点差法求解中点弦问题.docx

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点差法求解中点弦问题

点差法求解中点弦问题

点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。

求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。

用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。

【定理1】在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.

证明：

设M、N两点的坐标分别为、，则有，得

又

【定理2】在双曲线（＞0，＞0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.

证明：

设M、N两点的坐标分别为、，则有

，得

又

【定理3】在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.

证明：

设M、N两点的坐标分别为、，则有

，得

又..

注意：

能用这个公式的条件：

（1）直线与抛物线有两个不同的交点；

（2）直线的斜率存在.

一、椭圆

1、过椭圆＋＝1内一点P（2,1）作一条直线交椭圆于A、B两点，使线段AB被P点平分，求此直线的方程．

【解】　法一：

如图，设所求直线的方程为y－1＝k（x－2），

代入椭圆方程并整理，得（4k2＋1）x2－8（2k2－k）x＋4（2k－1）2－16＝0，　　（*）

又设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1、x2是（*）方程的两个根，∴x1＋x2＝.

∵P为弦AB的中点，∴2＝＝.解得k＝－，∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.

法二：

设直线与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2），

∵P为弦AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.

又∵A、B在椭圆上，∴x＋4y＝16，x＋4y＝16.两式相减，得（x－x）＋4（y－y）＝0，

即（x1＋x2）（x1－x2）＋4（y1＋y2）（y1－y2）＝0.∴＝＝－，

即kAB＝－.∴所求直线方程为y－1＝－（x－2），即x＋2y－4＝0.

2、已知椭圆+=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程．

【解答】解：

设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）．

∵P为弦AB的中点，∴x1+x2=2x，y1+y2=2y．则+=1，①+=1，②

②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：

x+y=0．

由，解得x=所求轨迹方程为：

x+y=0．（﹣＜x＜）

∴点P的轨迹方程为：

x+y=0（﹣＜x＜）；

3、（2013秋•启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，±5）的椭圆被直线3x﹣y﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为　=1　．

【解答】解：

设椭圆=1（a＞b＞0），则a2﹣b2=50①

又设直线3x﹣y﹣2=0与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0）

∵x0=，∴代入直线方程得y0=﹣2=﹣，

由，得，

∴AB的斜率k==﹣•=﹣•=3∵=﹣1，∴a2=3b2②

联解①②，可得a2=75，b2=25，∴椭圆的方程为：

=1故答案为：

=1．

4、例1（09年四川）已知椭圆（＞＞0）的左、右焦点分别为、，离心率，右准线方程为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点的直线与该椭圆相交于M、N两点，且，求直线的方程.

解：

（Ⅰ）根据题意，得.所求的椭圆方程为.

（Ⅱ）椭圆的焦点为、.设直线被椭圆所截的弦MN的中点

为.由平行四边形法则知：

.由得：

.①

若直线的斜率不存在，则轴，这时点P与重合，，与题设相矛盾，故直线的斜率存在.由得：

②

②代入①，得整理，得：

.

解之得：

，或.

由②可知，不合题意.，从而.

所求的直线方程为，或.

6、（2009秋•工农区校级期末）已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M，则点M的坐标为　　．

【解答】解：

设直线与椭圆的交点分别为（x1，y1），（x2，y2），则，

两式相减，得=0，（y1﹣y2）（y1+y2）=﹣3（x1﹣x2）（x1+x2），

=﹣3×，因为直线斜率为3，∴=3，

∵两交点中点在直线x=，x1+x2=1，∴3=﹣3×1÷（y1+y2），

∴=﹣．所以中点M坐标为（，﹣）．故答案为：

（，﹣）．

7、如图，在中，，椭圆C：

，以E、F为焦点且过点D，点O为坐标原点。

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若点K满足，问是否存在不平行于EF的直线与椭圆C交于不同的两点M、N且，若存在，求出直线的斜率的取值范围，若不存在，说明理由。

解：

（Ⅰ）略：

　，

（Ⅱ）分析：

∵，

设MN的中点为H，则，此条件涉及到弦MN的中点及弦MN的斜率，故用“点差法”

设，直线的斜率为（，

则①　②　由①－②得：

　又∵，则，∴，从而解得，点在椭圆内，则且

8、已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：

直线和直线的斜率之积是定值.

证明设且，

则，

（1），

（2）

得：

，

，.

又，，（定值）.

二、双曲线

1、过点P（4,1）的直线l与双曲线－y2＝1相交于A、B两点，且P为AB的中点，求l的方程．

[解析]　设A（x1，y1），B（x2，y2），则－y＝1，－y＝1，两式相减得：

（x1＋x2）（x1－x2）－（y1＋y2）（y1－y2）＝0，∵P为AB中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2.

∴＝1，即所求直线l的斜率为1，∴l方程为y－1＝x－4，即x－y－3＝0.

2、设A、B是双曲线x2－＝1上的两点，点N（1,2）是线段AB的中点，

（1）求直线AB的方程；

（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？

为什么？

[分析]　要证明A、B、C、D四点共圆，首先判断圆心所在位置，若A、B、C、D四点共圆，则∵CD垂直平分AB，据圆的性质知，圆心在直线CD上，∴CD中点M为圆心，只要证明|AM|＝|MB|＝|CM|＝|MD|即可．

[解析]　

（1）依题意，可设直线AB方程为y＝k（x－1）＋2，

由得（2－k2）x2－2k（2－k）x－（2－k2）－2＝0①

设A（x1，y1），B（x2，y2），∵x1、x2是方程①的两个不同的实根，所以2－k2≠0.

