大一上学期高数期末考试题.docx
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大一上学期高数期末考试题
高数期末考试（A）
、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
x
f（x）在区间上（-1,1）二阶可导且
6.若F（x）=J。
（2t-x）f（t）dt,其中
f'（x）>0，则（）.
（A）函数F（x）必在x=0处取得极大值；
（B）函数F（x）必在x=0处取得极小值；
（C）函数F（x）在x=0处没有极值，但点（0,F（0））为曲线y=F（x）的拐点；
（D）函数F（x）在x=0处没有极值，点（0,F（0））也不是曲线y=F（x）的拐点。
1
7设f（x）是连续函数，且f（X）=X+2J0f（t）dt,贝Uf（X）=（
2
—+2
（B）2（C）X—1（D）x+2.
2
X
（A）2
8.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9.设函数y=y（x）由方程eE+sin^y"1确定，求y（x）以及y（0）.
求Jdx.
10.x（1+x）
11.
设f（X）=卩二_2
[J2x-X
12.
0CX<1
1
Jf（xt）dt
0
求J；f（x）dx.
13.
g（x）=
设函数f（x）连续，
g（x）并讨论g（x）在X=0处的连续性.
，且,A为常数•求
y
（1）=--
求微分方程xy+2y=xinX满足八，9的解.
解答题（本大题10分）
已知上半平面内一曲线y=y（x）（X>0），过点（0,1），且曲线上任一点M（xo，yo）处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x=xo所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.
五、解答题（本大题10分）
15.过坐标原点作曲线y=lnX的切线，该切线与曲线y=lnX及X轴围
成平面图形D.
（1）求D的面积A;
（2）求D绕直线X=e旋转一周所得旋转体的体积V.
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16.设函数f（x）在〔o,1上连续且单调递减，证明对任意的qf0,1］，
q1
Jf（X）dX>qjf（X）dx
00
四、
14.
兀JI
Jf（X）dX=0ff（X）cosXdx=0
0，0
S，使f（J）=f^2H0.（提
17.设函数f（x）在b，兀上连续，且证明：
在（0，兀内至少存在两个不同的点
X
F（x）=Jf（x）dx
示：
设0）
解答
一、单项选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
1、D2、A3、C4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题
1COSX2丄
e6-（）+c
5.e.6.2X.7.
二、解答题（本大题有5小题，每小题
9.解：
方程两边求导
ef（1+yfcocy（xy）ty=）
4分,
兀
2.
8分,
共16分）
兀
8.3
共40分）
ex^+ycos（xy）
y（X）一eXJxcos（Ky）
X=0,y=0,y（0）=_1
2
u+1）du
10.解：
u=x77x6dx=du
店卡1r（1-u）.1「，1
原式=〔du=f（
7u（1+u）7u
1
=-（ln|uI-2lnIu+1|）+c
1727
=ln|x\-ln|1+xI+C
77
1012
一肋ff（x）dx=1xe」dx+fv2x-xdx11.解：
「•口
=J：
xd（—e」）+J；J1—（X—1）2dx
-xe」一e」［3+J号cos20dQ（令x—1=sin0）
-，-2
兀3
=—-2e3—1
4
12.解：
由f（0）=0，知g（0）=0o
（XH0）
（XH0）
xf（x）-Jf（u）du
g'（x）=
业+2y=lnx
13.解：
dxX
—I^dx
y=ex（JexInxdx+C）
X-1X+Cx/
9
f-dx
1
=一xln
3
1
y（1F"9C
11
0y=—xlnx--x
39
四、解答题（本大题10分）
x
14.解：
由已知且yQ2Joydx+y，
将此方程关于x求导得y=2y+y
+C2e2x
特征方程：
r2-r-2=0解出特征根：
-1,「2=2.
其通解为y=C1e」
兀兀n
0=ff（x）cosxdx=fcosxdF（x）=F（x）cosx|+fsinxF（x）dx由题设，有001°0，
兀
fF（x）sinxdx=0
有0，由积分中值定理，存在匕忘（0，兀），使F（©）sin©=0即
F（©）=0
综上可知F（0）=F（©）=F（兀）=0,吳（。
，兀）.在区间[0,©],[£,兀]上分别应用罗尔定理，知存在
-（03）和巴2-（匕,兀），使FW）=0及F牡2）=0，即f（J）=f（匕2）=0.
x
20.若F（x）=『0（2—x）f（t）dt，其中f（x）在区间上（-行）二阶可导且fix）》0，则（）.
（A）函数F（x）必在x=0处取得极大值；
（B）函数F（x）必在x=0处取得极小值；
（C）函数F（x）在x=0处没有极值，但点（0,F（0））为曲线y=F（x）的拐点；
（D）函数F（x）在x=0处没有极值，点（0,F（0））也不是曲线y=F（x）的拐点。
1
21设f（x）是连续函数，且f（X）=X+2J0f（t）dt,贝Uf（X）=（
22
（A）2（B）2（C）X-1（D）x+2.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
2
22.lx^（^3x）sn^=
已知空是f（X）的一个原函数，
23.X
lim巴（cos2二中cos2—+111+cos2n~~兀）=
24.nFnnnn
y
（1）—1
30.求微分方程xy+2y=XInX满足9的解.
四、解答题（本大题10分）
31.已知上半平面内一曲线汁y（x）（X二0），过点（o,1），且曲线上任一点M（xo，yo）处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x=xo所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.
五、解答题（本大题10分）
32.过坐标原点作曲线y=lnX的切线，该切线与曲线y=lnX及X轴围
成平面图形D.
（1）求D的面积A；
（2）求D绕直线X=e旋转一周所得旋转体的体积
V.
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
33.设函数f（x）在〔O,1上连续且单调递减，证明对任意的qF0，1］，
q
Jf（X）dXXJf（X）dX
JIJI
Jf（X）dX=0ff（X）cosXdx=0
0，0
-1,2，使f（©1）=f（©2）=0.（提
00
34.设函数f（X）在b,兀上连续，且证明：
在（0,兀内至少存在两个不同的点
X
F（x）=Jf（x）dx
示：
设0）
、单项选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
1、D2、A3、C4、C
=-（ln|u|-2ln|u+1|）+c
1727=—ln|x7|-—ln|1+x7|+C
77
cc肋ff（x）dx=[xe^dx+fJ2x-x2dx
20.解：
b屮
=J」xd（-e」）+J0J1-（X—1）2dx
=[-xe」-e」1+J兀cos2日d£（令x-1=sin日）
*
1
72=J兀（e-ey）2dy
0
V
D绕直线X=e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题
25.证明：
q
=（1-q）Jf（x）dx-qJf（x）dx
°q
EqO,q]U电q,1]f（^^f（4）
=q（1-q）fe1）-q（1-q）f（©2）工°
故有：
q1
ff（x）dX“Jf（X）dx
00证毕。
26.
X
F（x）=ff（t）dt,0证：
构造辅助函数：
0。
其满足在［0,兀】上连续，在（0,兀）
上可导。
F（x）=f（x），且F（0）=F（;i）=0
兀兀71兀
0=ff（x）cosxdx=『cosxdF（x）=F（x）cosx［+fsinxF（x）dx由题设，有001°0,
兀
fF（x）sinxdx=0他..
有0，由积分中值定理，存在匕"0,沢），使F^sinE=0即
F（©）=0
综上可知F（0）=F（©）=F（兀）=0,E€（。
，兀）.在区间［。
，切‘代，兀］上分别应用罗尔定理，知存在
-（03）和勺-
（1），使F'（q）=0及F'（J）=0，即fG）=f（J）=0.
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