中考导练讲义第2讲整式与因式分解.docx

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中考导练讲义第2讲整式与因式分解

第2讲整式与因式分解

【章节知识清单】

知识点一：

代数式及相关概念

关键点拨及对应举例

1.代数式

（1）代数式：

用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式．

（2）求代数式的值：

用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值．

求代数式的值常运用整体代入法计算.

例：

a－b＝3，则3b－3a＝－9.

2.整式（单项式、多项式）

（1）单项式：

表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.

（2）多项式：

几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数.

（3）整式：

单项式和多项式统称为整式.

（4）同类项：

所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.

例：

（1）下列式子：

①-2a2;②3a-5b；③x/2;④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y；⑦2017.其中属于单项式的是①③⑤⑦；多项式是②⑥；同类项是①和⑤.

（2）多项式7m5n-11mn2+1是六次三项式，常数项是__1.

知识点二：

整式的运算

3.整式的加减运算

（1）合并同类项法则:

同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．

（2）去括号法则:

若括号外是“＋”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“－”，则括号里的各项都变号.

（3）整式的加减运算法则：

先去括号，再合并同类项.

失分警示：

去括号时，如果括号外面是符号，一定要变号，且与括号内每一项相乘，不要有漏项.

例：

－2（3a－2b－1）＝－6a＋4b＋2.

4.幂运算法则

（1）同底数幂的乘法：

am·an＝am＋n；

（2）幂的乘方：

（am）n＝amn；

（3）积的乘方：

（ab）n＝an·bn；

（4）同底数幂的除法：

am÷an＝am－n（a≠0）.

其中m,n都在整数

（1）计算时，注意观察，善于运用它们的逆运算解决问题.例：

已知2m+n=2,则3×2m×2n=6.

（2）在解决幂的运算时，有时需要先化成同底数.例：

2m·4m=23m.

5.整式的乘除运算

（1）单项式×单项式：

①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄．

（2）单项式×多项式：

m（a+b）=ma+mb.

（3）多项式×多项式:

（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.

（4）单项式÷单项式：

将系数、同底数幂分别相除.

（5）多项式÷单项式：

①多项式的每一项除以单项式；②商相加．

失分警示：

计算多项式乘以多项式时，注意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错.

例：

（2a－1）（b＋2）＝2ab＋4a－b－2.

（6）乘法

公式

平方差公式：

（a＋b）（a－b）＝a2－b2.

注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的运用

完全平方公式：

（a±b）2＝a2±2ab＋b2.变形公式：

a2+b2=（a±b）2∓2ab,ab=【（a+b）2-（a2+b2）】/2

6.混合运算

注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：

化简、代入替换、计算．

例：

（a-1）2-（a+3）（a-3）-10=_-2a__.

知识点五：

因式分解

7.因式分解

（1）定义：

把一个多项式化成几个整式的积的形式．

（2）常用方法：

①提公因式法：

ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）.

②公式法：

a2－b2＝（a＋b）（a－b）；a2±2ab＋b2＝（a±b）2.

（3）一般步骤：

①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式法分解；③检查各因式能否继续分解.

（1）因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成幂的形式；

（2）因式分解与整式的乘法互为逆运算．

【章节典例解析】

【例题1】（2017贵州安顺）下了各式运算正确的是（　　）

A．2（a﹣1）=2a﹣1B．a2b﹣ab2=0C．2a3﹣3a3=a3D．a2+a2=2a2

【考点】35：

合并同类项；36：

去括号与添括号．

【分析】直接利用合并同类项法则判断得出答案．

【解答】解：

A、2（a﹣1）=2a﹣2，故此选项错误；

B、a2b﹣ab2，无法合并，故此选项错误；

C、2a3﹣3a3=﹣a3，故此选项错误；

D、a2+a2=2a2，正确．

故选：

D．

【例题2】（2017广东）已知4a+3b=1，则整式8a+6b﹣3的值为　﹣1　．

【考点】33：

代数式求值．

【分析】先求出8a+6b的值，然后整体代入进行计算即可得解．

【解答】解：

∵4a+3b=1，

∴8a+6b=2，

8a+6b﹣3=2﹣3=﹣1；

故答案为：

﹣1．

【例题3】（2017贵州安顺）分解因式：

x3﹣9x=　x（x+3）（x﹣3）　．

【考点】55：

提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．

【解答】解：

原式=x（x2﹣9）

=x（x+3）（x﹣3），

故答案为：

x（x+3）（x﹣3）．

【例题4】（2017湖北咸宁）由于受H7N9禽流感的影响，我市某城区今年2月份鸡的价格比1月份下降a%，3月份比2月份下降b%，已知1月份鸡的价格为24元/千克．设3月份鸡的价格为m元/千克，则（　　）

