第22讲 正方形.docx

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第22讲正方形

第22讲正方形

考点·方法·破译

1．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫正方形，即邻边相等的矩形或有一个角为直角的菱形叫正方形．

2．熟练掌握正方形的性质，并能在解决问题时将正方形与等腰直角三角形进行替换思考．

3．掌握正方形的判断方法，并应用它的对称性质解决问题．

经典•考题•赏析

【例1】（上海）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．

⑴求证：

四边形ABCD是菱形；

⑵若∠AED＝2∠EAD，求证：

四边形ABCD是正方形．

【解法指导】根据条件合理选择判断方法是解决问题的关键．本题可选“对角线

垂直的平行四边形是菱形；有一个角为直角的菱形是正方形”．

证明：

⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO

∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即DB⊥AC

∴平行四边形ABCD是菱形

⑵∵△ACE是等边三角形，∴∠ACE＝60°，∵EO⊥AC，∴∠AEO＝

∠ACE＝30°，

∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∵∠ADO＝∠EAD＋∠ADEO＝45°

∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝2∠ADO＝90°

∴四边形ABCD是正方形．

【变式题组】

01．如图，已知正方形ABCD的对角线AC和BD相交于O，点M、N分别在OA、OD上,且MN∥AD．探究：

线段DM和CN之间的数童关系，写出结论并给出证明．

02．如图，点P是正方形ABCD对角线AC上的点，PE⊥AB，PF⊥BC，E、F是垂足，问PD与EF有怎样的关系？

请说明理由．

03．（荆州）如图，将正方形ABCD中的绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想BM与FN有怎样的数量关系？

并证明你的结论．

04．（荆州）把一个正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多，除了可以分成相互全等的四个三角形外，你还能用三种不同的方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗？

请分别画出示意图．

【例2】（扬州）如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O．

⑴以图中已标有字母的点为端点连接两条线段（正方形的对角线除外），要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；

⑵若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为

cm2，求旋转的角度.

【解法指导】解⑴AO⊥DE证明：

∵在Rt△ADO与Rt△AEO中，AD＝AE，AO＝AO，∴△ADO∽△AEO（HL），∴∠DAO＝∠OAE（即AO平分∠DAE），AO⊥DE（等腰三角形三线合一）[注：

其他的结论也成立如GD⊥BE]

⑵30°∵四边形AEOD的面积为

cm2，∴△ADO的面积＝

，

在Rt△AOD中，AO2＝OD2＋AD2，

∴AO＝

，∴AO＝2OD，∴AD＝2，OD＝

，∠DAO＝30°，∴∠DAE＝60°，∴∠EAB＝30°，

【变式题组】

01．（青岛）如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是　　　　　．

02．我们给定两个全等的正方形ABCD、AEFG它们共顶点A（如图1），可以绕顶点A旋转，CD、EF相交于点P．

⑴连接BE、DG（如图2），求证：

BE＝DG，BE⊥DG

⑵连接BG、CF（如图），求证：

BG∥CF．

【例3】（临沂）数学课上，张老师提出了问题：

如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC边的中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：

AE＝EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：

取AB的中点M，连接ME，则似AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．

在此基础上，同学们进一步的研究：

⑴小颖提出：

如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？

如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：

如图3，点E是边BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？

如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

【解法指导】若证明两个三角形中的线段相等，而这两三角形又不全等时，可通过构造全等三角形证明线段相等．

解：

⑴正确．证明：

在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．

∴BM＝BE，∠BME＝45°，∴∠AME＝135°

∵∠ECF＝∠ECD＋∠DCF＝135°

∴∠AME＝∠ECF，∵∠1＋∠AEB＝90°，∠2＋∠AEB＝90°

∴∠1＝∠2，∴△AME≌△ECF，AE＝EF

⑵正确．如图，在BA延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE，

∴BN＝BE，∴∠N＝∠FCE＝45°

∠NAE＝90°＋∠1，∠CEF＝45°

∴∠NAE＝∠CEF，△ANE≌△ECF

∴AE＝EF

【变式题组】

01．（福建省宁德）如图，已知正方形ABCD在直线MN上方，BC在直线MN上；E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．

