动态数学软件GeoGebra使用教程.docx

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动态数学软件GeoGebra使用教程

GeoGebra使用入门

数字式的坐标平面系统

GeoGebra使用入门

安装................................................3

基本概念.............................................5跨系统、跨平台........................................5使用者接口............................................5输出..................................................6重要的网络资源........................................7

基础操作................................................8

1-新点、交点、中心点.................................8

2-直线、线段、向量...................................10

3-垂直线、并行线、角平分线、切线、轨迹...............13

4-多边形、正多边形...................................20

5-圆形、扇形、圆弧...................................22

6-角、斜率...........................................26

7-对称、平移、旋转...................................28

8-数值滑杆、文字.....................................34

9-对象的属性设定.....................................37

进阶操作X例............................................38

1-直线方程式、函数...................................38

2-动态文字处理、代数式定义处理：

if语法的应用........39

3-参数曲面（Curve）....................................41

4-序列物件（Sequence）.................................42

5-自订工具列管理.....................................45

附录：

以代数式建立对象之指令速查表......................47

GeoGebra使用入门

安装

Windows接口下的安装

请先到GeoGebra的：

.GeoGebra.org/cms/

（若要阅读中文画面，请将下拉式选单切换到Chinese。

）

这画面中包含大部分的资源，如「Help」、「中文讨论区」等。

从「WebStart」

画面中进行安装，可以保证安装到目前最新的版本，而「下载」页面，则列出目前最稳定的版本。

本说明建议读者可以「WebStart」方式进行安装，点选「启用GeoGebra」这个连结，画面会导向到「WebStart」页面，步骤如下页：

GeoGebra使用入门

按下「GeoGebraWebStart」按钮后，因为GeoGebra是在「Java」环境下执

行的软件，若您的计算机没有安装「Java」环境，则画面会自动导向到「Java」安装网页，若您的计算机没有「Java」环境，且浏览器没有导向到「Java」安装网页，您可以自行输入网址：

java./zh_TW/，来进行在线安装，该上有详细的安装说明。

结束「Java」的安装后，若您是以「GeoGebraWebStart」按钮进行安装，则会自动进行GeoGebra的安装，若浏览器没有自动进行安装，则您可以考虑切换到

「下载」页面下载GeoGebra的各系统版本进行安装。

GeoGebra使用入门

基本概念

跨系统、跨平台

GeoGebra是一个在「Java」虚拟机器环境上执行的解析几何作图程序，可以说是一个数字式的平面直角坐标系统。

所以用GeoGebra做出来的动态图文件，可以轻易的在不同操作系统，如Windows、Linux、FreeBSD、Mac等不同的操作系统上执行。

或可以在不同执行平台，如MicrosoftIE、MozillaFirefox等不同的网际网络浏览器上，完整而无碍的执行。

使用者接口

GeoGebra使用入门

我们大概可以把GeoGebra这样的动态几何软件，想成一个「数字式的坐标平

面作图程序」。

这样的程序里，包含了两个主要区域，即代数区、几何区。

几何区负责显示对象，如点、线、角、函数图形、方程式图形、参数曲面图

形、轨迹、文字、布尔值等，可以让使用者以直觉的方式操作与体验。

代数区负责列出对象的数学式型态的定义，都是一般数学课本中所熟悉的描

述形式。

例如点是以「P＝（2,3）」、直线方程式以「L：

2x＋3y＝5」的形态将其显示。

对于每一个对象，可以用鼠标在几何区的「移动功能」下选取或代数区中直接选取，之后可以按鼠标右键点选出它的属性窗口，进行此对象各个属性的调整编辑，如名称、定义、样式、大小、装饰、显示条件、显示型式、在几何区的显示状态等，接口简单易懂，极易操作。

另外此区将对象分成「自变对象」、「应变对象」两类，例如直线可能就是两个点的应变对象。

而不管是自变对象或应变对象皆可以被归类于「辅助对象」，并可在菜单中设定是否在代数区中显示出来。

对象的建立方式，可以用直觉的几何方式或精确的代数定义方式来建立。

几何建立方式，为先选取上方功能按钮后，在窗口上方列右侧即会出现其使用方式说明，使用者依照其规X操作即可，所以原则就是先选功能，再依规则操作。

代数建立方式则为在下方输入列，直接以指令方式输入，例如建立一个点为「A=（3,2）」，其余对象的输入语法，可以查阅菜单中的「说明」，或先以几何方式建立后，在其属性窗口中，查阅其定义也可以，这是比较简易的方法。