A．m=24（1﹣a%﹣b%）B．m=24（1﹣a%）b%C．m=24﹣a%﹣b%D．m=24（1﹣a%）（1﹣b%）

【考点】32：

列代数式．

【分析】首先求出二月份鸡的价格，再根据三月份比二月份下降b%即可求出三月份鸡的价格．

【解答】解：

∵今年2月份鸡的价格比1月份下降a%，1月份鸡的价格为24元/千克，

∴2月份鸡的价格为24（1﹣a%），

∵3月份比2月份下降b%，

∴三月份鸡的价格为24（1﹣a%）（1﹣b%），

故选D．

【例题5】（2017宁夏）分解因式：

2a2﹣8=　2（a+2）（a﹣2）　．

【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

【解答】解：

2a2﹣8

=2（a2﹣4），

=2（a+2）（a﹣2）．

故答案为：

2（a+2）（a﹣2）．

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

【例题6】（2017广西百色）阅读理解：

用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．

（1）二次项系数2=1×2；

（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算：

“交叉相乘之和”；

1×3+2×（﹣1）=11×（﹣1）+2×3=51×（﹣3）+2×1=﹣11×1+2×（﹣3）=﹣5

（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．

即：

（x+1）（2x﹣3）=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3=（x+1）（2x﹣3）．

像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：

3x2+5x﹣12=　（x+3）（3x﹣4）　．

【考点】57：

因式分解﹣十字相乘法等．

【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）即可．

【解答】解：

3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．

故答案为：

（x+3）（3x﹣4）

【章节典例习题】

1.（2017湖北江汉）下列运算正确的是（　　）

A．（π﹣3）0=1B．

=±3C．2﹣1=﹣2D．（﹣a2）3=a6

2.（2017•乐山）3﹣2=　

　．

3.（2017齐齐哈尔）下列算式运算结果正确的是（　　）

A．（2x5）2=2x10B．（﹣3）﹣2=

C．（a+1）2=a2+1D．a﹣（a﹣b）=﹣b

4.（2017山东泰安）下列运算正确的是（　　）

A．a2•a2=2a2B．a2+a2=a4

C．（1+2a）2=1+2a+4a2D．（﹣a+1）（a+1）=1﹣a2

5.分解因式：

﹣2x2y+16xy﹣32y=　﹣2y（x﹣4）2　．

6.（2017内江）若实数x满足x2﹣2x﹣1=0，则2x3﹣7x2+4x﹣2017=　﹣2020　．

7.（2017贵州）在实数范围内因式分解：

x5﹣4x=　x（x2+3）（x+

）（x﹣

）　．

8.下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．

解：

x（x+2y）﹣（x+1）2+2x

=x2+2xy﹣x2+2x+1+2x第一步

=2xy+4x+1第二步

（1）小颖的化简过程从第　一　步开始出现错误；

（2）对此整式进行化简．

9.（2017.湖南怀化）先化简，再求值：

（2a﹣1）2﹣2（a+1）（a﹣1）﹣a（a﹣2），其中a=

+1．

10.（2017四川眉山）先化简，再求值：

（a+3）2﹣2（3a+4），其中a=﹣2．

11.（2017•宁德）化简并求值：

x（x﹣2）+（x+1）2，其中x=﹣2．

【章节典例习题】参考答案

1.（2017湖北江汉）下列运算正确的是（　　）

A．（π﹣3）0=1B．

=±3C．2﹣1=﹣2D．（﹣a2）3=a6

【考点】47：

幂的乘方与积的乘方；22：

算术平方根；6E：

零指数幂；6F：

负整数指数幂．

【分析】根据零指数幂、算术平方根、负整数指数幂、积的乘方的计算法则计算，对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：

