高考天津卷理科数学真题及答案.docx
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高考天津卷理科数学真题及答案
2018年高考天津卷理科数学真题及答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上,并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!
第I卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。
参考公式:
如果事件A,B互斥,那么.
如果事件A,B相互独立,那么.
棱柱的体积公式,其中表示棱柱的底面面积,表示棱柱的高.
棱锥的体积公式,其中表示棱锥的底面面积,表示棱锥的高.
一.选择题:
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设全集为R,集合,,则
(A)(B)
(C)(D)
(2)设变量x,y满足约束条件则目标函数的最大值为
(A)6(B)19(C)21(D)45
(3)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为
(A)1(B)2(C)3(D)4
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题,共110分。
二.填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)i是虚数单位,复数.
(10)在的展开式中,的系数为.
(11)已知正方体的棱长为1,除面外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥的体积为.
(12)已知圆的圆心为C,直线(为参数)与该圆相交于A,B两点,则的面积为.
(13)已知,且,则的最小值为.
(14)已知,函数若关于的方程恰有2个互异的实数解,则的取值范围是.
三.解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15)(本小题满分13分)
在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.
(I)求角B的大小;
(II)设a=2,c=3,求b和的值.
(16)(本小题满分13分)
已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;
(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
(17)(本小题满分13分)
如图,且AD=2BC,,且EG=AD,且CD=2FG,,DA=DC=DG=2.
(I)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:
;
(II)求二面角的正弦值;
(III)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°,求线段DP的长.
(18)(本小题满分13分)
设是等比数列,公比大于0,其前n项和为,是等差数列.已知,,,.
(I)求和的通项公式;
(II)设数列的前n项和为,
(i)求;
(ii)证明.
(19)(本小题满分14分)
设椭圆(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为,且.
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线l:
与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.
若(O为原点),求k的值.
(20)(本小题满分14分)
已知函数,,其中a>1.
(I)求函数的单调区间;
(II)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行,证明;
(III)证明当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线.
参考答案:
一、选择题:
本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分40分.
(1)B
(2)C(3)B(4)A
(5)D(6)A(7)C(8)A
二、填空题:
本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分30分.
(9)4–i(10)(11)
(12)(13)(14)
三、解答题
(15)本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.满分13分.
(Ⅰ)解:
在△ABC中,由正弦定理,可得,又由,得,即,可得.又因为,可得B=.
(Ⅱ)解:
在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有,故b=.
由,可得.因为a所以,
(16)本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.
(Ⅰ)解:
由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.
(Ⅱ)(i)解:
随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=k)=(k=0,1,2,3).
所以,随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望.
(ii)解:
设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥,由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.
所以,事件A发生的概率为.
(17)本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.
依题意,可以建立以D为原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,,1),N(1,0,2).
(Ⅰ)证明:
依题意=(0,2,0),=(2,0,2).设n0=(x,y,z)为平面CDE的法向量,则即不妨令z=–1,可得n0=(1,0,–1).又=(1,,1),可得,又因为直线MN平面CDE,所以MN∥平面CDE.
(Ⅱ)解:
依题意,可得=(–1,0,0),,=(0,–1,2).
设n=(x,y,z)为平面BCE的法向量,则即不妨令z=1,可得n=(0,1,1).
设m=(x,y,z)为平面BCF的法向量,则即不妨令z=1,可得m=(0,2,1).
因此有cos=,于是sin=.
所以,二面角E–BC–F的正弦值为.
(Ⅲ)解:
设线段DP的长为h(h∈[0,2]),则点P的坐标为(0,0,h),可得.
易知,=(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量,故
,
由题意,可得=sin60°=,解得h=∈[0,2].
所以线段的长为.
(18)本小题主要考查等差数列的通项公式,等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.
(I)解:
设等比数列的公比为q.由可得.
因为,可得,故.
设等差数列的公差为d,由,可得由,
可得从而故
所以数列的通项公式为,数列的通项公式为
(II)(i)由(I),有,故
.
(ii)证明:
因为
,
所以,.
(19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.
(Ⅰ)解:
设椭圆的焦距为2c,由已知知,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,,,由,可得ab=6,从而a=3,b=2.
所以,椭圆的方程为.
(Ⅱ)解:
设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1>y2>0,故.又因为,而∠OAB=,故.由,可得5y1=9y2.
由方程组消去x,可得.易知直线AB的方程为x+y–2=0,由方程组
消去x,可得.由5y1=9y2,可得5(k+1)=,两边平方,整理得,解得,或.
所以,k的值为
(20)本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.
(I)解:
由已知,,有.
令,解得x=0.
由a>1,可知当x变化时,,的变化情况如下表:
x
0
0
+
极小值
所以函数的单调递减区间,单调递增区间为.
(II)证明:
由,可得曲线在点处的切线斜率为.
由,可得曲线在点处的切线斜率为.
因为这两条切线平行,故有,即.
两边取以a为底的对数,得,所以.
(III)证明:
曲线在点处的切线l1:
.
曲线在点处的切线l2:
.
要证明当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线,只需证明当时,存在,,使得l1和l2重合.
即只需证明当时,方程组有解,
由①得,代入②,得.③
因此,只需证明当时,关于x1的方程③有实数解.
设函数,即要证明当时,函数存在零点.
,可知时,;时,单调递减,又
,,故存在唯一的x0,且x0>0,使得,即
.
由此可得在上单调递增,在上单调递减.在处取得极大值.
因为,故,
所以.
下面证明存在实数t,使得.
由(I)可得,
当时,
有,
所以存在实数t,使得
因此,当时,存在,使得.
所以,当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线.#