对于已经制作完成的ggb档，也可以在播放按钮区调整每个对象播放的顺序。

输出

制作完成的档案，将以「.ggb」的扩展名储存，此外也可以用图档、网页等形态另外汇出。

或将ggb文件直接内嵌于动态网页中，并在网页浏览器中直接操作。

另外GeoGebra也支持LATEX数学式标示语言。

GeoGebra使用入门

基础操作

1.新点、交点、中心点

X例图

GeoGebra使用入门

各编辑区方法列表

方法

物件

几何建立

代数建立X例

新点

点选「新点」，再以鼠标点出位置。

A=（3,2）

交点

点选「交点」，再以鼠标点出两个对象后建立。

A=Intersect[a,b]直线a、b的交点。

中心点

点选「中心点」，再以鼠标点出两个点后建立，或点出一线段。

C=Midpoint[A,B]点A、B之中点。

C=Midpoint[s]线段s之中点。

辅助说明

以几何操作方式建立新点，仅需先选择工具按钮中的「新点」，然后直接在几何显示作图区中之适当位置按下鼠标左键，即完成新点建立。

若以代数式建立，则使用一般在平面坐标上点的表示法，键入A=（3,2）这样的指令，即完成一个名

为A且坐标为（3,2）的点。

以几何操作方式建立交点的方式比较多元，凡是两对象间有交点者，皆可以

在选择「交点」功能按钮后，连续点选出二个对象来完成操作。

而若以代数式建立，原则是以A=Intersect[对象1,对象2]，这样的指令来完成。

而其中的对象1、对象2，可以是直线、圆锥曲线、函数等对象。

而有些交点会出现二个，系统会分别以1、2在下标标示表示之，例如两个相割圆的交点有二个，则上述指令会产生两点A1、A2。

以几何操作方式建立中点，需先选择工具按钮中的「中心点」后，再点选两

点或一线段对象，即完成中心点建立。

代数式则以M=midpoint[点,点]或M=midpoint[线段s]这样的指令来建立。

GeoGebra使用入门

2.直线、线段、向量

X例图

GeoGebra使用入门

各编辑区方法列表

方法

物件

几何建立

代数建立X例

（建立时最好包含自订对象名称）

直线

点选「直线」，以鼠标点出两点后建立。

L=line[A,B]

线段

点选「线段」，以鼠标点出两点后建立，或点出起点，再指定长度。

a=segment[A,B]

射线

点选「射线」，以鼠标点出两点。

b=Ray[A,B]

起点A通过B点的射线。

c=Ray[A,v]

起点A且方向为v向量方向射线。

向量

点选「向量」，以鼠标点出已知两点，或一点及一向量。

u=Vector[E,F]

从点E到点F的向量。

a=Vector[A]

点A的位置向量（原点到A点的向量）

辅助说明

以几何操作方式建立直线，仅需先选择工具按钮中的「直线（过两点）」按钮，然后直接在几何显示作图区中之两个适当位置，分别按下鼠标左键，即完成二个新点及过此二点之直线。

或可以鼠标选取二个已知点后，建立通过此二点之直线。

而若以代数式建立，则键入L=Line[点对象1,点对象2]这样的指令，即完成一个名为L且通过此二点对象之直线。

GeoGebra使用入门

以几何操作方式建立线段，需先选择工具按钮中的「线段（过两点）」按钮，

其余程序与直线之建立大致相同，差别只是结果显示为一个以两个点对象为端点之线段。

以几何操作方式建立射线，需先选择工具按钮中的「射线（过两点）」按钮，其余与直线之建立大致相同，差别只是结果显示为一个以点对象1为起点，指向点对象2之射线。

或者可以选择一个点对象与一个向量对象，建立出射线对象。

以几何操作方式建立向量，需先选择工具按钮中的「向量（过两点）」按钮，其余与直线之建立大致相同，差别只是结果显示为一个以点对象1为起点，指向

点物件2之向量。

或者可以只选择一个点对象来建立出该点对象之位置向量。

GeoGebra使用入门

3.垂直线、并行线、角平分线、切线、轨迹

垂直线、并行线～X例图

GeoGebra使用入门

各编辑区方法列表

方法

物件

几何建立

代数建立X例

（建立时最好包含自订对象名称）

垂直线

点选「垂直线」，以鼠标点出已知一点及一直线或是一向量后建立。

L=Perpendicular[C,a]

通过点C且垂直于a的直线。

L=Perpendicular[C,u]

通过点C且垂直于向量u的直线。

并行线

点选「并行线」，以鼠标点出已知一点及一已知直线后建立。

L=line[C,a]

通过C点且平行于a直线的直线。

辅助说明

以几何操作方式建立垂直线，需先选择工具按钮中的「垂直线」按钮，然后在几何显示作图区中，点选一直线及一点后，则建立通过此点且垂直于该直线之垂线。

或可点选一直线及一向量后，则建立通过此点且垂直于该向量之垂线。

而若以代数式建立，则键入L=Perpendicular[C,u]，C为点对象，u为直线对象向量对象，这样的指令，即完成一个名为L且通过C且垂直于u直线或向量对象之垂线。

