专题04保值问题解析版.docx
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专题04保值问题解析版
专题四保值（倍值）问题
对于函数，=/（“若存在区间［厲几当氏［“上］时，/（Q的值域为［ka、kb］伙＞0）,则称y=/（Q为斤倍值函数，特别地，R=1时，称为保值函数.此类问题可转色为对步“不动点”、“稳泄点”问题，也可转化为方程同解问题，考查分类讨论、等价转化、数形结合、函数与方程等重要思想方法.综合能力要求较髙，属难题.
（輿例剖析J
类型一单调函数中保值问题
典例1已知关于X的函数f（x）=（1~/）V~-（/eR）的定义域为D,若存在区间［“,b］cD使得/⑴的
-X
值域也是则当f变化时,b—a的最大值为.
2L
【答案】
3
—t"
【计Hr1fi先现察到因安/（-V）=——=1—/+—为丈乂炜内竺増凶数:
世仃：
心）=（1_W_厂=“
，得到/（x）==工,贝Ijx2-（l-z）x+r=0.
类型二非单调函数中保值问题
典例2若函数f（x）=-1A-4d3在区间［“"］上的最小值为2a,最大值为2b,求［仏b］・
22
【答案】［1,3］或「一2-JT7.0・
L4」
【解析】分如卜三种情形来讨论区间"切・
（1）当“＜比0时./（X）在区间［仏切上单调递增，所以f（a）=2a,f（b）=2b.
J
一'广+=2a,i13113
2T所以sb是方程一丄x2-加+竺二0的两个不同实根，而方程一丄”-"+竺=0的MH
1广丄13“2222
一_/r+—=2b.
22
异号，不可能.
（2）当a<013
+—=—>0.
232
山f（0）=2b9得b=—.
而a<09故f（b）#2a9所以f（a）=2ci>HP二”/七严二加.22
解方程，得“=-2-厲'•此时[a,b]J-2-/n,^.
L4」
（3）当Odvb时,f（x）在0,可上递减，于是f（a）=2b・f（b）=2a.
2T
即］ii；解方程组，得“=1，心3,此时［匕切=［1,3］・
-*/r+L=2
I27
综上所述，所求的区间［心］为［1,3］或「-2-JT7.0・
L4」
类型三单调函数中倍值问题
典例3对于函数y=/（x）,若存在区间［"］,当比［〃］时，/（Q的值域为［ka.kb］（k>0）,则称
y=/（x）为《倍值函数。
若f（x）=\nx+x是灯咅值函数’则实数R的取值范围是「・
【答案】",1+门
0丿
Ina+a=ka
【解析】观察到函数f（£）=lnx+x为增函数，那么\,则：
［/（/?
）=Inb+b-kb
\nx+x=kx在［“］上有两个互异正根,转化为k-\：
令g（x）=nX>得到g（x）=nx>Eg'（x）>0：
当0且-Ix=1时,
V~?
~
g（£）=0；当戈•>«时，g（x）>0（此处易错！
）：
画出图像：
则有：
Ov—C，即“严片
类型四非单调函数中倍值问题
典例4.已知函数/⑴=）-丄，若存在实数a,b（aHOjneR）,则实数m的取值范鬧为
【答案］'oA*
1idr丄21
【解析】/（x）=l—才=[,/H>0,0<6/L-l,O17（。
）=
（1）a,be（0,1）<=>a=b.舍去'
Lj（b）=mb
\f（a）=ma
（2）
n/.r-.v+l=0两个kF1的根，所以
a,be（l,+oo）,[/（/”=讪=>“,b为方程
ml^-bH>O.-.O
<4
丄>1
I2m
（3）ae（0,1）,b>1,/
（1）=0,ma>O/.O^[ma,mb],舍去
•实数加的取值范用为joA*I4>
十»d八—r♦-«>HAV-»V驻的匕
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•«—•*•*•vxafi弋・r««sar**•wa
1.若函数/（x）=m-7a-+3的左义域为［。
上］，值域为［“,"］,则m的取值范用是.
【答案】二）5—2
4
【解析】观察得到函数/⑴在区间s.b］为减函数，则有：
a=f（b）=m-Jb+3①
h=f（a）=m_Jci+3②
由①②得到：
m=a+Jb+3=b+Ja+3③：
a_b=Ja+3-Jb+3④:
2〃】=a+/?
+Ja+3+Jb+3⑤:
令『=Jci+3,s=Jb+3,仃a=/'-3〃=F-3:
代入④得到r-r=/-5.即『+$=1,其中0
那么代入⑤得到2m=/2+52-6+/+5=r+r-5
=（1-5）2+52-5=2.y2-2.?
-4
=2（s-2）2-L
22
由OG<$S1可知1<5<1,利用二次函数图象可知-9_<2m<-4,
22
1!
|•-］4
2.对于区间［ab］,若函数/（x）R时满足下列两个条件：
①函数/（对在［d,b］上是单调函数：
②函数/（力
当定义域为⑺上］时,值域也为⑺上］»则称区间［a,方］为函数f（x）的“保值区间”.
