SABCD满足SA面ABCD，DABABC90．SAABBCa，
AD2a．
（Ⅰ）求证：
面SAB面SAD．
（Ⅱ）求证：
CD面SAC．
S
AD
B
C
2
5.在四棱锥P
ABCD中，底面ABCD为矩形，测棱PD
底面ABCD，PD
DC，点E是
BC的中点，作
EF
PB交PB于F．
P
（Ⅰ）求证：
平面PCD平面PBC．
F
E
（Ⅱ）求证：
PB
平面EFD．
D
C
A
B
6.在直棱柱ABC
A1B1C1中，已知AB
AC，设AB1中点为D，A1C中点为E．
（Ⅰ）求证：
DE∥平面BCC1B1．
（Ⅱ）求证：
平面
ABB1A1平面ACC1A1．
A
BC
DE
A1
B1C1
3
7.在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB//CD，ABAD，PAPB，
AB:
AD:
CD2:
2:
1.
（1）证明BDPC；
（2）求二面角APCD的余弦值；
（3）设点Q为线段PD上一点，且直线AQ平面PAC所
成角的正弦值为2，求PQ的值.
3PD
8.在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝λEO.
（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；
（2）若λ=2，求证：
平面CDE⊥平面CD1O.
4
9.如图，在四棱锥P
ABCD中，底面
ABCD是平行四边形，∠BCD
135
，侧面PAB⊥
底面ABCD，∠BAP
90，AB
AC
PA2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在
线段PD上．
（Ⅰ）求证：
EF⊥平面PAC．
P
（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：
ME∥平面PAB．
M
（Ⅲ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线
ME与
A
D
F
平面ABCD所在的角相等，求
PM的值．
B
E
C
PD
10.如图，在三棱柱ABCA1B1C1，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，ACABAA1，E，F分别是棱BC，A1A的中点，G为棱CC1上的一点，且
C1F∥平面AEG．
C1
A1
（1）求
CG
的值．
CC1
G
B1F
2
）求证：
EG⊥AC1
（
．
（
3
）求二面角A1AG
E的余弦值．
C
A
E
B
5
11.如图，在四棱锥
PABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，
AD⊥AB，且PB
AB
AD3，BC1．
（Ⅰ）若点F为PD上一点且PF
1
PD，证明：
CF∥平面PAB．
3
（Ⅱ）求二面角B
PD
A的大小．
（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点
M，使得
CM⊥PA？
若存在，求出
PM的长；若不存在，说明
P
F
理由．
A
D
B
C
12.如图，在四棱锥
EABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，CD∥AB，BC⊥CD，
EA⊥ED，AB
4，BCCDEAED2．
Ⅰ证明：
BD⊥AE．
Ⅱ求平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值．
E
D
C
A
B
6
13.己知四棱锥P
ABCD中，PA
平面ABCD，底面
ABCD是菱形，且PAAB2．
ABC60，BC、
P
PD的中点分别为
E，F．
F
（Ⅰ）求证BC
PE．
A
（Ⅱ）求二面角
FACD的余弦值．
D
（Ⅲ）在线段AB上是否存在一点
G，使得AF平行于
BEC
平面PCG？
若存在，指出G在AB上的位置并给予证明，若不存在，请说明理由．
14.如图，ABCD是边长为3的正方形，DE
平面ABCD，
E
AF∥DE，DE
3AF，BE与平面ABCD所成角为60．
（Ⅰ）求证：
AC
平面BDE．
（Ⅱ）求二面角FBED的余弦值．
FD
C
（Ⅲ）设点M线段BD上一个动点，试确定点
M的位置，
使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
A
B
7
15.如图，PA
面ABC，ABBC，
C
ABPA2BC
2，M为PB的中点．
D
（Ⅰ）求证：
AM
平面PBC．
A
B
（Ⅱ）求二面角A
PC
B的余弦值．
M
P
（Ⅲ）在线段PC上是否存在点D，使得
BDAC，若存在，求出
PD的值，若不存在，说明理由．
PC
16.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD,AB//CD,E是PB的中点,
PD2,PA5,ABAD3,
AH
2.
HD
（1）证明：
PH⊥平面ABCD；
（2）若F是CD上的点，且FC2FD3，求二面角BEFC的正弦值.
8
17.如图，DC⊥平面ABC，EB//DC，
ACBCEB2DC2，ACB120，Q
为AB的中点．
（Ⅰ）证明：
CQ⊥平面ABE；
（Ⅱ）求多面体ACED的体积；
（Ⅲ）求二面角A-DE-B的正切值．
18.如图1,在△ABC中，AB=BC=2,∠B=90°,D为BC边上一点，以边AC为对角线做平行四边形ADCE，沿AC将△ACE折起，使得平面ACE⊥平面ABC,如图2.
