高中数学直线的点斜式方程教学设计学情分析教材分析课后反思.docx

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高中数学直线的点斜式方程教学设计学情分析教材分析课后反思

直线的方程——点斜式

1.教材分析

从研究直线方程开始，学生对“解析几何”的学习进入了实质性阶段，“直线与方程”关系的研究，是“曲线与方程”的关系研究的前奏和基础，所以本节课教学的效果直接决定了整个“解析几何”教学的效果.

刚刚接触“解析几何”的学生，幼稚懵懂的心理致使他们还不能理解“解析几何”的实质，而本节课则以比较浅显的问题开启了“解析几何”学习的先河，他们可渐渐地逐步深刻地认识到直线上的点与有序实数对之间的对应关系，进而可理解“两个独立条件确定一条直线”这个本质规律，从而自然地构建出本节课研究的内容.两种直线方程形式中的关键字“点、斜”与“斜、截”分别是“两个独立条件”的高度概括，是对直线方程特征的本质提炼.这些都是“解析几何”，乃至全部数学内容的精髓，引导学生深刻理解、熟练掌握这些，对于提高他们的数学素养大有裨益.

贯穿“解析几何”始终的一个重要问题就是由曲线求其方程和由方程研究曲线性质，而本节课则以简单问题为载体，揭示了解决这个问题的基本方法和步骤，为进一步解决后继的问题打下了坚实的基础.

“解析几何”中处处渗透了各种数学思想，特别是数形结合与等价转化思想，本节课则以生动的具体事例有效地促进学生树立、巩固和熟练应用这些数学思想.

教学是以发展学生的数学思维为重要目标，本节课则在优化数学思维的多种特征上有着独特的功能.

综上，本节课是高中数学教学中极为关键的内容，创设和实施优质的教学程序，在一定程度上影响着今后高中数学教学的成败.

2.教学目标

2.1知识与技能

（1）知道由一个点和斜率可以确定一条直线，探索并掌握直线的点斜式、斜截式方程；

（2）能根据条件熟练地求出直线的点斜式、斜截式方程，并能化为一般式.

2.2过程与方法

（1）让学生经历知识的构建过程，培养学生观察、探究能力；

（2）使学生进一步理解直线的方程与方程的直线之间的对应关系，渗透数形结合等数学思想.

2.3情感态度与价值观

（1）使学生进一步体会化归的思想，逐步培养他们分析问题、解决问题的能力；

（2）利用多媒体课件的精彩演示，增强图形美感，使学生享受数学美，增进数学学习的情趣.

3.教学重点与难点

教学重点：

直线的点斜式方程.

教学难点：

对直线的方程与方程的直线的对应关系的理解.

4.教学方法

（1）教师为主导，学生为主体，师生互动为主线.

（2）通过创设问题情境，引导学生观察、比较、转化、抽象来实现直线的点斜式教学，同时渗透数形结合等数学思想.

5.教学过程

5.1问题情境（了解数学）

问题1

问题2

（1）过已知点A（−1，3）的直线有多少条？

（无数条）

（2）斜率为−2的直线有多少条？

（无数条）

（3）过已知点A（−1，3），且斜率为−2的直线有多少条？

（一条）

问题3确定一条直线需要几个独立条件？

你能举例说明吗？

学生可能的回答：

（1）已知直线上的一点和直线的方向（斜率或倾斜角）；

（2）已知直线上的两个点

.

问题4若

（x1≠x2），则直线

的斜率为.

若x1=x2，则直线

的斜率.

5.2学生活动（体验数学）

探究：

若直线

经过点A（−1，3），斜率为−2，点P在直线

上运动，那么点P的坐标（x，y）应满足什么样条件?

当点P（x，y）在直线

上运动时，点P与定点A（−1，3）所确定的直线的斜率等于−2，故有

，

（1）

即y−3=−2[x−（−1）]，

（2）

即2x+y−1=0.（3）

问题5点A（-1，3）的坐标满足上述各方程吗？

答：

方程

（1）中x，丢掉了点A；

方程

（2）及（3）中x=，补上点A.

问题6直线

上任意一点的坐标与方程

（2）（或（3））的解有什么关系？

答：

当点P在直线

上运动时，其坐标（x，y）满足2x+y−1=0．反过来，以方程2x+y−1=0的解为坐标的点都在直线

上．

5.3数学理论（建构数学）

直线的点斜式方程:

一般地，设直线

经过点

，斜率为k，直线

上任意一点P的坐标为（x，y）.

