1998年全国考研数学二真题.doc
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1998年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.）
（1）.
（2）曲线与轴所围成的图形的面积.
（3）.
（4）设连续,则.
（5）曲线的渐近线方程为.
二、选择题（本题共5小题,每小题3分,共15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）
（1）设数列与满足,则下列断言正确的是（）
（A）若发散,则发散（B）若无界,则必有界
（C）若有界,则必为无穷小（D）若为无穷小,则必为无穷小
（2）函数的不可导点的个数是（）
（A）0（B）1（C）2（D）3
（3）已知函数在任意点处的增量其中是比高阶的无穷小,且,则（）
（A）（B）（C）（D）
（4）设函数在的某个邻域内连续,且为其极大值,则存在,当时,必有（）
（A）（B）
（C）（D）
（5）设是任一阶方阵,是其伴随矩阵,又为常数,且,则必有（）
（A）（B）（C）（D）
三、（本题满分5分）
求函数在区间内的间断点,并判断其类型.
四、（本题满分5分）
确定常数的值,使
五、（本题满分5分）
利用代换将方程化简,并求出原方程的通解.
六、（本题满分6分）
计算积分.
七、（本题满分6分）
从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度（从海平面算起）与下沉速度之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,体积为,海水比重为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为.试建立与所满足的微分方程,并求出函数关系式.
八、（本题满分8分）
设是区间上的任一非负连续函数.
（1）试证存在,使得在区间上以为高的矩形面积,等于在上以为曲边的梯形面积.
（2）又设在区间内可导,且,证明
（1）中的是唯一的.
九、（本题满分8分）
设有曲线,过原点作其切线,求由此曲线、切线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.
十、（本题满分8分）
设是一向上凸的连续曲线,其上任意一点处的曲率为,且此曲线上点处的切线方程为,求该曲线的方程,并求函数的极值.
十一、（本题满分8分）
设,证明：
（1）
（2）
十二、（本题满分5分）
设,其中是4阶单位矩阵,是4阶矩阵的转置矩阵,
求.
十三、（本题满分8分）
已知,问：
（1）取何值时,不能由线性表示？
（2）取何值时,可由线性表示？
并写出此表达式.
1998年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题答案
一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.）
（1）【答案】
【解析】方法1：
用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,
原式
.
方法2：
采用洛必达法则.
原式
.
方法3：
将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至项,
,
从而原式
.
（2）【答案】
【分析】求曲线与轴围成的图形的面积,应分清楚位于轴上方还是下方,为此,要先求此曲线与轴交点.
【解析】与轴的交点,即的根为
当时,；当时,,从而
（3）【答案】
【解析】因为,所以
.
（4）【答案】
【解析】作积分变量代换,
.
【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：
若,,均一阶可导,则
.
（5）【答案】
【解析】题中未说什么渐近线,所以三类渐近线都要考虑.
由曲线方程知,铅直渐近线可能在两处：
及,但题设,所以不予考虑,考虑的情况.当时,
所以无铅直渐近线；
因
故无水平渐近线.
再考虑斜渐近线:
（时,）
所以有斜渐近线.
【相关知识点】1.铅直渐近线：
如函数在其间断点处有,则是函数的一条铅直渐近线；
水平渐近线：
当,则为函数的水平渐近线.
斜渐近线：
若有存在且不为,则为斜渐近线.
二、选择题（本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）
（1）【答案】（D）
【解析】方法1:
直接利用无穷小量的性质可以证明（D）是正确的.
由及可知为两个无穷小之积,故亦为无穷小,应选（D）.
方法2:
排除法.
（A）的反例:
满足题设,但不发散；
（B）的反例:
满足,但不是有界数列；
（C）的反例:
有界数列,满足,但不是无穷小；
排除掉（A）、（B）、（C）,故选（D）.
（2）【答案】（B）
【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是分段函数.,当时可导,因而只需在处考察是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数.
由
即在处可导.又
所以在处不可导.
类似,函数在处亦不可导.因此只有2个不可导点,故应选（B）.
评注：
本题也可利用下列结论进行判断：
设函数,其中在处连续,则在处可导的充要条件是.
（3）【答案】（A）
【解析】由有
令得是的高阶无穷小,则,
即.