（1）写出函数y=x2的保值区间；
（2）函数y=x2+m（m^O）是否存在保值区间？
若存在，求出相应的实数加的取值范風
若不存在，试说明理由.
［答案】
（1）［0,1］
（2）”』-1,
_'4丿I‘4丿
【解析】解：
⑴[0,1]
⑵由题易得：
[a,b]匸（-8,0],或者[«,/?
]c[0,+co）
（i）当[d,b]u[0,+8）时，此时丫⑷则可将0“视为方^.x2-x+m=0的两个非负实数根，则
[fW=b
「1一4加>0
（1）
<1=>〃疋|0,—:
[m>0I4丿
f/（Z>）=tz[b1+m=a
（ii）时，\=><；=>d+b=_l
[f（a）=b[a2+m=b
—〃7=Z?
~+/?
+1
<,=>可将问题转化为方程-m=^+x+\冇两个非负实数解
一〃？
=（r+a+1
数形结合可得mw「-1-f,综上：
“e「-1「3'u〔0I'
八丿m
3.已知函数f（x）=^+ax+b的图像关于坐标原点对称，且与x轴相切.
（1）求实数a.b的值：
（2）是否存在实数m使函数g（x）=3—|/3|在区间[加川]上的值域仍为[加丿]?
若存在，求出加，"的值：
若不存在，说明理由.
【答案】
（1）a=b=0
（2）不存在
【解析】
（1）/（0）=b=0,广©）=3$'+"=0,/（^）=不'+%+b=0:
.x=a=0.
3-x^,x>0〔g（加）=加
（2）gM=、时s，加J为方程=x两根，而方程3+x3=x仅有
[3+x,x<0〔gS）=〃
fe（/?
Z）=72oo0
•根，听以舍去：
：
Ii0nf+n+nm=1=>0/
<1二>3—nf>2>n,舍去:
〔gS）=ifJ
tn<0//=3=>g（3）=—24=>m<—24,3+mHm,舍去，因此不存在.
4.若函数>-=/（x）（xeD）同时满足下列条件：
①/（Q为D上单调函数；②存在区间[a,b]^D，使
/（x）在[么切上的值域为0,b]：
则>-=/（x）nq做闭函数.若函数y=k+47+2是闭函数，求实数k的取值范围是.
9
【答案】（一一，一2]
【解析】首先，观察到函数y=k+47^2为匸Z域内单调丸•:
则有:
/（a）=Ju+2+«=a
<<=>/（a）=yjx+2+k=x在
f（b）=Jb+2+k=h
[4b]内有两个互异实根.
亦即：
方程>/x+2=x-k在宓对内有两个互异实根<=>yi=>/x+2»jy2=x-k的图像有两个不同的交99
小；下画出图像:
得到M线的纵截丽Tle［2,丄时，;从而得到ke（r_,一2］・
44
5.数y=f（x）的立义域为£>,若满足：
①/（X）为D上单调函数；②存在区间［a.b］QD,使/“）在
［“刃上的值域为［-»-“］：
则y=/（A）叫做对称函数.现有y=yll^c-k是对称函数，那么实数R的取
值范围是.
9
【答案】［2,亠
4
【解析】首先，:
、'=二一k为处心:
则仃:
f（a）=（2一u—k=-Q
—k=在［。
力］内有两个互异实根.
f（h）=y/2^b^k=-b
」卩：
方丹丁口=-x+R任S，切内有两个互异实根'jy2=-x+k的图像有两个不9
同的交讥；数形结合得到当直线的纵截距ke［2J时，满足题意・
4
6.
若函数/（X）=J7二1+〃7任区间［匕可上的值域为
怜则实数加的取值范围为
1
【答案】（0,4
2
+m=-
2
【解析】件先•观察到凶数/（j）=VT-T加为启义域内单调增函数：
则冇:
of（v）=V^T+加='a［h+s）上有两个不同的根:
X
再转化为・y=y/x-l和『=一一加有两个交点，利用图像:
2
忤先，加』时，过（1,0）点与曲线有两个交点：
其次.切的临界情况，可利用平方后二次函数的△=（）得到m=0；（避免求导）•则得到me（0J;
2
3
（1）求/1（a）:
（2）是否存在实数屈刀冋时满足下列条件：
®^3；②当加“）的定义域为［刀方时，值域为［丘屈？
若存
3
（1<«<3）
（2）不右"
3
（a>3）
【解析】解：
⑴•••血［一1,1］,・・・e|lsj
33
设f=则恥=f—2m+3=（/—a）2+3-"
i33i
当av时，y=h（ci）=（/>_282a
min
讨5心3时，>min=^）=^）=3-，2：
%>3时,ymin=h（a）=旅3）=12-6a.
f28_2a（a<\
933
/.h（a）=j3-a2（l3
12-6d（a>3）
»
（2）9：
m>n>3.:
.h（a）=\2-6a在（3,+oc）上是减函数.
Vh（a）的定义域为[n月：
值域为S,剧,
[12-6/H=/r,
可彳】6（/r?
一n）=（m一n）（m+n）.12-6/j=w\
jn>n>3,•••硏用6,但这fJm>n>3''矛盾.
•••满足题意的加n不存在.
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