（1）在图2中，设M为AC的中点，求证:
BM丄AE；
（2）在图2中，当DE最小时，求二面角A-DE-C的平面角.
9
19.如图所示，在已知三棱柱ABF-DCE中，
ADE90，ABC60，
ABAD2AF，平面ABCD⊥平面ADEF，点M
在线段BE上，点G是线段AD的中点．
（1）试确定点M的位置，使得AF∥平面GMC；
（2）求直线BG与平面GCE所成角的正弦值．
20.已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC=AB，PA⊥平面ABCD，E，F分别
是AB，PD的中点.
（Ⅰ）求证：
AF∥平面PCE；
（Ⅱ）若AB2AP2，求平面PAD与平面PCE所成锐二面角的余弦值.
10
21.如图，五面体PABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为
直角梯形，
BCD,PDBCCD1AD,APPD.
22
（1）若E为AP的中点，求证：
BE∥平面PCD；
（2）求二面角P-AB-C的余弦值.
22.如图
（1）所示，已知四边形SBCD是由Rt△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中
SABSDC90.且点A为线段SD的中点，AD2DC1，AB2.现将△SAB
沿AB进行翻折，使得二面角S-AB-C的大小为90°，得到图形如图
（2）所示，连接SC，点E，F分别在线段SB，SC上.
（Ⅰ）证明：
BDAF；
（Ⅱ）若三棱锥B-AEC的体积为四棱锥S-ABCD体积的2，求点E到平面ABCD的距离.
5
11
23.
四
棱
锥
S-ABCD
中，
AD∥BC
，
BC
CD,
SDA
SDC
600
，
AD
DC
1
1
BC
SD，E为SD的中点.
22
（1）求证：
平面AEC⊥平面ABCD；
（2）求BC与平面CDE所成角的余弦值.
24.已知三棱锥P-ABC，底面ABC是以B为直角顶点
的等腰直角三角形，PA⊥AC，BA=BC=PA=2，二面
角P-AC-B的大小为120°.
（1）求直线PC与平面ABC所成角的大小；
（2）求二面角P-BC-A的正切值.
12
25.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面
ABCD，ABCBCD900，PAPDDCCB1AB，E是PB的中点，
2
（Ⅰ）求证：
EC∥平面APD；
（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成的角的正切值；
（Ⅲ）求二面角P-AB-D的余弦值.
26.四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为边长为2的正方
形，PA=2，PB=PD=22，E，F，G，H分别为棱
PA，PB，AD，CD的中点．
（1）求CD与平面CFG所成角的正弦值；
（2）探究棱PD上是否存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，若存在，求出PM的值；
PD
若不存在，请说明理由．
13
试卷答案
1
以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
D-xyz，则
D（0,0,0），A（0,2,0），C（-2,0,0），P（0,0,2），E（-1,0,1），F（0,0,1），G（-2,1,0）.
uuur
uuur
（1）
∵PA=（0,2,-2），EF=（1,0,0），
uuuruuur
0，∴PA^EF.
则PA?
EF
uuur
uuur
（2）
易知DF=（0,0,1），FG=（-2,1-1），
ur
设平面DFG的法向量m=（x1,y1,z1），
uruuur
ì
ì
=0
m?
DF
0
?
z1
则
?
，即
，
íuruuur
í
?
0
?
-2x1+y1-z1=0
?
?
m?
FG
令x1=1，则m=（1,2,0）是平面DFG的一个法向量，
r
同理可得n=（0,1,1）是平面EFG的一个法向量，
ur
r
2
10
urrm×n
∴cos=ur
r=
=
，
m
×
5′2
5
n
由图可知二面角D-FG-E为钝角，
∴二面角D-FG-E的余弦值为
10
-.
5
2.
（1）证明：
直三棱柱ADE-BCF中，AB^平面ADE，所以：
AB^AD，又AD^AF，
所以：
AD^平面ABFE，ADì平面PAD，
所以：
平面PAD^平面ABFE.
（2）由
（1）AD^平面ABFE，以A为原点，AB,AE,AD方向为x,y,z轴建立空间直角坐标系
14
A-xyz，设正四棱锥P-ABCD的高h，AE=AD=2，
则A（0,0,0），F（2,2,0），C（2,0,2），P（1,-h,1）.
uuur
uuur
uuur
AF=（2,2,0），AC=（2,0,2），AP=（1,-h,1）.
ur
设平面ACF的一个法向量m=（x1,y1,z1），
ur
uuur
ì
=0
ur
?
m?
AF2x1+2y1
则：
í
uuur
，取x1=1，则y1=z1
=-1，所以：
m=1,-1,-1.
r
（
）
?
n?