以几何操作方式建立并行线，需先选择工具按钮中的「并行线」按钮，然后在几何显示作图区中，点选一直线及一点，建立通过此点且平行于该直线之平行线。

而若以代数式建立，则键入L=Line[点对象,直线对象]这样的指令，即完成一个名为L且通过此点且平行于该直线之并行线。

GeoGebra使用入门

中垂线、角平分线～X例图

各编辑区方法列表

方法

物件

几何建立

代数建立X例

（建立时最好包含自订对象名称）

中垂线

点选「中垂线」，以鼠标点出已知两点，或一已知线段。

L=LineBisector[A,B]线段AB的中垂线L=LineBisector[s]

s线段的中垂线

角平分线

点选「角平分线」，以鼠标点出已知三点，或二直线。

注意在点的选取顺序，是以有向角的观念，以逆时针方向顺序选取之。

L=AngularBisector[A,B,C]

以B为顶点的角ABC的角平分线L=AngularBisector[g,h]

直线g和h的角平分线

GeoGebra使用入门

辅助说明

以几何操作方式建立中垂线，需先选择工具按钮中的「中垂线」按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出已知两点，或一已知线段后，则建立通过此二

点之线段之中垂线，或已知线段之中垂线。

而若以代数式建立，则键入L=LineBisector[点对象1,点对象2]或L=LineBisector[线段对象]这样的指令，即完成一个名为L且通过此二点或该线段之中垂线。

以几何操作方式建立角平分线，需先选择工具按钮中的「角平分线」按钮，

然后在几何显示作图区中，以鼠标点出已知三点，或二直线。

注意在点的选取顺序，是以有向角的观念，以逆时针方向顺序选取之后，则建立此三点所构成角之

角平分线，或二直线所构成角之角平分线。

而若以代数式建立，则键入L=AngularBisector[点对象1,点对象2,点对象3]这样的指令，即完成一个名为

L且通过以此三点所构成角且以点物件2为顶点之角平分线。

或键入

L=AngularBisector[直线1,直线2]这样的指令，即完成一个名为L且以二直线为边之角平分线。

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切线、轨迹～X例图

各编辑区方法列表

方法

物件

几何建立

代数建立X例

（建立时最好包含自订对象名称）

切线

点选「切线」，以鼠标点出一点及一已知函数。

（函数做法见进阶操作X例，或参看右方代数式说明）

f（x）在点A时的切线

注意f为一函数，其中点A的x坐标值当然必须为f函数之定义域中的元素。

例如，可透过下列代数式建立一函数，及此函数上某一点之切线。

f（x）=3x^2+1

A=point[f]

GeoGebra使用入门

L=tangent[A,f]

轨迹

点选「轨迹」，以鼠标点出一已知点，及其相关点各一。

这个功能在表面上，就是点选两个点。

但是要注意的是这二个点的关系为何，可详参右方的代数式说明。

L_1=Locus[B,A]依据在某对象上之一点A所控制的点B的轨迹线。

注意B应定义为A的相关表达式，且A应为某对象上的一点。

例如，可透过下列一连串代数式，定义出在A所在对象上方3单位的轨迹图形。

f（x）=3x^2+1

A=point[f]B=A+（0,3）L_1=locus[B,A]

即可做出L_1为f向上平移3单位的

拋物线图形。

辅助说明

以几何操作方式建立切线，需先选择工具按钮中的「切线」按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出一点及一已知函数（函数做法见进阶操作X例，或参看以下说明）。

注意f为一函数，其中点A的x坐标值当然必须为f函数之定义域中的元素。

例如，可透过下列代数式建立一函数，及在其上某一点之切线：

f（x）=3x^2+1、A=point[f]、L=tangent[A,f]。

则建立出函数f在点A之切线L。

以几何操作方式建立轨迹，需先选择工具按钮中的「轨迹」按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出一已知点，及其相关点各一。

