二次函数一元二次方程及一元二次不等式之间的转化docx.docx

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二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的转化（学案）

主要知识：

1、一元二次方程的解法、判别式及根与系数的关系

2.二次函数的基本性质

（1）二次函数的三种表示法：

一般式y=+零点式y=a{x-xx）（x-x2）；顶点式y=a（x-x0）2+/?

.

⑵当a>0,f（x）在区I'可［p,q］上的最大值M,最小值m,令兀（）=丄（p+q）.

2

若-邑

若尢（）S

2a2a2a

3.二次不等式转化策略

方程

ax1+加+c=O（a>0）

的判别式及根的情况

△=」4心0

方程有二根兀］、x2

（X,

S=b2-4ac=Q

方程有一根西

（兀1=兀2）

A=Z?

2-4ac<0

方程无实根

y-ax1+bx+c（d〉0）

的图像

J

丿，

i

1丿

i\

1

J

Ly>

不等式

ax1+/zv+c>0（。

>0）

的解集

不等式

ax2+bx+c>0（a>0）

的解集

不等式

ax1-\-bx+c<0（67>0）

的解集

不等式

ax2+bx+cW0（Q>0）

的解集

2.二次方程f（x）=ax2+bx+c=0的实根分布及条件.（数形结合）⑴方程f（x）二0的两根屮一根比r大，另一根比r小0g•f（厂）<0

A=/?

2-4ac>0

⑵二次方程心。

的两根都大于心徭"

«-/（r）>0

A=/?

2-4ac>0,

b

⑶二次方程f（x）=0在区间（p,q）内有两根OV一£5

a•/⑷>0,

af（P）<0

a-f（q）<0

a・/（p）>0;

（4）方程f（x）=0两根的一根大于p,另一根小于q（p>

练习：

1.己知函数f（x）=-x3+—ax2+2bx+3c的两个极值点分别为刘，x2,且xiE（0,

32

1）,x2e（l,2）,则b-3a的取值范围是・

2.若关于X的方程3rx2+（3-7r）x+4=0的两个实根a,B满足0

的取值范围是.

3

3.己知关于X的方程兀2一（2加一8）兀+加2_16二0的两个实根Xi、X2满足<-

数m的取值范围.

4.若方程lg（-x2+3x-ni）=lg（3-x）在［0,3］上有唯一解,求m的取值范围。

6.设A={x|1

x2-2bx+5

的取值范围，使得AcX.

7.已知关于x的二次方程兀2+2mx+2m+1=0.

（1）若方程有两根，其中一根在区间（-1,0）内，另一根在区间（1,2）内，求m的范围.

（2）若方程两根均在区间（0,1）内，求m的范围.

8.设二次函数/（劝二处2+/zr+c（d＞0）,方程f（x）-x=0的两个根xi,x?

满足0＜兀]＜勺＜丄.a

当兀w（0,兀J时，证明兀v/（x）＜.

19.设/（x）=x2-2ox+2,当xe[-1,+8）时，都有f（x）Ma恒成立，求a的取值范围。

10.设函数/（兀）=处2+/?

兀+c,II/

（1）=—土,3a>2c>2Z?

求证:

仃）a>0且—3v2v—°；

a4

（2）函数f（x）在区间（0,2）内至少有一个零点；

⑶设X】，X2是函数f（x）的两个零点，则72<|^-^21<^.

1.（3,10）

7

2（汩）

4•解：

原方程等价于

—兀？

+3x—zn>0

3-x>0

0

-x2+3x-m=3-x

-x2+3x-m>0

0

-x2+4x-3=Z72

参考答案

令）\=-x2+4x-3,y2=mf在同一坐标系内，画出它们的图象，其中注意0Wx〈3,当且

仅当两函数的图彖在［0,3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m二1,或-3WmW0时，原方程有唯一解，因此m的取值范围为［-3,O］U{1}。

5.证明：

原方程整理后，得2q32+2q+1—q2=o,令f（x）=2a2x2+2ax+Y-a2,则f（x）是开口向上的抛物线，且f（0）=l-a2<0,故此二次函数f（x）二0有一个正根，一个负根.要证明正根比1小，只须证f

（1）>0,要证明负根比-1大，只须证f（-1）〉0.因为/（I）=2/+2q+1_a2=（°+1尸>0从而命题得证.