由韦达定理得，x1＋x2＝.由N（1,2）是AB的中点得，＝1.

即k（2－k）＝2－k2.解得k＝1，∴直线AB的方程为y＝x＋1.

（2）由得x2－2x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－1.

∴A（3,4），B（－1,0）．∵CD是线段AB的垂直平分线，所以CD所在直线方程为y＝－x＋3.

得x2＋6x－11＝0.

设C（x3，y3），D（x4，y4），CD的中点为M（x0，y0）．由韦达定理，得x3＋x4＝－6，x3x4＝－11.

从而x0＝（x3＋x4）＝－3，y0＝－x0＋3＝6.

|CD|＝＝＝＝4，

|CM|＝|MD|＝2.∵|MA|＝|MB|＝＝2.

∴A、B、C、D四点到M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆．

3、已知双曲线的方程为x2－＝1.

试问：

是否存在被点B（1,1）平分的弦？

如果存在，求出弦的直线方程，如果不存在，请说明理由．

[分析]　易判断出点B（1,1）在双曲线的外部，不妨假定符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左右两支上，其所在直线的倾角也不可能是90°.

[解析]　解法一：

设被B（1,1）所平分的弦所在的直线方程为y＝k（x－1）＋1，代入双曲线方程x2－＝1，得（k2－2）x2－2k（k－1）x＋k2－2k＋3＝0.∴Δ＝[－2k（k－1）]2－4（k2－2）（k2－2k＋3）>0.

解得k<，且x1＋x2＝.∵B（1,1）是弦的中点，

∴＝1，∴k＝2>.故不存在被点B（1,1）所平分的弦．

解法二：

设存在被点B平分的弦MN，设M（x1，y1）、N（x2，y2）．

则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且

①－②得（x1＋x2）（x1－x2）－（y1＋y2）（y1－y2）＝0.∴kMN＝＝2，故直线MN：

y－1＝2（x－1）．

由消去y得，2x2－4x＋3＝0，Δ＝－8<0.

这说明直线MN与双曲线不相交，故被点B平分的弦不存在．

[点评]　由本题可以看到：

如果点B在双曲线的内部，则以该点为中点的弦一定存在．

如果点B在双曲线的外部，则以该点为中点的弦有可能不存在．

因此，点B在内部无需检验，点B在外部必须检验．

关于双曲线内部、外部，请看图，双曲线把平面划分开来，图中阴影部分为双曲线内部，另一部分为双曲线外部．

4、设双曲线的中心在原点，以抛物线的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．

（Ⅰ）试求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线与双曲线交于两点，求；

（Ⅲ）对于直线，是否存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线（为常数）对称，若存在，求出值；若不存在，请说明理由．

解：

（Ⅰ）由得，，抛物线的顶点是，准线是.在双曲线C中，.

双曲线C的方程为.

（Ⅱ）由得：

.

设，则.

.

（Ⅲ）假设存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线对称，则是线段AB的垂直平分线.因而，从而.设线段AB的中点为.由得：

，.①

由得：

.②,由①、②得：

.

由得：

，.又由得：

直线与双曲线C相交于A、B两点，＞0，即＜6，且.符合题意的的值存在，.

5、

三、抛物线

1．在抛物线y2＝8x中，以（1，－1）为中点的弦所在直线的方程是（　　）

A．x－4y－3＝0　　B．x＋4y＋3＝0C．4x＋y－3＝0D．4x＋y＋3＝0

[答案]　C，[解析]　设弦两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝－2.

∵A、B在抛物线上，∴y＝8x1，y＝8x2，两式相减得，（y1＋y2）（y1－y2）＝8（x1－x2），

∴＝－4，∴直线AB方程为y＋1＝－4（x－1），即4x＋y－3＝0.

2．若点（3,1）是抛物线y2＝2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.

[答案]　2

[解析]　设弦两端点P1（x1，y1），P2（x2，y2），

∵y1＋y2＝2，∴p＝2.

3．过点Q（4,1）作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分，求弦AB所在的直线方程．

[答案]　4x－y－15＝0

[解析]　解法一：

设以Q为中点的弦AB端点坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y＝8x1，①

y＝8x2，②x1＋x2＝8，y1＋y2＝2.③①－②，得（y1＋y2）（y1－y2）＝8（x1－x2）．④

将③代入④得y1－y2＝4（x1－x2），即4＝，∴k＝4.

∴所求弦AB所在直线方程为y－1＝4（x－4），即4x－y－15＝0.

4、（2004•福建）如图，P是抛物线C：

y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q．

（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围．

【分析】

（1）设M（x0，y0），欲求点M的轨迹方程，即寻找其坐标的关系，可通过另外两点P，Q与中点M的关系结合中点坐标公式求解，

（2）欲的取值范围，可转化为将其表示成某变量的表达式，然后再求此表达式的最值问题，另外，为了化简比例式，一般将线段投影到坐标轴上的线段解决．

【解答】解：

（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0），依题意x1≠0，y1＞0，y2＞0．

由y=x2，①得y'=x．∴过点P的切线的斜率k=x1，

∴直线l的斜率kl=﹣=﹣，∴直线l的方程为y﹣x12=﹣（x﹣x1），②

联立①②消去y，得x