第九章线性电路动态过程的时域分析.docx
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第九章线性电路动态过程的时域分析
第九章线性电路动态过程的时域分析
内容提要：
本童介绍线性电路的时域分析方法，包括一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应、阶跃响应、冲激响应的分析，二阶电路的动态过程分析和高阶电路的状态变量分析。
学习本童的重点在于对以上基本概念的理解和拿握。
9.1线性电路的动态过程及其经典分析
经过对第一章的学习，我们知道储能元件电容、电感的电压和电流的约束关系是微分关系，因此当电路中含有电容元件和电感元件时，描述该电路的方程将是微分方程。
储能元件又称为动态元件，这种含有储能元件的电路叫做动态电路。
对含有直流、交流电源的动态电路，若电路已经接通了相当长的时间，电路中各元件的工作状态己趋于稳定，则称电路达到了稳定状态，简称为稳态。
在直流电路中，电容相当于开路，电感相当于短路，电路方程简化为代数方程组。
在正弦电路中，我们利用相量的概念将问题归结为复数形式的代数方程组。
如果电路发生某些变动，例如电路参数的改变、电路结构的变动、电源的改变等，这些统称为换路，电路的原有状态就会被破坏，电路中的电容器可能出现充电与放电现象，电感线圈可能出现磁化与去磁现象。
储能元件上的电场或磁场能量所发生的变化一般都不可能瞬间完成，而必须经历一定的过程才能达到新的稳态。
这种介于两种稳态之间的变化过程叫做过渡过程，简称为瞬态或暂态。
电路的过渡过程的特性广泛地应用于通讯、计算机、自动控制等许多工程实际中。
同时，在电路的过渡过程中由于储能元件状态发生变化而使电路中可能会出现过电压、过电流等特殊现象，在设计电气设备时必须予以考虑，以确保其安全运行。
因此，研究动态电路的过渡过程具有十分重要的理论意义和现实意义。
电路的瞬态过程是一个时变过程，在分析动态电路的瞬态过程时，必须严格界定时间的概念。
通常我们将零时刻作为换路的计时起点，即r=o,相应的，用/=0-表示换路前的最终时刻，用/=0+表示换路后的最初时刻。
/=o_时刻的电路变量一般可由换路前的稳态电路确定。
本章的任务就是研究电路变量从/=o■时刻到/=o+刻时其量值所发生的变化，继而求出/>0后的变动规律。
电路发生换路后，电路变量从/=0■到/TS的整个时间段内的变化规律称为电路的动态响应。
如果电路中发生多次换路，可将第二次换路时刻计为F，将第三次换路时刻计为/=g，等等，依此类推。
分析动态电路过渡过程的方法之一是根据网络的KCL、KVL和元件的VCR建立描述电路的微分方程，对于线性时不变电路，建立的方程是以时间为自变量的线性常微分方程，求解此常微分方程，即可得到所求电路变量在过渡过程中的变化规律，这种方法
称为经典法。
因为它是在时间域中进行分析的，所以乂称为时域分析法。
现以图9.1所示电路为例说明时域分析法的求解过程。
图中开关S在f=0时刻闭合,换路前电路处于稳态，即电容电压为常数。
按图示电压电流参考方向，根据KVL列出回路的电压方程为
对线性时不变电路，上式是一个以电容电压叱为未知量的一阶线性非齐次常微分方程。
我们把用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。
方程（9-1）的通解叱等于该方程的任一特解叱“和与该方程相对应的齐次微分方程的通解叱力之和，即
llC=liCp+ltCh
式中特解“G的函数形式取决于电源通解"6的函数形式取决于电路参数。
式（9・1）所对应的齐次微分方程的特征方程为
RCp+l=O
由此求得方程的特征根1—治因此该齐次微分方程的通解为
llCh=Ae"
即电路换路后的电容电压为
lic=llCp+A0（9-2）
根据电路的激励及初始条件即可求得上式中的待定系数4,从而确定一阶电路的过渡过程的性态。
从以上示例可见，时域分析的方法就是数学中的一阶微分方程的经典求解方法，关键是如何利用我们所学过的电路知识确定初始条件、特解、特征根等。
9.2电路变量的初始值
用经典法求解常微分方程时，必须给定初始条件才能确定通解中的待定系数。
假设电路在f=0时换路，若描述电路动态过程的微分方程为〃阶，则其初始条件就是指所求电路变量（电压或电流）及其阶导数在/=0+时刻的值，这就是电路变量的初始值。