解：

A、（π﹣3）0=1，故A正确；

B、

=3，故B错误；

C、2﹣1=

，故C错误；

D、（﹣a2）3=a6，故D错误．

故选：

A．

2.（2017•乐山）3﹣2=　

　．

【考点】6F：

负整数指数幂．

【专题】11：

计算题．

【分析】根据幂的负整数指数运算法则计算．

【解答】解：

原式=

=

．

故答案为：

．

【点评】本题考查的是幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．

3.（2017齐齐哈尔）下列算式运算结果正确的是（　　）

A．（2x5）2=2x10B．（﹣3）﹣2=

C．（a+1）2=a2+1D．a﹣（a﹣b）=﹣b

【考点】47：

幂的乘方与积的乘方；44：

整式的加减；4C：

完全平方公式；6F：

负整数指数幂．

【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，即可解题．

【解答】解：

A、（2x5）2=4x10，故A错误；

B、（﹣3）﹣2=

=

，故B正确；

C、（a+1）2=a2+2a+1，故C错误；

D、a﹣（a﹣b）=a﹣a+b=b，故D错误；

故选：

B．

4.（2017山东泰安）下列运算正确的是（　　）

A．a2•a2=2a2B．a2+a2=a4

C．（1+2a）2=1+2a+4a2D．（﹣a+1）（a+1）=1﹣a2

【考点】4F：

平方差公式；35：

合并同类项；46：

同底数幂的乘法；4C：

完全平方公式．

【分析】根据整式的乘法、加法法则及完全平方公式和平方差公式逐一计算可得．

【解答】解：

A、a2•a2=a4，此选项错误；

B、a2•a2=2a2，此选项错误；

C、（1+2a）2=1+4a+4a2，此选项错误；

D、（﹣a+1）（a+1）=1﹣a2，此选项正确；

故选：

D．

5.分解因式：

﹣2x2y+16xy﹣32y=　﹣2y（x﹣4）2　．

【分析】根据提取公因式以及完全平方公式即可求出答案．

【解答】解：

原式=﹣2y（x2﹣8x+16）

=﹣2y（x﹣4）2

故答案为：

﹣2y（x﹣4）2

【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．

6.（2017内江）若实数x满足x2﹣2x﹣1=0，则2x3﹣7x2+4x﹣2017=　﹣2020　．

【考点】59：

因式分解的应用．

【分析】把2x2分解成x2与x2相加，然后把所求代数式整理成用x2﹣x表示的形式，然后代入数据计算求解即可．

【解答】解：

∵x2﹣2x﹣1=0，

∴x2﹣2x=1，

2x3﹣7x2+4x﹣2017

=2x3﹣4x2﹣3x2+4x﹣2017，

=2x（x2﹣2x）﹣3x2+4x﹣2017，

=6x﹣3x2﹣2017，

=﹣3（x2﹣2x）﹣2017

=﹣3﹣2017

=﹣2020，

故答案为：

﹣2020．

7.（2017贵州）在实数范围内因式分解：

x5﹣4x=　x（x2+3）（x+

）（x﹣

）　．

【考点】58：

实数范围内分解因式．

【分析】先提取公因式x，再把4写成22的形式，然后利用平方差公式继续分解因式．

【解答】解：

原式=x（x4﹣22），

=x（x2+2）（x2﹣2）

=x（x2+2）（x+

）（x﹣

），

故答案是：

x（x2+3）（x+

）（x﹣

）．

8.下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．

解：

x（x+2y）﹣（x+1）2+2x

=x2+2xy﹣x2+2x+1+2x第一步

=2xy+4x+1第二步

（1）小颖的化简过程从第　一　步开始出现错误；

（2）对此整式进行化简．

【考点】4A：

单项式乘多项式；4C：

完全平方公式．

【分析】

（1）注意去括号的法则；

（2）根据单项式乘以多项式、完全平方公式以及去括号的法则进行计算即可．

【解答】解：

（1）括号前面是负号，去掉括号应变号，故第一步出错，

故答案为一；

（2）解：

x（x+2y）﹣（x+1）2+2x

=x2+2xy﹣x2﹣2x﹣1+2x

=2xy﹣1．

9.（2017.湖南怀化）先化简，再求值：

（2a﹣1）2﹣2（a+1）（a﹣1）﹣a（a﹣2），其中a=

+1．

【考点】4J：

整式的混合运算—化简求值．

【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．

【解答】解：

原式=4a2﹣4a+1﹣2a2+2﹣a2+2a=a2﹣2a+3，

当a=

+1时，原式=3+2

﹣2

﹣2+3=4．

10.（2017四川眉山）先化简，再求值：

（a+3）2﹣2（3a+4），其中a=﹣2．

【考点】4J：

整式的混合运算—化简求值．

【分析】原式利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．

【解答】解：

原式=a2+6a+9﹣6a﹣8=a2+1，

当a=﹣2时，原式=4+1=5．

11.（2017•宁德）化简并求值：

x（x﹣2）+（x+1）2，其中x=﹣2．

【考点】4J：

整式的混合运算—化简求值．

【专题】11：

计算题；512：

整式．

【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

【解答】解：

原式=x2﹣2x+x2+2x+1=2x2+1，

当x=﹣2时，原式=8+1=9．

【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．