测量学第六章----测量误差及数据处理的基本.ppt

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第6章测量误差及数据处理的基本知识第6章测量误差及数据处理的基本知识61概述611测量与观测值通过一定的仪器和方法在一定的环境下游操作人员对某量进行量测，称为观测观测，获得的数据称为观测值观测值。

612观测与观测值的分类1同精度观测和不同精度观测构成测量工作的要素包括观测者、测量仪器和外界条件，通常将这些测量工作的要素统称为观测条件观测条件。

在相同的观测条件下，即用同一精度等级的仪器、设备，用相同的方法和在相同的外界条件下，由具有大致相同技术水平的人所进行的观测称为同精度观测同精度观测，其观测值称为同精度观测值同精度观测值或等精度观测值等精度观测值。

反之，则称为不同精度观测不同精度观测，其观测值称为不同不同（不等不等）精精度观测值度观测值。

2直接观测和间接观测直接观测和间接观测为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是所求未知量本身称为直接观测直接观测，观测值称为直接观测值直接观测值。

通过被观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为间接观测间接观测，观测值称为间接观测值间接观测值。

3独立观测和非独立观测独立观测和非独立观测各观测量之间无任何依存关系，是相互独立的观测，称为独立观测独立观测，观测值称为独立观测值。

独立观测值。

若各观测量之间存在一定的几何或物理条件的约束，则称为非独立观测非独立观测，观测值称为非独立观测值非独立观测值。

613测量误差及其来源测量误差及其来源1测量误差的定义测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实值简称真值真值。

对该量进行观测得到观测值。

观测值与真值之差，称为真误差真误差即真误差观测值-真值2测量误差的反映“必要观测必要观测”：

为确定某一个被观测量或几何形体所需要的最少的观测。

“多余观测多余观测”：

在确定某一个被观测量或几何形体所进行的观测过程中超过必要观测的观测。

SabcAPBhAPhPB“多余观测”导致的差异事实上就是测量误差。

测量误差正是通过“多余观测”产生的差异反映出来的。

3测量误差的来源测量仪器观测者外界环境62测量误差的种类系统误差系统误差、偶然误差偶然误差和粗差粗差。

系统误差：

系统误差：

在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中数值大小和正负符号固定不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。

观测条件观测条件：

测量仪器、观测者和外界环境统称为观测条件。

一个观测工作的观测条件是决定观测精度的决定因素。

系统误差的特点：

具有累积性。

准确度准确度：

是指观测值对真值的偏离程度或接近程度。

系统误差的存在必将给观测成果带来系统的偏差，观测结果的准确度受到不良影响。

消除或减弱系统误差的方法：

（1）测定系统误差的大小，对观测值加以改正

（2）采用对称观测的方法（3）检校仪器偶然误差在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，单个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固定，表现出偶然性这种误差称为偶然误差又称为随机误差。

偶然误差反映了观测结果的精密度。

精密度是指在同一观测条件下，用同一观测方法对某量多次观测时，各观测值之间相互的密集或离散程度密集或离散程度。

粗差粗差也称错误，是由于观测者使用仪器不正确或疏忽大意，如测错、读错、听错、算错等造成的错误，或因外界条件发生意外的显著变动引起的差错。

在观测过程中，系统误差和偶然误差往往是同时存在的。

当观测值中有显著的系统误差时，偶然误差就居于次要地位，观测误差呈现出系统的性质系统的性质；反之，呈现出偶然的性质偶然的性质。

处理测量误差的基本方法：

1、寻找、判断和排除系统误差，或将其控制在允许的范围内2、根据偶然误差的特性对该组观测值进行数学处理，求出最接近未知量真值的估值，称为最或是值最或是值或平差值平差值3、评定观测结果质量的优劣，即评定精度评定精度。

第2、3项工作在测量上称为测量平差测量平差，简称平差平差。

63偶然误差的特性及其概率密度函数偶然误差单个出现时不具有规律性，但在相同条件下重复观测某一量时，所出现的大量的偶然误差却具一定的规律性。

例如，在相同条件下对某一个平面三角形的三个内角重复观测了358次按下式算得三角形各次观测的误差（称三角形闭合差）：

i=ai+bi+ci-180式中：

ai、bi、ci为三角形三个内角的各次观测值取误差区间d（间隔）为0.2，将误差按数值大小及符号进行排列相对个数=k/n统计特性：

在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度，即偶然误差是有界的；绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会大；绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，在相同条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零，即图中所有矩形面积的总和等于图中所有矩形面积的总和等于11，而每个长方条的面积等于而每个长方条的面积等于k/0.2n0k/0.2n022k/nk/n，即为偶然误差出现在该区间内的频即为偶然误差出现在该区间内的频率。