当点P（x，y）在直线

上运动时，

的斜率恒等于k，即

，（

，除点

外）（丢掉了点P1）

即

，（

包括点

）（补上点P1）（比较重要的内容）

方程

叫做直线的点斜式方程.（“点”和“斜”是两个独立条件的浓缩概括，一个极为传神精准的命名）

说明：

（1）可以验证，直线

上的每个点（包括点

）的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线

上；

（2）当直线

与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示.但因为

上每一点的横坐标都等于

，所以它的方程是

．

当直线

与y轴垂直时，斜率为0，其方程能用点斜式表示.但因为

上每一点的纵坐标都等于

，所以它的方程是

，

实际上可写为y-y1=0（x-0）.

特别地，x轴、y轴所在的直线的方程分别为y=0和x=0.

问题7这两个方程是否是直线的点斜式方程？

（此问目的：

加深对直线的点斜式方程的理解）

5.4数学应用（巩固数学）

例1.

（1）经过点P（2，-3），且与x轴垂直的直线的方程为.

（2）经过点P（2，-3），且与y轴垂直的直线的方程为.

（3）已知直线经过点P（−2，3），斜率为2，求这条直线的方程．

解：

（3）由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为

y−3=2（x+2），即2x−y+7=0.

例2（课本P.71例2）已知直线

的斜率为k，与y轴的交点是P（0，b），求直线

的方程.

解：

由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为

y−b=k（x−0），

即y=kx+b.

5.5数学理论（建构数学）

直线的斜截式方程:

方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程.（“斜”和“截”又是两个独立条件的浓缩概括，又一个极为传神精准的命名）

问题8由直线的斜截式方程可以联想到我们学习过的哪类函数？

说明：

（1）直线的斜截式方程是直线点斜式方程的一种特殊情况，即给出了直线与y轴交点的纵坐标，从而给出了交点坐标（0，b）；

（2）直线的斜截式方程、点斜式方程适用范围：

直线的斜率存在；

（3）直线的斜截式方程y=kx+b与一次函数的表达式y=kx+b虽然有着相同的“面孔”，但有着本质的区别，前者的k可以为0，后者的k却不可为.即集合｛一次函数的y=kx+b的图象｝是集合｛斜截式方程y=kx+b表示的直线｝的真子集.

（4）直线的斜截式方程y=kx+b中的“b”及直线“在y轴上的截距”，也叫“纵截距”.名称中虽然有个“距”字，但这里的“b”却既可以为正、为负，也可以为0.但距离是恒为非负的，所以有“截距非距”之说.

（5）如何记忆这两类直线方程？

（“斜率公式→点斜式→斜截式”，理顺它们之间的逻辑关系，使学生形成自然的记忆）

5.6数学应用（巩固数学）

练习：

根据下列条件，分别写出直线的方程：

5.7合作探究（感悟数学）

探究1在同一平面直角坐标系中作出直线y=2，y=x+2，y=−x+2，

y=3x+2，y=−3x+2，…

这些方程表示的直线有什么共同特点？

你能用一个方程表示出它们来吗？

（为研究方程y=kx+2作铺垫）

推测：

当k取任意实数时，方程y=kx+2表示的直线都经过点（0，2），它们是一组共点直线.

问题9这组直线包括所有过点（0，2）的直线吗？

答：

不含过点（0，2）的直线x=0.

探究2在同一平面直角坐标系中作出直线y=2x，y=2x+1，y=2x−1，

y=2x+4，y=2x−4，…

这些方程表示的直线有什么共同特点？

你能用一个方程表示出它们来吗？

（为研究方程y=2x+b作铺垫）

推测：

当b取任意实数时，方程y=2x+b表示的直线彼此平行，它们是一组平行直线，它们斜率相等，纵截距不等.

5.8数学应用（巩固数学）

5.9回顾小结（再现数学）

（1）通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？

①直线的点斜率式方程——

；

②直线的斜截式方程——y=kx+b；

③直线斜截式方程y=kx+b是点斜式方程

的特殊情况；

④集合一次函数y=kx+b（k0）的图象是集合{斜截式方程y=kx+b表示的直线}的真子集；

⑤当过点

的直线，

与x轴垂直时，

斜率不存在，其方程是

；

与y轴垂直时，

斜率为0，其方程是

.