分离变量,得
两边积分,得,即
代入初始条件得所以,.
故
【相关知识点】无穷小的比较：
设在同一个极限过程中,为无穷小且存在极限,
（1）若称在该极限过程中为同阶无穷小；
（2）若称在该极限过程中为等价无穷小,记为；
（3）若称在该极限过程中是的高阶无穷小,记为.
若不存在（不为）,称不可比较.
（4）【答案】（C）
【解析】由是的极大点,知存在,当时,,即.因此,
当时,
当时,.
所以,（A）与（B）都不正确.
已知在处连续,由函数在一点连续的定义可知,,再由极限四则运算法则可得
.
应选（C）.
（5）【答案】（B）
【解析】对任何阶矩阵都要成立的关系式,对特殊的阶矩阵自然也要成立.那么,当可逆时,由,有
.
故应选（B）.
一般地,若,有,那么矩阵的第行列元素的代数余子式为
即中每个元素的代数余子式恰好是相应元素的代数余子式的倍,因而,按伴随矩阵的定义知的元素是对应元素的倍.
【相关知识点】1.行列式的性质：
若是阶矩阵,则
2.矩阵可逆的充要条件是,且.
三、（本题满分5分）
【分析】由间断点的定义可知,函数无定义的点一定是间断点,故可以先找出函数无定义的点,再讨论判断出间断点的类型.
【解析】在区间内的间断点为无定义的点,即各点.
在处,；在处,,故为的第二类间断点；
在处,；在处,,但相应的函数值在该点无定义,故在处为可去间断点.
【相关知识点】设,则.
2.函数的间断点或者不连续点的定义：
设函数在点的某去心邻域内有定义,只要满足一下三种情况之一即是间断点.
（1）在没有定义；
（2）虽在有定义,但不存在；
（3）虽在有定义,且存在,但
3.通常把间断点分成两类：
如果是函数的间断点,但左极限及右极限都存在,那么称为函数的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点.
四、（本题满分5分）
【分析】解决这类问题,原则上与求极限差不多,但是因为其中含有某些参数,比如在用洛必达法则前,极限是否为“”型或“”型,要先行讨论,通过讨论,有时就可以推断出其中参数的特点,然后再求极限,这是一类常考的题目.
【解析】当时,又由题设所以应有（否则与矛盾）,从而只有,因此满足洛必达法则的条件,用洛必达法则求其极限.
（当时,）
如果,则右边极限为,与原设左边矛盾,故,于是上述等式成为
（当时,）
所以最后得．
五、（本题满分5分）
【解析】方法１：
由,有
代入原方程,得
.（*）
先求其相应齐次方程的通解,由于其特征方程为,则特征方程的根为.所以通解为（为任意常数）.
再求非齐次方程的特解,特解应具有形式,代入（*）式,得
解得,,因此.
故（*）的通解为
（为任意常数）.
所以,原微分方程的通解为
.
方法２：
由,于是
原方程化为（以下与方法１相同）．
【相关知识点】两函数乘积的求导公式：
.
六、（本题满分6分）
【解析】当时,被积函数的极限,即是被积函数的无穷间断点,故所给的是广义积分.
其中,
求：
设则,
于是,.
七、（本题满分6分）
【解析】先建立坐标系,取沉放点为原点,铅直向下作为轴正向,探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小：
浮力的大小：
；阻力：
则由牛顿第二定律得
（*）
由,代入（*）得与之间的微分方程
.
分离变量得,
两边积分得,
（第一类换元法）
.
再根据初始条件即
.
故所求与函数关系为
八、（本题满分8分）
【解析】
（1）要证,使；令,要证,使.可以对的原函数使用罗尔定理：
又由在连续在连续,在连续,在可导.根据罗尔定理,,使.
（2）由,知在内单调增,故
（1）中的是唯一的.
评注：
若直接对使用零点定理,会遇到麻烦：
.
当时,对任何的结论都成立；
当时,但,若,则难以说明在内存在.当直接对用零点定理遇到麻烦时,不妨对的原函数使用罗尔定理.
【相关知识点】1.罗尔定理：
如果函数满足
（1）在闭区间上连续；
（2）在开区间内可导
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