正方形内的半角模型22问学习资料.docx

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正方形内的半角模型22问学习资料

正方形内的半角模型22问

正方形内的半角模型22问

何为半角模型？

如图a，在△ABC中，∠BAC=2∠DAE，AB=AC。

这种模型就叫做“半角模型”。

“半角模型”通常解题的方法是“旋转”。

【例1】如图a，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D、E是BC边上的点，∠DAE=60°，BD=5，CE=8，求DE的长。

【提示】将，△AEC绕点A顺时针旋转120º得到△APB，过点P作PM⊥BC于点M，连接PD（如图a-1）。

则△APD≌△AED，∠PBM=60º。

正方形中的半角模型：

【例2】已知正方形ABCD，AB=6，点P在对角线BD上，AP交DC于点G，PH⊥DC，PE⊥PA交BC于点E，PF⊥BC于点F，连接EG交PF于点N，连接AN交PE于点M，EK⊥BD于点K，连接AE交BD于点Q。

则有以下结论：

（1）△PAE是等腰直角三角形；

（2）EF=FC（四边形EFHP为平行四边形）；

（3）PB-PD=√2BE；

（4）EG=EB+DG；

（5）BC+BE=√2BP；

（6）GA平分∠DGE；

（7）A到EG的距离为定值；

（8）△EFN的周长为定值；

（9）FH=AP；

（10）∠BAE=∠BPE；

（11）NE=NG=NP（∠NEP=∠NPE，∠NPG=∠NGP）；

（12）∠KEQ=∠PEN；

（13）∠APB=∠AEG；

（14）∠DGE=2∠AQD；

（15）PQ²=BQ²+PD²；

（16）AB=√2PK（PK=3√2）；

（17）若BE=2，则PF=4且DG=GC；

（18）若∠EPF=22.5º，则PF=PK；

（19）若△PEC是等边三角形，则PE=6√3-6（PF=9-3√3，PD=3√6-3√2）；

（20）S△ABE=6，则S△ECG=6；

（21）若AN⊥EG，则PD=6√2-6；

（22）若AN⊥EG，则NA-NE=√2NP。

【解析】

（1）延长FP（如图1-1），

则PIDH为正方形，∠EPF=∠PAI，

∴△EPF≌△PAI，

∴PA=PE，又PE⊥AP，

∴△PAE为等腰直角三角形；

（2）EF=IP=ID=FC，PH∥EF，故四边形EFHP为平行四边形；

（3）PB-PD=√2BF-√2PH

=√2（BF-PH）

=√2（BF-EF）

=√2BE；

（4）将△ADG绕点A顺时针旋转90º得到△ABJ（如图1-2）。

则AJ=AG，∠GAE=∠JAE=45º，AE=AE，

∴△GAE≌△JAE，

JE=EG，JE=JB+BE，JB=DG，

∴EG=EB+DG；

（5）∵BP=BD-PD=√2BC-√2FC，

∴√2BP=2BC-2FC

=BC+（BC-FC-EF）

=BC+BE；

（6）由（4），∠AJB=∠AGE=∠AGD，故GA平分∠DGE；

（7）由（4），∠AEB=∠AEG=∠AGD，故A到EG的距离=AB=6，为定值；

（8）C△ECG=EC+CG+EG=EC+CG+GD+BE=BC+CD=12，

∵EF=FC，FN∥CG，

∴N为EG中点，C△EFN=C△ECG÷2=6，为定值；

（9）连接PC（如图1-3），

根据对称性，PA=PC，四边形FCHP为矩形，

∴PC=FH，∴PA=FH；

（10）∵∠BAE+∠DAG=45º，

∠BPE+∠EPF=45º，

∠EPF=∠DAG（参照

（1）的证明），

∴∠BAE=∠BPE；

（11）由（8）知，点N为EG中点，△EPG为直角三角形，

∴NE=NG=NP（∠NEP=∠NPE，∠NPG=∠NGP）；

（12）∠KEQ=∠AEB-45º=90º-∠BAE-45º

=45º-∠BAE=∠DAG；

∠PEN=∠EPN=∠DAG，

∴∠KEQ=∠PEN；

（13）∠APB=∠BPC=45º+∠FPC

=45º+∠EPN=45º+∠PEN=∠AEG；

（14）∠AQD=45º+∠BAE

=45º+45º-∠DAG=90º-∠DAG

=∠AGD，

∴2∠AQD=2∠AGD=∠DGE；

（15）将△ABQ绕点A逆时针旋转90º得到△ADR，连接RP（如图1-4）。

则AR=AQ，∠RAP=∠QAP=45º，AP=AP，

∴△RAP≌△QAP，PQ=PR，RD=BQ；

∠ADR=∠ADP=45º，

∴∠PDR=90º，

∴PR²=RD²+PD²，即：

PR²=RD²+PD²；

（16）PK=BD-BK-PD

=√2AB-√2BE/2-√2PH

=√2AB-√2BE/2-√2FC

=√2AB-（√2/2）（BE+2FC）

=√2AB-（√2/2）AB

=（√2/2）AB，

∴AB=√2PK；或6=√2PK，PK=3 √2；

（17）FC=（6-2）÷2=2，

∴PI=2，PF=4；设DG=x，则：

（6-x）²+4²=（2+x）²，解得：

x=3，

∴GC=6-3=3，故DG=GC；

（18）∵∠EPF=22.5º，

∴∠DAG=∠BAE=22.5º，

则△ADG≌△ABE，DG=BE，

∴CE=CG，∠GEC=45º，

∴∠KEG=90º，

∵∠AEP=45º，∠KEQ=∠PEN（第12问），

∴∠KEQ=∠PEN=22.5º，

∴∠PEK=∠PEF=67.5º，

又PF⊥EF，PK⊥EK，

∴PK=PF；

（19）设FC=a，则PI=a，PC=PE=2a，

PF=√3a，IF=（√3+1）a=6，

∴a=6÷（√3+1）=3（√3-1）；

PE=6（√3-1）；

PF=√3·3（√3-1）=9-3√3，

PD=√2·3（√3-1）=3√6-3√2；

（20）∵S△ABE=6，

∴BE=2，由（17），GC=3；

EC=4，∴S△ECG=3×4÷2=6；

（21）∵点N为EG中点，又AN⊥EG，

∴AG=AE，∴△ADG≌△ABE。

∴∠DAG=∠BAE=22.5º，

∴∠EPF=∠FPC=22.5º；

∴∠PCF=67.5º，

∵∠PBC=45º，

∴∠BPC=67.5º，

∴BP=BC=6，BD=6√2，

∴PD=6√2-6；

（22）由（21），AE=AG，∠DPG=∠DGP=67.5º，

∴PD=DG=6√2-6，

∵PD∥NG，PN∥DG，

∴四边形DGNP为平行四边形，

∴NP=DG=6√2-6，NE=NG=PD=6√2-6；

∵AN⊥GN，AD⊥DG，AG=AG，

∴△ADG≌△ANG，

∴AN=AD=6，

NA-NE=6-（6√2-6）=12-6√2，

√2NP=√2（6√2-6）=12-6√2，

∴NA-NE=√2NP。

【点评】正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，性质丰富，如果其内部构造了“垂直模型”及“半角模型”，则海量等量关系层出不穷。

本题从对称轴BD出发，求得全等三角形开始，获得线段等量关系：

EF=FC=PH，而后步步为营，层层推导，不断深入，堪为经典题例。