AC2x1+2z1=0
?
r
uuur
r
ì
（
x2,y2,z2
）
?
n?
AF2x2+2y2=0
，
设平面AFP的一个法向量n=
，则ír
uuur
?
n?
APx2-hy2+z2=0
?
r
取x2=1，则y2=-1，z2=-1-h，所以：
n=（1,-1,-1-h），
urr
ur
r
二面角C-AF-P的余弦值是22
m?
n
=
，所以：
cos=ur
r
3
mn
解得：
h=1.
11+1+h
2
32+（h+1）
=22，
3
3.
P
M
CB
E
O
DA
（Ⅰ）证明：
连结AC交BD于O，则O是BD中点，
∵在△PBD中，O是BD的中点，M是PB的中点，
∴PD∥MO，
又PD平面ACM，MO平面ACM，
15
∴PD∥平面ACM．
（Ⅱ）证明：
作PE⊥CD，则E为CD中点，连结AE，
∵底面ABCD是菱形，边长为2，面积为23，
∴S
1
AD
DC
sinADC2
1
22sinADC223，
2
2
∴sin
ADC
3，
ADC60
，
2
∴△ACD是等边三角形，
∴CD⊥AE，又∵CD⊥PE，
∴CD⊥平面PAE，
∴CD⊥PA．
（Ⅲ）VPABCD
1SABCDPE
1
2332．
3
3
4.
S
AED
BC
（1）证明：
∵SA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，
∴AB⊥SA，
又∵BAD90，
∴AB⊥AD，
∵SAIADA，
∴AB⊥平面SAD，
又AB平面SAB，
∴平面SAB⊥平面SAD．
（Ⅱ）证明：
取AD中点为E，
∵DABABC90，AD2a，BCa，E是AD中点，
∴ABCE是矩形，CEABa，DEa，
16
∴CD
2a
，
在△ACD中，AC
2a，CD
2a，AD
2a，
∴AC
2
CD
2
AD
2，
即CD⊥AC，
又∵SA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
∴CD⊥SA，
∴CD⊥平面PAC．
5.
P
E
F
DC
AB
（Ⅰ）证明：
∵PD底面ABCD，BC平面ABCD，
∴PDBC，
又∵底面ABCD为矩形，
∴BCCD，
∴BC平面PCD，
∵BC平面PBC，
∴平面PCD平面PBC．
（Ⅱ）证明：
∵PDDC，E是PC中点，
∴DEPC，
又平面PCD平面PBC，平面PCDI平面PBCPC，
∴DE平面PBC，
∴DEPB，
又∵EFPB，EFIDEE，
∴PB平面EFD．
17
6.
A
BC
DE
A1
B1C1
（Ⅰ）证明：
连结A1B，
∵D是AB1的中点，
∴D是A1B的中点，
∵在△A1BC中，D是A1B的中点，E是A1C的中点，
∴DE∥BC，
又DE平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，
∴DE∥平面BCC1B1．
（Ⅱ）证明：
∵ABC
A1B1C1是直棱柱，
∴AA1
平面ABC，
∴AA1
AB，
又AB
AC，
∴AB平面ACC1A1，∵AB平面ABB1A1，
∴平面ABB1A1平面ACC1A1．
以
为坐标原点，建立空间直角坐标系
B（2,0,0）
，D（0,
2,0），
P（0,0,2）
，
7.A
C（1,
2,0）
uuur
uuur
（1,2,
2），
（1）BD（2,
2,0），PC
uuuruuur
∵BD?
PC0∴BDPC
uuur
（1,
uuur
ur
（2,
1,0）
（2）AC
2,0），AP（0,0,2）
，平面PAC的法向量为m
uuur
uuur
r
2,
1）.
DP（0,
2,2），AP
（1,0,0），平面DPC的法向量为n（0,
urr
ur
r
2
2
m?
n
cosm,n
ur
r
，二面角B
PCD的余弦值为.
m?
n
3
3
18
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
0,1
（3）∵AQ
AP
PQ
AP
tPD，t
uuur
（0,0,2）t（0,2,
2）
（0,
2t,2
2t）
∴AQ
设
为直线AQ与平面PAC所成的角
uuurur
uuur
ur
AQ?
m
2
sin
cos
AQ,m
uuur
ur
3
AQ?
m
3
2t2
2t
2t）2
2
3t2
6t2
8t
4，解得t
2（舍）或2
.
（2
3
3
所以，PQ
2
即为所求.
PD
3
8.解:
（1）不妨设正方体的棱长为1，以DA,DC,DD1
为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz．
则A（1，0，0），O12，12，0，C0，1，0，D1（0，0，1），
E1，1，1，
442
于是，.
由cos＝＝.
所
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