/（-l）=26Z2-2t?

+l-6/2=（6Z-l）2>0

6.解：

设f（x）—x"—2兀+c/=（x—1）~+（q—1）,g（兀）—~26x4-5—（x—+（5—b）?

.要

"1）50使AcX时，则必使f（x）,g（x）在［1,3］上的函数图象落在x轴下方，即丿~

/（3）<0

7.解：

⑴条件说明抛物线/（x）=x2+2/nx+2m+l与x轴的交点分别在区间（-1,0）和（1,

2）内，画出示意图，得

/（0）=2m+l<0,

/（-1）=2>0,

/（I）=4/h+2<0,

/

（2）=6m+5>0

1

m<——

2meR、

=><

m<

51•••——

62

8•证明:

由题意可知f（x）-x=a（x-x}）（x-x2>）.\900,

•••当xw（0,xi）时,f（x）>x.又f（x）-x,=a{x-x}）（x-x2）+x-x}=（x-xx）（ax-ax2+1）

X-Xi<0,.且ox-czx,十l>l-or）>0,.*.f（X）

所以实数s的取值范围是a5~3~^~或a^l.

解析2：

当沪0时，不符合题意，所以aHO,又/（x）=lax24-2x-3-«=0在［T,1］上

19—1

a3-2x

有解，0（2兀2一1加=3-2兀在［-1,叮上有解o—=在［-1,1］上有解，问题转化

为求函数y=2x上的值域；设t=3-2x,xe[-l,1],则2x=3-t,te[l,5],

3-2x

）,=丄・（，_3）~_2=丄（/+7._6）,设g（t）=t+-.gi（t）=^-^-f虫[i,V7）时，g*（t）

2t2ttr

此函数£⑴单调递减，虫（J7,5]时，g（t）>0,此函数g⑴单调递增，・・・y的取值范围是

[77-3,1],/./（x）=2ax2+2兀一3-0=0在[-1,1]上有解u>丄w[J7-3,1]a>\或a

_3+77

*——•

11•解：

记①的解集为A,②的解集为B,③的解集为C。

解①得A=（-1,3）；解②得

B=[0,l）u（2,4]，・•・AcB二[0,1）u（2,3）

（1）因同时满足①、②的x值也满足③，AnBcC

设f（x）=2x2+mx+l,由f（x）的图象可知:

方程的小根小于0,大根大于或等于3时,即可满

（2）因满足③的x值至少满足①和②中的一个，・・・CuAuB,而AUB二（-1,4]因此Cu（-1,4]二方程2x2+mx-l=0小根大于或等于T,大根小于或等于4,因而

/（-1）.=1-/72>0

31

/（4）=4m+31>0.解之彳导一二5加51

4

—1<<4

4

12.解:

•・•log1（x2+x+g）=log][（兀+£）2+勺52,log]（2x2-x+|）=log][2（兀-丄）2+^]

22^242®242

又f（x）在（-8,2]上递增，由原不等式，得：

log,（x2+x+—）

13.证明：

⑴依题意，对任意xWR,都有f（x）

（x-y-）2

/.f（—）=—<1,•/a>0,b>0/.a<2y[b.

2b4b

（2）充分性：

・・・b>l,a^b-1,对任意xe[0,1]可推岀：

ax-bx2>b（x-x2）-x>-x>-\,

即ax-bx1>-1；Xv/?

>\,a<2y/h,对任意xW[O,1],可知

必要性：

对任意xe[O,1],|/（x）-!

/./（!

）>-!