这个功能在表面上，就是点选两个点，但是要注意的是这二个点的关系为何。

在代数式中下指令L_1=Locus[B,A]，意指依据在某对象上之一点A所控制的点B的轨迹线。

注意B应定义为A的相关表达式，且A应为某对象上的一点。

例如，可透过下列一连串

GeoGebra使用入门

代数式，定义在A所在对象上方3单位的轨迹图形，f（x）=3x^2+1、A=point[f]、

B=A+（0,3）、L_1=locus[B,A]，可做出L_1为f向上平移3单位的拋物线图形（注：

像L_1这样的标记，底线后的第一个字符为下标）。

4.多边形、正多边形

GeoGebra使用入门

X例图

各编辑区方法列表

方法

物件

几何建立

代数建立X例

（建立时最好包含自订对象名称）

多边形

点选「多边形」，以鼠标点出若干点后建立。

Poly1=Polygon[A,B,C,...]由给定点A、B、C所围成的多边形

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正多边形

点选「正多边形」，以鼠标点出

两点及输入一数值n后建立。

Poly1=Polygon[A,B,n],n≧3

包括点A、B的正n边形，注意用此方法建立时，若n值本身又是由一滑杆，或其它对象控制之值，则各边及顶点是以动态出现的现象呈现。

辅助说明

以几何操作方式建立多边形，需先选择工具按钮中的「多边形」或「正多边形」按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出已知或实时新建的若干点，最后再点选回第一个点之后建立。

或点选「正多边形」，以鼠标点出已知两点及输入一数值n后建立。

注意此动作其实只是建立了此多边形之各顶点，然后顺便建立了依附在这些点上的边及整个多边形的物件。

5.圆形、扇形、圆弧

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圆形～X例图

各编辑区方法列表

方法

物件

几何建立

代数建立X例

（建立时最好包含自订对象名称）

圆

点选「圆（…）」，以鼠标点出已知二点、或已知一点及输入一数值为半径、或点出已知三点后建立。

c=Circle[M,r]

圆心M且半径为r的圆。

c=Circle[M,s]

圆心M且半径为s的长度的圆，其中

s为一已知线段。

c=Circle[M,A]

圆心M通过点A的圆。

c=Circle[A,B,C]通过三点A、B、C的圆。

GeoGebra使用入门

辅助说明

以几何操作方式建立圆，需先选择工具按钮中的「圆（…）」按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出已知二点或实时新建的二点，或是点出已知三点及或实时新建的三点，或是点出已知一点及输入一数值为半径，皆可建立一圆。

相关的代数式为输入c=Circle[M,r]，则可建立圆心M且半径为r的圆，其中r为一已知数值。

c=Circle[M,s]，可建立圆心M且半径为s的长度的圆，其中s为一已知线段。

c=Circle[M,A]，可建立圆心M且通过点A的圆。

c=Circle[A,B,C]，则是可建立通过三点A、B、C的圆。

扇形、圆弧～X例图

GeoGebra使用入门

各编辑区方法列表

扇形

点选「扇形（…）」，以鼠标点出三点（第一点为圆心）后建立，或任意三点来建立一通过此三点的扇形。

c=CircularSector[M,A,B]

圆心为M，起点为A、终点为B的扇形，注意A、B两点点选的顺序，是采用逆时针方向的有向角观念。

弧

点选「圆弧（…）」，以鼠标点出三点（第一点为圆心）后建立，或任意三点来建立一通过此三点的弧。

c=CircularArc[M,A,B]

圆心为M，起点为A、终点为B的圆弧，注意A、B两点点选的顺序，是采用逆时针方向的有向角观念。

c=CircumcircularArc[A,B,C]依序通过A、B、C三点的圆弧。

辅助说明

以几何操作方式建立扇形，需先选择工具按钮中的「扇形（…）」按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出已知一点为圆心及圆上两个已知点或新建二点，又或者是直接点出任意三点，皆可以建立一扇形。

相关的代数式输入为c=CircularSector[M,A,B]，可建立圆心为M，起点为A，终点为B的扇形，注意A、B两点点选的顺序，是采用逆时针方向的有向角观念。

弧的建立与扇形的建立方式大致相同，唯需注意通过三点A、B、C的圆弧，三点的点选顺序，是采用逆时针方向的有向角观念。

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6.角、斜率

GeoGebra使用入门

X例图

各编辑区方法列表

方法

物件

几何建立

代数建立X例

（建立时最好包含自订对象名称）

角

点选「测量角度」，以鼠标点出已知三点后建立。

α=Angle[A,B,C]

以B为顶点，线段BA和线段BC为两边的夹角，注意A、C二点的点选顺序，是采用逆时针方向的有向角观念。

斜率

点选「斜率」，以鼠标点出已知直

m=slope[L]

GeoGebra使用入门

线后建立。

而斜率，其虽然为一数值，但在几何区中会以一小直角三角形呈现其意像。

已知直线L之斜率。

辅助说明

以几何操作方式建立角，需先选择工具按钮中的「测量角度」按钮，虽然其功能名为测量角度，但其为建立一角对象。

然后在几何显示作图区中，以鼠标点出已知一点或新建一点A为起始点，及一已知点或新建点B为顶点，再点出已知一点或新建一点C为末端点，则可建立一角对象。

注意通过A,B,C三点的角，三

点的点选顺序，是采用逆时针方向的有向角观念。