毕业论文利用对称性简化两类曲面积分的计算.docx
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毕业论文利用对称性简化两类曲面积分的计算
学校代码:
11059_
学 号:
HefeiUniversity
毕业论文（设计）
BACHELORDISSERTATION
论文题目:
利用对称性简化两类曲面积分的计算
学位类别:
理学学士
学科专业:
数学与应用数学
作者姓名:
导师姓名:
完成时间:
2012年5月15日
利用对称性简化两类曲面积分的计算
中文摘要
曲面积分的计算是积分运用中的一个难点.在某些曲面积分的计算过程中,若能利用对称性,则可以简化曲面积分的计算过程.本文介绍了几种常见的有关对称性在两类积分计算中的几个重要结论,并通过实例讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化曲面积分的计算方法.另外,本文还给出了利用积分曲面关于变量的轮换对称性和非对称性转化为对称性简化曲面积分的计算,使曲面积分的计算更加便捷.
关键词:
曲面积分;积分区域;奇偶性;对称性
Useofsymmetrytosimplifythecalculationofthetwotypesofsurfaceintegrals
ABSTRACT
Surfaceintegrationpointsusedinthecalculationisadifficultpoint.Certainpointsinthecalculationprocess,ifuseofsymmetry,youcansimplifythesurfaceintegralcalculation.Thisarticledescribessomecommonpointsofsymmetryinthecalculationprocessanditsapplicationinseveralconclusions,andthenthroughsomeexamplesusingtheintegralareaofthesymmetryandtheparityoftheintegrandtosimplifysurfaceintegralcalculated.Inaddition,thepaperalsogivesthesurfaceintegralonthevariableuseofsymmetryandnon-symmetrytransformingofsymmetrysimplifiesthecalculationofsurfaceintegralsisthesurfaceintegralofthecalculationaremoreconvenient.
KEYWORD:
Surfaceintegrals;Theintegralregion;Parity;Symmetry
第一章引言 1
第二章预备知识 2
第三章利用对称性简化曲面积分的计算 3
3.1利用对称性简化计算第一类曲面积分 3
3.1.1第一类曲面积分的定义 3
3.1.2第一类曲面积分对称性定理 3
3.1.3第一类曲面积分对称性定理的应用 4
3.2利用对称性简化计算第二类曲面积分 7
3.2.1第二类曲面积分的定义 7
3.2.2第二类曲面积分对称性定理 7
3.2.3第二类曲面积分对称性定理的应用 8
第四章通过变换利用对称性计算曲面积分 12
第五章总结 14
参考文献 15
致 谢 16
第一章引言
在曲面积分的计算中,经常会遇到有关对称性问题,如果能根据具体问题的特点,利用对称性计算可以使过程大大简化.我们对第一类曲面积分和第二类曲面积分分别加以讨论,并举例说明其在简化曲面积分计算多种的应用.曲面积分的对称性在曲面积分的计算中是非常有意义的.对称性定理在许多数学和实际问题中有着重要的作用,既可以利用曲面积分的对称性证明一些重要的不等式、简化曲面积分的计算,也可以解决一些几何问题、概率问题,并且在物理学中也有广泛的应用.本文主要是利用对称性定理来简化两类曲面积分的计算,为计算某些类型的曲面积分提供一种简单的计算方法.
积分的对称性包括重积分,曲线积分,曲面积分等的对称性.在积分计算中,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性,往往可以达到事半功倍的效果.下面将从两类曲面积分对称性相关的定理和结论,再结合相关的实例进行具体的探讨.本文讨论了两类曲面积分计算中的对称性方法,并举例说明其在简化曲面积分计算中的应用,以及相应对称区域上定理中的函数约定在该区域都连续或偏导数连续.
第二章预备知识
为了使全文连贯,我们将在本章列出以下几个定义和相关的性质.
定义1设平面区域为
若对
均有
则称
关于直线
对称,点
与
是关于
的对称点.若对
均有
则
关于直线
对称,
与
是关于
的对称（显然当
时
分别关于
轴对称）.
定义2设平面区域为
若对
均有
则称
关于
对称,点
与
是关于
的对称点.若对
均有
则称
关于直线
对称.
注释:
空间区域关于平行于坐标面的平面对称;平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称;空间曲面、空间曲线关于平行于坐标面的平面对称,也有以上类似的定义.