率。

若使观测次数若使观测次数n，并将并将区间区间d分得无限小分得无限小，此时此时各组内的频率趋于稳定而各组内的频率趋于稳定而成为概率直方图顶端连成为概率直方图顶端连续格变成一个光滑的对称续格变成一个光滑的对称曲线曲线该曲线称为高斯偶然误差分布曲线。

在概率论中，称为正态分布曲线正态分布曲线。

在一定的观测条件下，对应着一个确定的误差分布。

曲线的纵坐标y=概率/间距，它是偶然误差的函数，记为f（）。

f（i）d是偶然误差出现在微小区间（i+d/2,i+-d/2）内的概率，记为p（i）=f（i）d称为概率元素。

f（i）越大，表示偶然误差出现在该区间内的概率也越大，受之则越小。

称f（i）为偶然误差的概率密度函数，简称密度函数，其公式为:

h=ecc为积分常数hf（）=e-h22偶然误差不能用计算来改正或用一定的观测方法简单地加以消除，只能根据其特性来合理地处理观测数据以提高观测成果的质量。

6.4衡量观测值精度的指标在测量中，用精确度精确度来评价观测成果的优劣。

精确度是准确度与精密度的总称。

准确度主要取决于系统误差的大小精密度主要取决于偶然误差的分布。

对基本排除系统误差，而以偶然误差为主的一组观测值用精密度来评价该组观测值质量的优劣。

精密度简称精度。

衡量精度的指标：

能反映出误差分布的密集或离散的程度的指标。

641精度指数偶然误差概率密度函数:

hf（）=e-h22当o时,函数取得最大值h/。

h值的大小不同，函数的最大值（曲线峰顶在纵坐标轴上的位置）也不同。

分布曲线的陡缓程度也就不同。

h值越大，曲线两侧坡度越陡，表示偶然误差分布较为密集，说明小误差出现的概率较大，观测结果的精度较高；反之，h值越小，曲线两侧越缓表示偶然误差的分布较为离散，说明小误差出现的概率较小，观测结果的精度较低。

因此称h称为观测值的精度指数。

根据这样的基本原理，还要设法通过h寻找出另一种计算方便的指标来衡量观测值的精度，这就是中误差中误差。

642中误差根据概率定理，各偶然误差在一组观测值中同时出现的概率等于各偶然误差概率的乘积，即我们认为，在一次观测中出现的某一组偶然误差应具有最大的出现概率，即其概率P最大。

令：

dP/dh=0得-2h22+n=0m=m称为中误差，表示各偶然误差的平方和。

nm=它表明了中误差m与精度指数h成反比，即中误差m愈大，精度指数愈小，表示该组观测值的精度愈低；反之，则精度愈高。

测量中用中误差代替精度指数作为衡量观测值精度的标准。

nm=中误差m的几何意义即为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标。

这也说明了用精度指数和中误差来衡量观测结果质量优劣的一致性。

643极限误差绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅为03，是小概率事件，故通常以三倍中误差作为偶然误差的极限误差的估值，即极=3m在实际测量工作中，以三倍中误差作为偶然误差的容许值，称为容许误差。

容许误差。

644相对误差相对误差是中误差与观测值之比是个无量纲数，在测量上通常将其分子化为1，即用K1/N的形式来表示。

如：

1/1000，1/5000等。

显然相对中误差愈小（分母越大）说明观测结果的精度愈高，反之愈低。

相对中误差的分子也可以是闭合差或容许误差，这时分别称为相对闭合差及相对容许误差。

中误差、极限（容许）误差等称为绝对误差。

65误差传播定律表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的定律称为误差传播定律误差传播定律。

设f为独立变量x1,x2，xn的函数即Z=f（x1,x2，xn）其中Z为不可直接观测的未知量真误差为Z，中误差为mZ,各独立变量xi（i1,2，n）为可直接观测的未知量，相应的观测值为li，相应的真误差为i，相应的中误差为mi即有xi=li-i当各观测值带有真误差i时函数随之带有真误差Z。

Z=f（x1+1,x2+2，xn+n）该式为观测值中误差与其函数中误差的一般关系式，称中中误差传播公式。

误差传播公式。

例1：

在1:

500地形图上量得某两点间的距离d234.5mm，其中误差md0.2mm，求该两点间的地面水平距离D的值及其中误差mD解：

D500d5000.234=117.25mmD=500md=5000.0002m=0.1m例2：

设对某一个三角形观测了其中、两个角测角中误差分别为m3.5”，m6.2”，现按公式180-求得角，试求角的中误差m。

解：

m=m+m22=3.52+6.22=7.1”例3：

己知当水准仪距标尺75m时一次读数中误差m读2mm（包括照准误差，气泡置中误差及水准标尺刻划中误差），若以三倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测n站所得高差闭合差的容许误差。

解：

m=m读+m读22水准测量每一站高差，hai-bi（il，2，n）则每站高差中误差=m读2=2.8mm观测n站所得总高差h=h1+h2+hnmh=m站n=2.8n=现以三倍中误差为容许误差，则高差闭合差容许误差为容=32.8n=8n例4：

函数式yDsin，测得D=225.850.06m，1570030”20”，求y的中误差my。

解：

2222md=（Kcos）ml=Kcosml式中：

ml标尺视距间隔l的读数中误差。

因l下丝读数-上丝读数mlm读2m读12.1D10-6mlm读217.11D10-6mD=（Kcos）ml=KcosmlmD17.11D10-4相对中误差mD/D=0.001711/584再考虑到其他因素的影响，可以认为视距精度约1/300。

（2）测量高差的精度分析h=Klsin212Mh=Klcos2m/”Mh=Dm/”当D=100mMh=3cmMh极限=9cm6.6同精度直接观测平差6.6.1求最或是值设对某量进行了n次同精度观测，其真值为X，观测值为ll，l2，ln，相应的真误差为，l，2，n则l=llX2=l2-Xn=ln-X取和得：

=l-nX除以n得：

lnn=-X=L-Xlnn=-X=L-X式中L=（ll+l2+ln）/n=l/n，为算术平均值。

根据偶然误差第四个特性当n时，/n0,于是LX。

即当观测次数n无限多时，算术平均值就趋向于未知量的真值。

当观测次数有限时可以认为算术平均值是根据已有的观测数据所能求得的最接近真值的近似值称为最或是值或最或然值，用最或是值作为该未知量真值的估值。

每一个观测值与最或是值之差，称为最或是误差，用符号vi（il，2，n）来表示:

vili-L最或是值与每一个观测值的差值称为该观测值的改正数，与最或是误差绝对值相同，符号相反。

vili-L（il，2，n）v=l-nL=0即改正数总和为零。

可用作计算中的检核。

662评定精度1观测值中误差同精度观测值中误差的定义为nm=其中i=liXi=liX（il，2，n）最或是误差vili-L两式相减得：

i-viL-X=i=vi+取平方和得：

=uu+n2+2v因v=0故=vv+n2vvn-1m=该式为同精度观测中用观测值的改正数计算观测值中误差的公式，称为贝塞尔公式。

nm=2最或是值的中误差设对某量进行了n次同精度观测，观测值为ll，l2，ln，观测值中误差为m,最或是值为L，67不同精度直接观测平差671权的概念1权的定义能够比较不同精度观测值可靠程度的指标称为权。

设一组不同精度观测值为li相应的中误差为mi（i1，2，n），选定任一大于零的常数，定义权Pi为Pi/mi2称Pi为观测值li的权。

对一组已知中误差的观测值而言，选定一个值，就有一组对应的权。

P1:

P2:

.:

Pn/m12:

/m22:

/mn21/m12:

1/m22:

1/mn22权的性质权和中误差都是用来衡量观测值精度的指标，但中误差是绝对性数值，表示观测值的绝对精度；权是相对性数值，表示观测值的相对精度。

权与中误差平方成反比，中误差越小、权越大，表示观测值越可靠，精度越高。

权始终取正号。

由于权是一个相对性数值，对于单一观测值而言，权无意义。

权的大小随的不同而不同，但权之间的比例关系不变。

在同一个问题中只能选定一个值，不能同时选用几个不同的值，否则就破坏了权之间的比例关系。

67测量中常用的确权方法1同精度观测值的算术平均值的权设一次观测的中误差为m，n次同精度观测值的算术平均值的中误差:

M=m/n由权的定义设m2，则一次观测值的权为:

p=m2/m2=1算术平均值的权为:

PL=m2/M2=m2/（m2/n）=n由此可知，取一次观测值之权为1，则n次观测的算术平均值的权为n。

故权与观测次数成正比。

设一次观测值的中误差为m，其权为po，并设m，则Pom2/m2=1等于1的权称为单位权、而权等于1的中误差称为单位权中误差，一般用表示。

则相应的中误差的另一表达式可写为mi对于中误差为mi的观测值（或观测值的函数），其权Pi为Pi2/mi21Pi2权在水准测量中的应用设每一测站观测高差的精度相同，其中误差为m站，则不同测站数的水准路线观测高差的中误差为m站Ni（i1，2，n）Ni为各水准路线的测站数。

