二次函数一元二次方程及一元二次不等式之间的转化docx.docx

1、二次函数一元二次方程及一元二次不等式之间的转化docx二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的转化(学案)主要知识：1、一元二次方程的解法、判别式及根与系数的关系2. 二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法：一般式 y = + 零点式 y = ax- xx )(x-x2)；顶点式 y = a(x-x0)2 +/?.当a0, f (x)在区I可p, q上的最大值M,最小值m,令兀()=丄(p + q).2若-邑 p ,则 f (p) =m, f(q)=M;若 - x0 .则/(一- ) = m, f (q) - M ； 2ci 2a 2a若尢()S 0)的判别式及根的情况=4心0方程有

2、二根兀、x2(X, x2)S = b2-4ac = Q方程有一根西(兀1 =兀2)A = Z?2 - 4ac 不等式ax1 +/zv + c 0(。 0)的解集不等式ax2 +bx + c 0(a 0)的解集不等式ax1 -bx+c 0)的解集不等式ax2 +bx + cW0(Q 0)的解集2.二次方程f (x) =ax2+bx+c=0的实根分布及条件.(数形结合) 方程f (x)二0的两根屮一根比r大，另一根比r小0 g f (厂) 0二次方程心。的两根都大于心 徭-/(r)0A = /?2 - 4ac 0,b二次方程f(x)=0在区间(p, q)内有两根O V 一 5a / 0,af(P)

3、0a-f(q)0;(4)方程f (x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(p练习：1.己知函数f(x) = -x3 + ax2 + 2bx + 3c的两个极值点分别为刘，x2,且xiE (0,3 21), x2e(l, 2),则b-3a的取值范围是 2. 若关于X的方程3 rx2+(3-7r)x + 4 = 0的两个实根a, B满足0alB2,则实数t的取值范围是 .33. 己知关于X的方程兀2 一(2加一8)兀+加2 _16二0的两个实根Xi、X2满足-x2,则实数m的取值范围 .4. 若方程lg(-x2 + 3x - ni) = lg(3 - x)在0, 3上有唯一解,求m的取值范围。6.

4、 设A = x| 1 x3,又设X是关于x的不等式组 的解集，试确定bx2 -2bx + 5 2c 2Z?,求证: 仃)a0 且 3v2v；a 4(2) 函数f(x)在区间(0, 2)内至少有一个零点；设X】，X2是函数f(x)的两个零点，则72|-21 03 - x 00x 00x3-x2 + 4x - 3 = Z72参考答案令) = -x2 +4x-3, y2=m f在同一坐标系内，画出它们的图象，其中注意0Wx3,当且仅当两函数的图彖在0, 3)上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m二1, 或-3WmW0时，原方程有唯一解，因此m的取值范围为-3, OU1。5. 证明：原方程

5、整理后，得 2q32+2q + 1 q2 =o,令 f(x) = 2a2x2 +2ax + Y -a2,则 f(x)是开口向上的抛物线，且f(0)=l-a20,要证明负根比-1大，只须证f (-1)0.因为 /(I) = 2/ + 2q + 1 _ a2 = ( + 1尸 0 从而命题得证./(-l) = 26Z2-2t? + l-6/2=(6Z-l)206. 解：设 f (x) x 2兀 + c/ = (x 1) + (q 1), g(兀)26x4-5 (x + (5 b)?.要1)5 0 使AcX时，则必使f (x),g(x)在1,3上的函数图象落在x轴下方，即丿/(3 )07. 解：条件

6、说明抛物线/(x) = x2+2/nx+2m+l与x轴的交点分别在区间(-1, 0)和(1,2)内，画出示意图，得/(0) = 2m + l0,/(I) = 4/h + 2 01m m5 1 m). 90xx 0,当 xw (0, xi)时,f (x)x.又 f(x)-x, = ax-x)(x-x2) + x-x =(x-xx)(ax-ax2 +1)X-Xil-or)0, .*.f(X)X1,综上可知，所给问题获证.所以实数s的取值范围是a 5 3或al.解析2：当沪0时，不符合题意，所以aHO,又/(x) = lax2 4- 2x - 3 - = 0在T, 1上1 9 1a 3- 2x有解，

7、0(2兀2 一1加=3-2兀在-1,叮上有解o = 在-1, 1上有解，问题转化为求函数 y=2x 上的值域；设 t=3-2x, xe-l, 1,则 2x=3-t, tel,5,3-2x),=丄(，_3)_2=丄(/+7._6),设g(t)=t+-.gi(t)=-f 虫i,V7)时，g*(t)0,此函数g单调递增，y的取值范围是77-3,1, /. /(x) = 2ax2 +2兀一3-0 = 0在-1, 1上有解 u 丄 w J7 -3,1 a 或 a_ 3+77*11解：记的解集为A,的解集为B,的解集为C。解得A=(-1, 3)；解得B = 0,l)u(2,4， A c B 二0,1) u