定义3设函数
在空间曲面
上有定义,若对
均有
且
则称
关于
为偶函数;若对
均有
则称
关于
为奇函数;类似可以定义函数
关于
变量的奇偶性.
第三章利用对称性简化曲面积分的计算
3.1利用对称性简化计算第一类曲面积分
3.1.1第一类曲面积分的定义
定义4[17]设曲面
为有界光滑（或分片光滑）曲面,函数
在
上有界.将曲面
用一个光滑曲线网分成
片小曲面
···,
并记
的面积为
.在每片
上任取一点
作和式
.如果当所有小曲面
的最大直径
趋于零时,这个和式的极限存在,且极限值与小曲面的分法和点
的取法无关,则称此极限值为
在曲面
上的第一类曲面积分,记为
即
其中
称为被积函数,
称为积分曲面.
3.1.2第一类曲面积分对称性定理
定理1[5]设
在分片光滑的曲面
上连续.若
关于
面对称,则
其中
为
在
面上方的部分.
若
关于
平面（或
平面）对称,
关于
（或
）为奇函数或偶函数也有类似的结论.
定理2[7]若积分曲面
关于
具有轮换对称性,则
.
3.1.3第一类曲面积分对称性定理的应用
例1计算曲面积分
其中
为球面
上
的部分.
解:
利用定理1知
设
={
},则
.
例2计算
为锥面
被曲面
所截下的部分.
解:
因为
关于
面对称,被积函数中
与
都是
的奇函数,由定理1
.
又因为,
所以,
原式
.
例3计算曲面积分
其中
:
.
解:
令
:
.
则,
.
关于原点对称,且被积函数
分别为关于
的偶函数,则根据定理1得,
.
例4[11]计算曲面积分
其中
是球面
.
解:
如果按照常规方法来解,计算量比较大,如果利用对称函数的特性,非常简捷.
因为球面
关于
具有轮换对称性,
所以根据定理2得,
.
3.2利用对称性简化计算第二类曲面积分
3.2.1第二类曲面积分的定义
定义5[17]设
为有向光滑曲面,曲面上的每一点指定了单位法向量
.如果
是定义在
上的向量值函数,称
为
在
上的第二类曲面积分（如果右面的第一类曲面积分存在）.
3.2.2第二类曲面积分对称性定理
利用对称性计算第二类曲面积分同样需要注意投影元素的符号.现以曲面积分
为例来讨论.当曲面指定侧上动点的法向量方向与
轴正向成锐角（钝角）时,有向曲面元
在
面上的有向投影
为正（负）.
一般地,有如下定理:
定理3[5]设分片光滑的有向曲面
关于
平面对称,
在
平面上方部分记为
（方程为
）,下方部分记为
又设
在
上连续,则
若
关于
平面（或
平面）对称,
关于
（或
）为奇函数或偶函数有类似的结论.
定理4[7]若积分曲面
关于
具有轮换对称性,则
.
3.2.3第二类曲面积分对称性定理的应用
例5计算
其中
:
的下侧.
解:
是
的偶函数,
关于
面对称,所以
.而
是
的偶函数,
关于
面对称,所以根据定理3得
.
因此,
原式
.
例6[12]计算
式中
为球面
的外侧位于
的部分.
解:
依题设条件分析知,该曲面积分满足定理3中的结论,故有
其中,
.
例7计算
其中
为平面
和
所围立体的表面外侧（如图1）.
图1
解:
将曲面划分成如图所示的四片:
和
.
的方程为
.其法向量与
轴和
轴的夹角都是
与
轴的夹角为
因此
.
同理,
.
而
的方程可表为
.因此,
.
由定理4得,
.
因此,
相加后得到
.
例8计算
其中
是球面
的外侧.
解:
因为球面
关于
具有轮换对称性,所以由定理4得
先计算
为此应分别考虑前半球面（记为
）及后半球面（记为
）上的曲面积分.
:
它在
面上的投影域
为圆域
则有,
.
对于在后半球面
上的曲面积分,由于
为
后侧,故
因此,
.
第四章通过变换利用对称性计算曲面积分
对于某些特殊的非对称性的曲面积分计算,可以用一些变换,如坐标变换、平移变换等,将其转变为对称性问题
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