全国卷1高三理科数学寒假作业15Word版含答案.docx

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全国卷1高三理科数学寒假作业15Word版含答案

2018年（全国卷1）高三理科数学寒假作业15

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.复数（是虚数单位）的虚部是（）

A．-1B．C．1D．2

2.已知全集，集合，，则（）

A．B．C．D．

3.已知向量，，，则“”是“”的（）

A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

4.设是等比数列的前项和，，则的值为（）

A．-2或-1B．1或2C.或-1D．或2

5.设，，，则（）

A．B．C.D．

6.已知曲线的一条切线与平行，则切点的横坐标我、为（）

A．3B．2C.1D．

7.函数的部分图象如图所示，若，且，则（）

A．1B．C.D．

8.下列命题中真命题是（）

A．命题“存在，”的否定是：

“不存在，”.

B．线性回归直线恒过样本中心，且至少过一个样本点

C.存在，使.

D．函数的零点在区间内.

9.设，其中实数满足，若的最大值为12，则的最小值为（）

A．-3B．-6C.3D．6

10.已知是双曲线的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为（）

A．B．C.D．2

11.在中，分别为内角所对的边，，且满足，若点是外一点，，，平面四边形面积的最大值是（）

A．B．C.3D．

12.若定义在上的函数满足，，且当时，其图象是四分之一圆（如图所示），则函数在区间上的零点个数为（）

A．5B．4C.3D．2

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.如下图是某算法的程序框图，若任意输入中的实数，则输出的大于49的概率为．

14.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如下图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的侧面积为．

15.已知直角梯形，，，，沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，求此时三棱锥外接球的体积．

16.等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

在中，角为锐角，已知内角所对的边分别为，向量，且向量共线.

（1）求角的大小；

（2）如果，且，求的值.

18.（本小题满分12分）

若数列的前项和满足，等差数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和为.

19.（本小题满分12分）

在某大学联盟的自主招生考试中，报考文史专业的考生参加了人文基础学科考试科目“语文”和“数学”的考试.某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，本次考试中成绩在内的记为，其中“语文”科目成绩在内的考生有10人.

（Ⅰ）求该考场考生数学科目成绩为的人数；

（Ⅱ）已知参加本考场测试的考生中，恰有2人的两科成绩均为，在至少一科成绩为的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩均为的概率.

20.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，，是棱上的一点，是的延长线与的延长线的交点，且.

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）求点到平面的距离.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆，抛物线的焦点在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是，，，.

（1）求的标准方程；

（2）是否存在直线满足条件：

①过的焦点；②与交于不同的两点且满足，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若函数的图象在处的切线斜率为1，求实数的值；

（2）在

（1）的条件下，求函数的单调区间；

（3）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.

2018年（全国卷1）高三理科数学寒假作业15答案

一、选择题

1-5:

6-10:

11、12：

二、填空题

13.14.15.16.-98

三、解答题

17.

（1）由向量共线有：

，

即，

，.

18.

（1）当时，，，

当时，，即，

数列是以为首项，3为公比的等比数列，，

设的公差为，

，

，，.

（2），

①

②

由①-②得，，

.

19.解：

（1）该考场的考生人数为人.

数学科目成绩为的人数为

人.

（2）语文和数学成绩为的各有3人，其中有两人的两科成绩均为，所以还有两名同学只有一科成绩为，

设这四人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙的两科成绩均为，则在至少一科成绩为的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件为，共6个，

设“随机抽取两人，这两人的两科成绩均为”为事件，则事件包含的事件有1个，则.

20.解：

（Ⅰ）连接交于，

，，，

，又为的中点，为中点，为中点，

，；

（Ⅱ）因为，

所以，

在中，，，，，，

，.

21.解：

（Ⅰ）设抛物线，则有，

据此验证4个点知，在抛物线上，易求，

设，把点，代入得：

解得.方程为.

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，

直线的方程为，直线交抛物线于，，

不满足题意，

当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为，，

由消去并整理得，

于是，，①

，

即，②

由，即，得.

将①、②代入式，得，解得，

所以存在直线满足条件，且的方程为：

或.

22.试题解析：

（1），

由已知，解得.

（2）函数的定义域为，，

当变化时，，的变化情况如下：

由上表可知，函数的单调递减区间是；单调递增区间是.

（3）由得，

由已知函数为上的单调减函数，

则在上恒成立，即在上恒成立，

即在上恒成立.

令，在上，

所以在上为减函数，，所以.

考点：

利用导数研究函数的极值；函数的单调区间；函数恒成立问题；简单复合函数的导数.