8、(2,3)(1) 因同时满足、的x值也满足，AnBcC设f(x)=2x2+mx+l,由f(x)的图象可知:方程的小根小于0,大根大于或等于3时,即可满(2) 因满足的x值至少满足和中的一个，CuAuB,而AUB二(-1, 4因 此Cu (-1,4 二方程2x2+mx-l=0小根大于或等于T,大根小于或等于4,因而/(-1). = 1-/72031/(4) = 4m + 310.解之彳导一二5加5141 4412. 解: log1 (x2 +x+g) = log(兀+)2 +勺52, log(2x2-x+|) = log2(兀-丄)2 +b2 224 2 2 4 2又 f (x)在(-8, 2上

9、递增，由原不等式，得：log, (x2 +x + ) logj (2x2 -x+-) 2 2 2 813. 证明：依题意，对任意 xWR,都有 f(x) l,v f (x) = -Z?(x-y-)2/. f() = 0,b0 /. a l, ab-1,对任意 xe0, 1可推岀：ax-bx2 b(x-x2)-x-x-,即 ax-bx1 -1 ； Xv/? ,a2y/h ,对任意 xWO, 1,可知必要性：对任意 xeO, 1, |/(x) -!,/./(!)-!综上，对任意xeo, 1| f(x) 1的充要条件是b-a0, ObW 1 时，对任意 xeO, 1, f(x) = ax-bx2 -

10、b-l即 f(x)NT；又由 f(x)W 1 知 f W1,即 a-bWl,即 aWb+1,而当 aWb+1 时, /(-V)= ax-bx1 (b+lx-bx2 = -b(x - -)2 +01在0, 1上，y=(b+l)x-bx2是增函数，故在x=l时取得最大值1 2bf(x) W1当 a0, 0bW 1 时，对任意 xe 0, 1| f(x) 1的充要条件是aWb+114. W: F(x) = /(x)-a = x2 -lax +2-a.门当厶=4(a-1) (a+2)0 时,即2a0 (a-l)(a + 2)n00即a + 30 得-3EW-2;综合可得q的取值范围为-3, 115.

11、解:设 g(x) = f(x)-x = ax2 + (b - l)x +1,则 g(x)=0 的二根为 Xi 和 X2x2 -2 %! 0即 g(0)02 + l = J(b-l)2 +1g(-2)()或 g(0)02a + l = J(b-1)2 + 1由(码-尢 2)2=(匕)2 仝，可得 2d + l 二 J(b-1F+1. ci a16. 解：(1) f(l) = a + b + c = 0 且 abc, .*.a0 且 c0, /. A = 2 46ZC0, f (x)的图象与x轴有两个交点. Vf(l)=0, Al是f (x)=0的一个根，由韦达定理知另一根为,aAa0 H c0,

12、 0bc, b=-a-c,则am- )(m-) = -aQ m + 3-2 + 3 = 1, Vf(x)在(1, +8)单调递增,J(加+ 3)/(l) = 0,即存 a在这样的 m 使 f (m+3)0. (3)令g(x) = f(x)t/(i) + /(2)1 则 g(x)是二次函数. g(x,)(x2) = /(%,) /i)+ /()/(X2)_ /(xj ； /(吃)=_扣(和 _ yd2)2 V 0又/(兀2)，S(X1) g(x2) 0x3 f(x)定义域为a, B,a3, fix,x2afx + 3有口巴二2= 6(斗_心) (),当051时，f(x)为减函数，当ml时，f(x

13、)为增函数. 若 +3 x2 +3 (X +3)(兀 +3)若 f(x)在a, B上的值域为log,“(0-l),log,”(a-l), V0ml, f(x)为减函数.B_3/(0) = logw = log,z(0 -1) mB2 + (2 加一 1)0 - 3(加一 1) = 0. 0 + 3 即a3,即”_3 dicx + (2/7? 1)Z 3(/2? 1) = 0fW = log, = 10gw ma -1)a + 30 m 0a, 0为方程/77X2 + (2m-l)x-3(/72-1) = 0的大于3的两个根 32m吋 005呼，故当0“2c2b .-.3a0, 2b0, b2c2b / 3a -ia-2b2b： aQ ：.-3-0 fi/(l) = -0 时,Va0, 函数f(x)在区间(0, 1)内至少有一个零点.当cWO时，Va0. /(1) = -0函数f (x)在区间(1, 2)内至少有一个零点，综合得f(x)在(0, 2)内至少有一个零点.(3) Vxi, X2是函数f (x)的两个零点，则xi, X2是方程ax2+bx+c=0的两根42 x, -x2|