（2）本节课用到的数学思想有哪些？

（数形结合、分类讨论等）

（3）通过本节课的学习，你会解哪些类型的题目？

①由直线上一个点的坐标和直线的斜率求直线的方程；

②能判断方程y=k（x+m）+n所表示的直线（k∈R）恒过定点（-m,n）.

5.10课后作业（再巩固数学）

必做题：

习题3.2T1.

（1）

（2）（3）、T2、T9．

选做题：

习题3.2T7、T8.

思考题：

如果给出直线上不同的两点，我们如何求此直线的方程？

学生在学习本节内容时主要有以下两个困难：

1．本节课难点是点斜式方程和斜截式方程的理解，让学生逐步形成概念体系，体会其中的转化思想，这对于高一的学生来讲是比较困难的．

所以在设计教学时，首先通过一组几何画板让学生直观感知直线方程的具体形象，然后将其抽象为直线方程形式，再用数学语言对几何图形进行精确的描述，让学生在此过程中体会直线与方程的合理性．

2．如何在较短的时间内，让多数学生掌握点斜式方程和斜截式方程的简便方法，这需要一个较好的载体，同时完成对条件的确认．

所以，在教学过程中，通过几何画板，精心设置问题，引导学生归纳出直线与方程．并且引导学生通过操作，对方程的两个关键条件“定点”和“斜率”进行理解和确认．

3、在例题的讲解中，我选取的是例1、例2，给学生分析了证明的思路，有板书证明过程。

课后反思，作为本节课的第一课时，作为判定定理的初步应用，我最好能详细的板书证明过程，这样对学生起到良好的示范作用，规范证明的书写过程。

学生们通过动手探究的实践过程，也容易抽象出概括出直线的点斜式方程，但在操作确认的过程中，有一点是学生不容易想到的，也是学生难以理解的，就是关于两个关键条件：

“斜率”和“定点”的感知和确认.这里只能利用定义一条途径来说明，通过阶梯性的设问逐渐引导学生通过操作模型——旋转和平移，并在教学过程中恰当地使用现代信息技术--几何画板展示平面图形，为理解和掌握性质（包括证明）的教学提供形象的支持，提高学生的几何直观能力，从而加深对点斜式方程和斜截式方程的理解.

在例题教学中，面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，一方面能够加强对定义、公式的理解与应用能力，另一方面也能够调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。

根据以上分析，本节课采用启发探究式的教学方式．

在启发式教学过程中，以问题引导学生的思维活动．教学设计突出了对问题串的设计，教学中，结合学生的思维发展变化不断追问，使学生对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高．

尝试通过试验的方法进行解析几何的教学．本节课主要是通过直观感知、操作确认归纳出直线的点斜式方程．但借助什么去感知？

怎样操作才能归纳出结论？

确认到什么程度，才能不失数学的逻辑性和严谨性？

本节课立足教材，重视对具体实例的观察、分析，并且给学生提供动手操作的机会，引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论，把合情推理作为一个重要的推理方式融入到学生的学习过程中．

从研究直线方程开始，学生对“解析几何”的学习进入了实质性阶段，“直线与方程”关系的研究，是“曲线与方程”的关系研究的前奏和基础，所以本节课教学的效果直接决定了整个“解析几何”教学的效果.

刚刚接触“解析几何”的学生，幼稚懵懂的心理致使他们还不能理解“解析几何”的实质，而本节课则以比较浅显的问题开启了“解析几何”学习的先河，他们可渐渐地逐步深刻地认识到直线上的点与有序实数对之间的对应关系，进而可理解“两个独立条件确定一条直线”这个本质规律，从而自然地构建出本节课研究的内容.两种直线方程形式中的关键字“点、斜”与“斜、截”分别是“两个独立条件”的高度概括，是对直线方程特征的本质提炼.这些都是“解析几何”，乃至全部数学内容的精髓，引导学生深刻理解、熟练掌握这些，对于提高他们的数学素养大有裨益.

贯穿“解析几何”始终的一个重要问题就是由曲线求其方程和由方程研究曲线性质，而本节课则以简单问题为载体，揭示了解决这个问题的基本方法和步骤，为进一步解决后继的问题打下了坚实的基础.