取c个测站的高差中误差为单位权中误差，即cm站，则各水准路线的权为Pi2/mi2c/Ni同理，可得Pic/Li式中：

Li各水准路线的长度。

当各测站观测高差为同精度时，各水准路线的权与测站数或路线长度成反比。

3权在距离丈量工作中的应用设单位长度（一公里）的丈量中误差为m，则长度为s公里的丈量中误差为msms取长度为c公里的丈量中误差为单位权中误差，即mc,则得距离丈量的权为Pi2/mi2c/s说明距离丈量的权与长度成反比。

在定权时，并不需要预先知道各观测值中误差的具体数值。

在确定了观测方法后权就可以预先确定。

这一点说明可以事先对最后观测结果的精度进行估算，在实际工作中具有很重要的意义。

673求不同精度观测值的最或是值加权算术平均值设对某量进行n次不同精度观测，观测值为观测值为ll，l2，ln，其相应的权为Pl，P2，Pn，测量上取加权平均值为该量的最或是值，即x=Plll+P2l2+PnlnPlPl+P2+PnP最或是误差：

vili-LPiviPili-PiLPvPl-PL=0Pv0上式可以用作计算中的检核。

674不同精度观测的精度评定L=Plll+P2l2+PnlnPlPl+P2+PnP=PlP2PnPPPll+l2+ln按中误差传播公式，最或是值L的中误差M2=（P12m12+P22m22+Pn2mn2）1P2式中m1,m2,.,mn为相应观测值的中误差。

若令单位权中误差等于第一个观测值l1的中误差，即ml，则各观测值的权为Pi2/mi2mi22/Pi1最或是值的中误差PlP2PnPPPM2=2+2+2M=P此式为不同精度观测值的最或是值中误差计算公式。

2单位权观测值中误差Pn=Pvvn-1=Pvv（n-1）PM=例：

在水准测量中，已知从三个已知高程点A、B、C出发，测量E点的三个高程观测值，Li为各水准路线的长度，求E点高程的最或是值及其中误差。

解：

EACBL1=4kmL2=2kmL3=2.5km取各水准路线长度Li的倒数乘以C为权，并令C1，0.2542.347+0.5042.320+0.4042.3320.025+0.50+0.40HE=42.330m=7.8mmPvvn-1M=P=7.3mmPic/Li68最小二乘法原理及其应用681最小二乘法原理设对某量进行n次不同精度的观测，其观测值为li，算术平均值为L；各观测值的中误差为mi；最或是误差vili-L（i1,2，,n），则最或是误差的概率p为v根据概率乘法定理，各最或是误差在同一观测列中同时出现的概率：

根据概率论中的最大似然原理最大似然原理，如果在一次观测中，某一组最或是误差出现了，则可以认为这组最或是误差的出现具有最大的概率。

若使上式取得最大的p值、则应使或对于同精度观测，因为：

p1=p2=pn=1,所以vv=最小pvv=最小说明如果以不同精度对未知量进行了多次观测。

未知量最或是值应使各观测值的最或是误差vi的平方与各自的权Pi的乘积之和Pvv为最小。

同精度观测依然，未知量最或是值应使vv为最小，称为最小二乘法原理最小二乘法原理。

令：

VT=（V1V2Vn）P=p1p2pn则可得最小二乘法原理的矩阵表达式：

VTPV=minVTV=min682最小二乘法原理的应用例：

测得某平面三角形的三个内角观测值为a463215”，b691845”，c640842”，其闭合差wa+b+c-180=-18”。

为了消除闭合差，求得各角的最或是值。

解：

va、vb、vc分别为观测a、b、c的改正数于是（va+a）+（vb+b）+（vc+c）-180=0va+vb+vc+a+b+c-180=0va+vb+vc+w=0令A=（111）,V=（vavbvc）T则：

AV+W=0P=P1000p2000p3根据最小二乘平差原理VTPV=min且：

AV+W=0-条件方程即，以AV+W=0为条件，以VTPV=min为目标函数所进行的平差计算称为条件平差法条件平差法。

组成拉格朗日方程VTPV-2K（AV+W）=minK称为拉格朗日常数对V求一阶导数得：

2VTP-2KA=0PV=ATKV=P-1ATK-改正数方程AP-1ATK+W=0-法方程（111）K-18=01113K-18=0K=6100010001100010001V=P-1ATK=6=111666