⑴连接GD，求证：

△ADG≌△ABE；

⑵连接FG，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由．

02．（南宁）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE丄EF．

⑴延长EF交正方形外角平分线CP于点P，试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；

⑵在AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？

若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

【例4】（荆州市竞赛题）已知：

正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别CB、DC（或它们的延长线）点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BN＝DN时（如图1），易证BM＋DN＝MN．

⑴当∠MAN绕点A旋转到BN≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？

写出猜想，并加以证明；

⑵当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？

写出猜想并明．

图1　　　　　　　图2　　　　　　　　图3

【解法指导】欲证两条线段之和等于第三条线段，可通过截长补短，构造全等三角形解决．

解：

⑴MN＝BM＋DN．

证明：

延长CB到E，使BE＝DN，连接AE．

∵AB＝AD，BE＝DN，∠ABE＝∠ADN，△ABE≌△ADN．

∴∠1＝∠2，AE＝AN，∵∠MAN＝45°，∠1＋∠3＝45°

∴∠1＋∠2＝45°，∴∠EAM＝∠NAM，AM＝AM

∴△AEM≌△ANM，∴MN＝ME，∴MN＝BM＋DN

⑵MN＝DN－BM．

证明：

在DN上截取DF＝BM，连接AF．

∵AB＝AD，∠D＝∠ABM，BM＝DF，∴△ABM≌△ADF．

∴∠4＝∠5，AF＝AM，∵∠4＋∠6＝45°，∴∠5＋∠6＝45°，∴∠FAN＝45°

∴∠FAN＝∴∠MAN，AF＝AM，AN＝AN，∴△AFN≌△AMN．

∴MN＝FN，MN＝DN－BM．

【变式題组】

01．（衡阳）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：

⑴∠EAF的大小是否有变化？

请说明理由；

⑵△ECF的周长是否有变化？

请说明理由．

02．如图，有四个动点P、Q、E、F分别从边长为1的正方形ABCD的四个顶点出发，沿AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动

⑴试判断四边形PQEF的形状，并证明；

⑵PE是否总过某一定点，并说明理由；

⑶四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小和最大？

各是多少？

03．（济宁）在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕点O顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．

⑴旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；

⑵设△MBN的周长为p，在正方形OABC旋转的过程中，p值是否有变化？

请证明你的结论．

【例5】小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到了这样一道题：

“已知正方形ABCD，点E、F、G、H只分别在AB、BC、CD、DA上，若EG丄FH，则GE＝FH”经过思考，大家给出了以下两个方案：

（甲）过点A做AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；

（乙）过点A做AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N；

小杰和他的同学顺利的解决了该题后，人家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索．

⑴对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）；

⑵如果把条件中的“EG丄HF”改为“EG与HF的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为

（如图2），试求EG的长度．

【解】⑴证明：

如图3过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N

∴AM＝HF，AN＝EG，∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠BAD＝∠AND＝90°

∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90°，∴∠BAM＝∴∠DAN

在△ABM和△ADN中

∴△ABM≌△ADN，∴AM＝AN，即EG＝FH

⑵解：

如图4过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交于点N，

∵AB＝1，AM＝FH＝

，∴在Rt△ABM中，BM＝

将△ADN绕点A旋转到△APB，∵EG与FH的夹角为45°

∴∠MAN＝45°，∴∠DAN＋∠MAB＝45°即∠PAM＝∠MAN＝45°

从而，△APM≌△ANM，∴PM＝NM

设DN＝x，则NC＝1－x，MN＝PM＝

＋x

在Rt△ABM中，（

＋x）2＝

＋（1－x）2解得x＝

，∴EG＝AN＝

＝

．

【变式题组】

01．（哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为．

02．（天孝）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ADE'，连接EE'，则EE'的长等于．

03．（上海）已知正方形ABCD中,点E在边DC上，DE＝2，EC＝1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为．

04．（盐城）小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处,折痕为（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，矩形ABCD长与宽的比值为．

05．（黑龙江鸡西）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作以CE丄MN于点E，过点B作BF丄MN于点F．当点E与A重合时（如图1），易证：