“解析几何”中处处渗透了各种数学思想，特别是数形结合与等价转化思想，本节课则以生动的具体事例有效地促进学生树立、巩固和熟练应用这些数学思想.

教学是以发展学生的数学思维为重要目标，本节课则在优化数学思维的多种特征上有着独特的功能.

综上，本节课是高中数学教学中极为关键的内容，创设和实施优质的教学程序，在一定程度上影响着今后高中数学教学的成败.

第三章　3.2　3.2.1　

一、选择题

1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则（　　）

A．直线经过点（－1,2），斜率为－1

B．直线经过点（2，－1），斜率为－1

C．直线经过点（－1，－2），斜率为－1

D．直线经过点（－2，－1），斜率为1

[答案]　C

[解析]　直线方程y＋2＝－x－1可化为y－（－2）＝－[x－（－1）]，故直线经过点（－1，－2），斜率为－1.

2．经过点（－2,2），倾斜角是60°的直线方程是（　　）

A．y＋2＝

（x－2）B．y－2＝

（x＋2）

C．y－2＝

（x＋2）D．y＋2＝

（x－2）

[答案]　B

[解析]　k＝tan60°＝

，则点斜式方程为y－2＝

（x＋2）．

3．直线y－3＝－

（x＋4）的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有（　　）

A．k＝－

，b＝3B．k＝－

，b＝－2

C．k＝－

，b＝－3D．k＝－

，b＝－3

[答案]　C

[解析]　原方程可化为y＝－

x－3，故k＝－

，b＝－3.

4．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为（　　）

A．y＝

x＋4B．y＝2x＋4

C．y＝－2x＋4D．y＝－

x＋4

[答案]　D

5．已知两条直线y＝ax－2和y＝（2－a）x＋1互相平行，则a等于（　　）

A．2　　　B．1　　　

C．0　　　D．－1

[答案]　B

[解析]　根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是k1＝a，k2＝2－a.两直线平行，则有k1＝k2.

所以a＝2－a，解得a＝1.

6．直线y＝2x－6通过（　　）

A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限

[答案]　C

[解析]　y＝2x－6过点（3,0）、T（0，－6），因此直线过一、三、四象限，选C．

二、填空题

7．已知直线l1过点P（2,1）且与直线l2：

y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为_________.

[答案]　y－1＝－（x－2）

[解析]　设l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，

∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1.

又k2＝1，∴k1＝－1.

∴l1的点斜式方程为y－1＝－（x－2）．

8．已知点（1，－4）和（－1,0）是直线y＝kx＋b上的两点，则k＝_________，b＝_________.

[答案]　－2　－2

[解析]　由题意，得

解得k＝－2，b＝－2.

三、解答题

9．已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．

[解析]　由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2.

又∵l∥l1，∴l的斜率k＝k1＝－2.

由题意知l2在y轴上的截距为－2，

∴l在y轴上的截距b＝－2，

∴由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.

10．已知△ABC的三个顶点分别是A（－5,0），B（3，－3），C（0,2），试求BC边上的高所在直线的点斜式方程．

[分析]　BC边上的高与边BC垂直，由此求得BC边上的高所在直线的斜率，从而由点斜式得直线方程．

[解析]　设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，

∴kBCkAD＝－1.

∴

kAD＝－1，解得kAD＝

.

∴BC边上的高所在直线的点斜式方程是y－0＝

（x＋5）．

即y＝

x＋3.

