1、正方形内的半角模型22问学习资料正方形内的半角模型22问正方形内的半角模型22问何为半角模型?如图a,在ABC中,BAC=2DAE,AB=AC。这种模型就叫做“半角模型”。“半角模型”通常解题的方法是“旋转”。【例1】如图a,ABC中,AB=AC,BAC=120,D、E是BC边上的点,DAE=60,BD=5,CE=8,求DE的长。【提示】将,AEC绕点A顺时针旋转120得到APB,过点P作PMBC于点M,连接PD(如图a-1)。则APDAED,PBM=60。正方形中的半角模型:【例2】已知正方形ABCD,AB=6,点P在对角线BD上,AP交DC于点G,PHDC,PEPA交BC于点E,PFBC于
2、点F,连接EG交PF于点N,连接AN交PE于点M,EKBD于点K,连接AE交BD于点Q。则有以下结论:(1)PAE是等腰直角三角形;(2)EF=FC(四边形EFHP为平行四边形);(3)PB-PD=2BE;(4)EG=EB+DG;(5)BC+BE=2BP;(6)GA平分DGE;(7)A到EG的距离为定值;(8)EFN的周长为定值;(9)FH=AP;(10)BAE=BPE;(11)NE=NG=NP(NEP=NPE,NPG=NGP);(12)KEQ=PEN;(13)APB=AEG;(14)DGE=2AQD;(15)PQ=BQ+PD;(16)AB=2PK(PK=32);(17)若BE=2,则PF=4
3、且DG=GC;(18)若EPF=22.5,则PF=PK;(19)若PEC是等边三角形,则PE=63-6(PF=9-33,PD=36-32);(20)SABE=6,则SECG=6;(21)若ANEG,则PD=62-6;(22)若ANEG,则NA-NE=2NP。【解析】(1)延长FP(如图1-1),则PIDH为正方形,EPF=PAI,EPFPAI,PA=PE,又PEAP,PAE为等腰直角三角形;(2)EF=IP=ID=FC,PHEF,故四边形EFHP为平行四边形;(3)PB-PD=2BF-2PH=2(BF-PH)=2(BF-EF)=2BE;(4)将ADG绕点A顺时针旋转90得到ABJ(如图1-2)
4、。则AJ=AG,GAE=JAE=45,AE=AE,GAEJAE,JE=EG,JE=JB+BE,JB=DG,EG=EB+DG;(5)BP=BD-PD=2BC-2FC,2BP=2BC-2FC=BC+(BC-FC-EF)=BC+BE;(6)由(4),AJB=AGE=AGD,故GA平分DGE;(7)由(4),AEB=AEG=AGD,故A到EG的距离=AB=6,为定值;(8)CECG=EC+CG+EG=EC+CG+GD+BE=BC+CD=12,EF=FC,FNCG,N为EG中点,CEFN=CECG2=6,为定值;(9)连接PC(如图1-3),根据对称性,PA=PC,四边形FCHP为矩形,PC=FH,PA
5、=FH;(10)BAE+DAG=45,BPE+EPF=45,EPF=DAG(参照(1)的证明),BAE=BPE;(11)由(8)知,点N为EG中点,EPG为直角三角形,NE=NG=NP(NEP=NPE,NPG=NGP);(12)KEQ=AEB-45=90-BAE -45=45-BAE=DAG;PEN=EPN=DAG,KEQ=PEN;(13)APB=BPC=45+FPC=45+EPN=45+PEN=AEG;(14)AQD=45+BAE=45+45-DAG=90-DAG=AGD,2AQD=2AGD=DGE;(15)将ABQ绕点A逆时针旋转90得到ADR,连接RP(如图1-4)。则AR=AQ,RAP
6、=QAP=45,AP=AP,RAPQAP,PQ=PR,RD=BQ;ADR=ADP=45,PDR=90,PR=RD+PD,即:PR=RD+PD;(16)PK=BD-BK-PD=2AB-2BE/2-2PH=2AB-2BE/2-2FC=2AB-(2/2)(BE+2FC)=2AB-(2/2)AB=(2/2)AB,AB=2PK;或6=2PK,PK=32;(17)FC=(6-2)2=2,PI=2,PF=4;设DG=x,则:(6-x)+4=(2+x),解得:x=3,GC=6-3=3,故DG=GC;(18)EPF=22.5,DAG=BAE=22.5,则ADGABE,DG=BE,CE=CG,GEC=45,KEG
7、=90,AEP=45,KEQ=PEN(第12问),KEQ=PEN=22.5,PEK=PEF=67.5,又PFEF,PKEK,PK=PF;(19)设FC=a,则PI=a,PC=PE=2a,PF=3a,IF=(3+1)a=6,a=6(3+1)=3(3-1);PE=6(3-1);PF=33(3-1)=9-33,PD=23(3-1)=36-32;(20)SABE=6,BE=2,由(17),GC=3;EC=4,SECG=342=6;(21)点N为EG中点,又ANEG,AG=AE,ADGABE。DAG=BAE=22.5,EPF=FPC=22.5;PCF=67.5,PBC=45,BPC=67.5,BP=BC
8、=6,BD=62,PD=62-6;(22)由(21),AE=AG,DPG=DGP=67.5,PD=DG=62-6,PDNG,PNDG,四边形DGNP为平行四边形,NP=DG=62-6,NE=NG=PD=62-6;ANGN,ADDG,AG=AG,ADGANG,AN=AD=6,NA-NE=6-(62-6)=12-62,2NP=2(62-6)=12-62,NA-NE=2NP。【点评】正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形,性质丰富,如果其内部构造了“垂直模型”及“半角模型”,则海量等量关系层出不穷。本题从对称轴BD出发,求得全等三角形开始,获得线段等量关系:EF=FC=PH,而后步步为营,层层推导,不断深入,堪为经典题例。
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