AF＋BF＝2CE．当三角板绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，上述结论是否仍然成立？

若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，清直接写出你的猜想，并证明．

演练巩固·反馈提高

01．（江苏常州）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（）

A．等腰梯形B．正方形C．平行四边形D．矩形

02．（烟台）如图，将n个边长为1cm瓜的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积为（）

A．

cm2B．

cm2C．

cm2D．

cm2

03．（山西省）如图⑴，把一个长为m、宽为n的长方形（m＞n）沿虚线剪开，并拼成图⑵，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（）

A．

　　　B．m－n　　　C．

　　　　　D．

04．（白银）如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE丄AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（）

A．2　　　B．

　　　　C．3　　　　　D．

05．（抚顺）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）

A．

　　　B．

　　　　　C．3　　　　　D．

06．（贺州）如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是cm2．

07．如图，四边形ABCD是正方形，直线l1、l2、l3分别经过A、B、C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为a，l2与l3的距离为b，则正方形ABCD的面积是．

08．（重庆）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线八AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合．展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G．连接GF．下列结论：

①∠ADG＝112．5°；②AD＝2AE；③S△ACG＝S△OCD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE＝2OG，其中正确的结论序号是．

09．（北京）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N＝，若M、N分别是AD、BC边上的距DC最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N＝（用含有n的式子表示）．

10．（威海）如图1，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG、FH，交点为O．

⑴如图2，连接EF、FG、HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；

⑵将正方形ABCD沿线段EG、HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形，若正方形ABCD的边长为3cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1cm，则图3中阴影部分的面积为cm2．

11．（黄石）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F．

⑴探究线段OE与OF的数量关系并证明；

⑵当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？

若是，请证明，若不是，则说明理由；

⑶当点O运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

12．（常德）如图1，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG＝CE，AG⊥CE．

⑴当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG＝CE是否成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

⑵当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H交，于AD于M．①求证：

AG丄CH；②当AD＝4，DG＝

时，求CH的长．

13．如图，在△AEC中，以∠AEC为锐角，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AH的中点是M．

求证：

△FMH是等腰直角三角形．

培优升级·奥赛检测

01．（南昌市八年级竞赛试题）P为正方形ABCD内一点，若PA﹕PB﹕PC＝1﹕2﹕3，则∠APB的度数为（）

A．120°B．135°C．150°D．以上都不对

02．（四川省初二联赛试题）如图，边长为1的正方形ABCD绕A逆时针旋转

30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）

A．

B．

C．

D．

03．在正方形所在的平面内有一点P，便△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是

等腰三角形，那么具有这样性质的P点共有（）

A．9个B．7个C．5个D．1个

04．如图，G是边长为4的正方形ABCD的边长BC上一点，矩形DEFG的边EF过点A，GD＝5，则EG的长为．

05．（第十九届江苏省初二竞赛试題）如图，四边形ABCD为正方形，AB为边向正方形外作等边三角形ABE．CE与DB相交于点F，则∠AFD＝度．

06．（荆州市八年级联赛试题）如图，已知：

△AEC是以正方形ABCD的对角线为边的等边三角形，EF丄AB，交AB延长线于F，则∠BEF的度数为．

07．按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间的小正方形（阴影部分）的周长为．

08．如图，正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，点B坐标为（4，4），当三角板直角顶点P坐标为（3，3）时，设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交点于F．在三角板绕点P旋转的过程中，使得△POE成为等腰三角形．有满足条件的点F的坐标为．

09．（湖州市竞赛试题）在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O（0，0）、A（100，0）、B（100，100）、C（0，100）．若正方形OABC内部（边界及顶点除外）一格点P满足；S△POA×S△PAC＝S△PAB×S△POC就称格点P为“好点”，则正方形OABC内部“好点”的个数为个．

10．如图，已知正方形ABEF和正方形ACGH在△ABC的外部．若M是BC的中点，求证FH＝2AM

11．如图，把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．探究：

线段MD、MF的关系，并加以证明．

12．（宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将服BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．

⑴求证：

△AMB≌△ENB；

⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

⑶当AM＋BM＋CM的最小值为

时，求正方形的边长．