能力提升

一、选择题

1．方程y－y0＝k（x－x0）（　　）

A．可以表示任何直线B．不能表示过原点的直线

C．不能表示与y轴垂直的直线D．不能表示与x轴垂直的直线

[答案]　D

[解析]　直线的点斜式方程不能表示没有斜率的直线，即不能表示与x轴垂直的直线．

2．直线l过点P（1,3），且与x、y轴正半轴所围成的三角形的面积等于6，则l的方程是（　　）

A．3x＋y－6＝0B．x＋3y－10＝0

C．3x－y＝0D．x－3y＋8＝0

[答案]　A

[解析]　设y＝kx＋b，由题意k＜0，b＞0，且

解得

3．方程y＝ax＋

表示的直线可能是（　　）

[答案]　B

[解析]　直线y＝ax＋

的斜率是a，在y轴上的截距是

.当a>0时，斜率a>0，在y轴上的截距是

>0，则直线y＝ax＋

过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a<0时，斜率a<0，在y轴上的截距是

<0，则直线y＝ax＋

过第二、三、四象限，仅有选项B符合．

4．下列四个结论：

①方程k＝

与方程y－2＝k（x＋1）可表示同一直线；

②直线l过点P（x1，y1），倾斜角为

，则其方程为x＝x1；

③直线l过点P（x1，y1），斜率为0，则其方程为y＝y1；

④所有直线都有点斜式和斜截式方程．

其中正确的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

[答案]　B

[解析]　①④不正确，②③正确，故选B．

二、填空题

5．直线x＋y＋1＝0上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转90°得直线l，则直线l的方程是_________.

[答案]　x－y－7＝0

[解析]　P（3，－4），l的倾斜角为135°－90°＝45°，k＝tan45°＝1，则其方程为y＋4＝x－3，即x－y－7＝0.

6．设直线l的倾斜角是直线y＝－

x＋1的斜率角为

，且与y轴的交点到x轴的距离是3，则直线l的方程是_________.

[答案]　y＝

x±3

[解析]　因为已知直线的倾斜角是120°，所以直线l的倾斜角是60°，又直线l在y轴上的截距b＝±3，所以直线l的方程为y＝

x±3.

三、解答题

7．已知直线y＝－

x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程．

（1）过点P（3，－4）；

（2）在x轴上截距为－2；

（3）在y轴上截距为3.

[解析]　直线y＝－

x＋5的斜率k＝tanα＝－

，∴α＝150°，

故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝

.

（1）过点P（3，－4），由点斜式方程得：

y＋4＝

（x－3），∴y＝

x－

－4.

（2）在x轴截距为－2，即直线l过点（－2,0），

由点斜式方程得：

y－0＝

（x＋2），∴y＝

x＋

.

（3）在y轴上截距为3，由斜截式方程得y＝

x＋3.

8．求与直线x＝

x＋

垂直，并且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线l的方程．

[解析]　由直线l与直线y＝

x＋

垂直，可设直线l的方程为y＝－

x＋b，

则直线l在x轴，y轴上的截距分别为x0＝

b，y0＝b.

又因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，

所以S＝

|x0||y0|＝24，

即

|

b||b|＝24，b2＝36，解得b＝6，或b＝－6.

故所求的直线方程为y＝－

x＋6，或y＝－

x－6.

今天，我上了一节汇报课——《直线的点斜式方程》，回顾自己的教学设计和教学过程，我对本节课进行了反思。

通过点斜式方程的学习，学生具备独立推导能力。

通过自主探究，体验方程的生成过程，提高了学生分析问题、解决问题的能力。

学生独立思考并在学案上完成，教师点评并表扬学生，教学过程中我留个学生充足的思考和交流时间，让学生开拓思路，培养逻辑思维能力。

本节课的思想方法：

1、分类讨论；2、数形结合思想；研究问题的思维方法：

1、逆向思维；2、特殊到一般，一般到特殊，再特殊到一般的化归思想。

并在教学过程中设置例题练习及易错题，学生在“易错题”中巩固知识内容。

在例题的讲解中，我选取的是例1、例2，给学生分析了证明的思路有板书证明过程。

课后反思，作为本节课的第一课时，我最好能详细的板书证明过程，这样对学生起到良好的示范作用，规范证明的书写过程。

当然，本节课的教学还是达到了预期目标，学生基本都能达到本节课的要求。

但在教学中，也存在着这样或那样的不足，比如课堂气氛不够活跃，师生互动不够好等方方面，这些都有待我在以后的教学中改正。

《直线方程》共3课时，本课是第1课时，本节课的内容包括直线的点斜式方程和斜截式方程两部分，均为概念性知识．本节内容以“定点和斜率”为主线展开，集中体现在：

“直线的点斜式方程”与“直线的斜截式方程”的理解转化。

其中核心内容为——“直线的点斜式方程”。

本节具有承上启下的作用，在已有“直线的倾斜角与斜率”的基础上，引出“直线的点斜式方程”，为学习“直线的两点式方程，截距式方程”做准备，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务．

本节课通过试验操作、推理论证等研究方法，学习定义及表达式，它是探究“直线方程”的基础.