综上，对任意xe[o,1]|f（x）\<1的充要条件是b-\

（3）Va>0,O〈bW1时，对任意xe[O,1],f（x）=ax-bx2>-b>-l

即f（x）NT；又由f（x）W1知f⑴W1,即a-bWl,即aWb+1,而当aWb+1时,/（-V）=ax-bx1<（b+l^x-bx2=-b（x-^-）2+

•・・0<比1,・・・匕乜>1・••在[0,1]上，y=（b+l）x-bx2是增函数，故在x=l时取得最大值12b

・・・f（x）W1

・••当a>0,0

|f（x）<1的充要条件是aWb+1

14.W:

F（x）=/（x）-a=x2-lax+2-a.

门当厶=4（a-1）（a+2）<0时,即~2

A>0[（a-l）（a+2）n0

0即\a+3>0得-3EW-2;综合可得q的取值范围为[-3,1]

15.

解:

设g（x）=f（x）-x=ax2+（b-l）x+1,则g（x）=0的二根为Xi和X2・

x2<-2<%!

<0

2a+1二J（b_l）-+1

g⑵>0

即g（0）>0

2°+l=J（b-l）2+1

g（-2）>（）・

或g（0）>0

2a+l=J（b-1）2+1

⑵由（码-尢2）2=（匕）2—仝，可得2d+l二J（b-1F+1.cia

16.解：

（1）f（l）=a+b+c=0且a>b>c,.*.a>0且c〈0,/.A=^2—46ZC>0,f（x）

的图象与x轴有两个交点.⑵Vf（l）=0,Al是f（x）=0的一个根，由韦达定理知另一根

为£,

a

Aa>0Hc<0,—<0<1,又a>b>c,b=-a-c,则a{m-—）（m-\）=-a

aaci

・・・加+3>£+3>-2+3=1,Vf（x）在（1,+8）单调递增,・・J（加+3）>/（l）=0,即存a

在这样的m使f（m+3）>0.（3）令g（x）=f（x）~t/（^i）+/（^2）1»则g（x）是二次函数.

•••g（x,）^（x2）=[/（%,）/^i）+/（^）][/（X2）_■/'（xj；/（吃）]=_扣（和_yd2）]2V0

又•・•/（兀2），S（X1）•g（x2）<0，Ag（x）=0有两个不等实根，且方程g（x）=0的根必有一个属于（X1,X2）.

17.解：

（1）—>0»x<-3或x>3・・・f（x）定义域为[a,B],・・・a>3,^fi>x,>x2>af

x+3

有口—巴二2=6（斗_心）>（）,当05<1时，f（x）为减函数，当m〉l时，f（x）为增函数.若+3x2+3（X]+3）（兀+3）

⑵若f（x）在[a,B]上的值域为[log,“〃（0-l）,log,”〃（a-l）],V0

B_3

/（0）=logw——•=log,z（0-1）[mB2+（2加一1）0-3（加一1）=0

・・.<0+3即<°，又0>a>3,即

”_3\dicx~+（2/7?

—1）^Z—3（/2?

—1）=0

fW=log,,,—=10gwm{a-1）

a+3

0

A=16m2-16m+l>0

a,0为方程/77X2+（2m-l）x-3（/72-1）=0的大于3的两个根・•・<2m-1

>3

2m

吋⑶>0

•••05<呼，故当•••0“<¥时，满足题意条件的"在.

18.证明：

（l）・.・/（l）=d+b+c=-纟・・・3a+2b+2c=0又3a>2c>2b.-.3a>0,2b<0

2

b3

Aa>0,b<0又2c=-3a-2b由3a>2c>2b/•3a>-ia-2b>2b^：

a>Q：

.-3<-<--

a4

・・・f（0）二c>0fi/（l）=--

2

（2）Vf（0）=c,f

（2）=4a+2b+c=a-c.①当c>0时,Va>0,・•・函数f（x）在区间（0,1）内至少有一个零点.②当cWO时，Va>0.\/

（1）=--<0

2

且f

（2）二a-c>0・・・函数f（x）在区间（1,2）内至少有一个零点，综合①②得f（x）在（0,2）内至少有一个零点.

（3）

Vxi,X2是函数f（x）的两个零点，则xi,X2是方程ax2+bx+c=0的两根

・•・42