电路变量在/=o_时刻的值一般都是给定的，或者可由换路前的稳态电路求得，而在换路的瞬间即从/=o—至ij/=o+,有些变量是连续变化的，有些变量则会发生跃变。
对线性电容，在任意时刻f,它的电荷q、电压叱与电流L在关联参考方向下的关系为
Mc（0=叱00）+吉Jgic（&）dg
设『=0时刻换路，令/。
=0_,/=0+，则有
q（O+）=q（O_）+J：
«）昭（9-3a）
叱（。
+）=叱（0_）+右Jo_「（§）〃g（9-3b）
从上面二式可以看出，如果换路瞬间电容电流心⑴为有限值，则式中积分项将为零,于是有
q（O+）=q（O_）（9-4a）
叱（°+）=叱（°-）（9-4b）
这一结果说明，如果换路瞬间流经电容的电流为有限值，则电容上的电荷和电压在换路前后保持不变，即电容的电荷和电压在换路瞬间不发生跃变。
对线性电感可做类似的分析。
在任意时刻『，它的磁链鸭-电压“与电流g在关联参考方向下的关系为
哝）=%Vo）+J：
"Od§
衣）=加0）+£二化（勺胯
令/o=O_，/=。
+，则有
0厶（。
+）=血（0_）+J：
仏（◎昭（9-5a）
%（0+）=/L（0_）+土J：
吨）砖（9-5b）
从上面二式可以看出，如果换路瞬间电感电压耳⑴为有限值，则式中积分项将为零,于是有
0厶（°+）=0£（°-）（9-6a）
iL（0+）=iL（0_）（9-6b）
这一结果说明，如果换路瞬间电感电压为有限值，则电感中的磁链和电感电流在换路瞬间不发生跃变。
换路瞬间电容电压和电感电流不能跃变是因为储能元件上的能量一般不能跃变。
电容中储存的电场能量Wc=jcif~.电感中储存的磁场能量WL=^U[t如果叱和匚跃变，则意味着电容中的电场能量和电感中的磁场能量发生跃变，而能量的跃变乂意味着功率为无限大（"=船，在一般情况下这是不可能的。
只有某些特定的条件下，如含有C-E回路或L-J割集1的电路，心和匚才可能跃变。
叱-E回路是指由纯电容或由电容与电斥源构成的回路，L-J割集是指由纯电感或由电感与电流源构成的割集。
倚关割集的概念参见第I•二章。
由于电容电压叱和电感电流S换路后的初始值与它们换路前的储能状态密切相关，因此称叱（0+）和5（0+）为独立初始值，一般情况下，若换路后不出现C-E回路或L-J割集则二者的值可由（9-4）、（9-6）式求出。
而其它电压和电流（如电阻的电压或电流、电容电流、电感电压等）的初始值称为非独立初始值。
非独立初始值由独立初始值叱（。
+）和5（0+）结合电路中的电源并运用KCL、KVL等进一步确定。
例9・1在图9.2（a）所示的电路中，己知/?
=40Q,=/?
2=10Q,U$=50V,/=0时
开关闭合。
求叱（°+）、4（°+）、，（°+）、紅（°+）和0（°+）。
图9.2例9-1图
解换路前电路为稳定的直流电路，电容相当于开路，电感相当于短路，故有
换路后“C和B都不会跃变，所以
叱（°+）=叱（°-）=1°V
%（。
+）="（0一）=1A
根据替代定理，把电容用电压为叱（0+）的电压源等效代替，把电感用电流为b（0+）的电流源等效代替，得到20+时的等效电路如图9.2（b）所示，进而可求得
=叱（。
+）=1。
V
7（。
+）=i（P+）-"（0+）=_吉A
例9-2图9.3（a）所示的电路中己知R=10Q,R]=2G,匕=10V,C=0.5F,厶=3Hj=0时将开关打开。
求叱（。
+）、b（0+）、。
（。
+）、"£（。
+）、和刁^（。
+）°
解换路前电路为稳定的直流电路，电容相当于开路，电感相当于短路，故有
"c（0-）=0V
/£（0-）=-^-=1A
K
心（0_）=0
"厶（0_）=0
换路后“c和S都不会跃变。
画出『=。
+时的等效电路如图9.3（b）所示，注意：
零初始条件下的电容在换路瞬间相当于短路，零初始条件下的电感在换路瞬间相当于开路，这与直流稳态时恰好相反！
由此等效电路得
叱（0+）=叱（0_）=0V
/£（0+）=/L（°-）=1A
7（0_）=-。
（0十）=1A,由ic=C得^^（°+）=力‘）=2V/s
"]（。
+）=-尺15（。
+）=-2V,
而“厶=厶学，故字（0+）="八0+）=_?
A/s
dtdt+L3
从以上例题可以看出，非独立初始条件在换路瞬间一般都可能发生跃变，因此，不能把（9-4）、（9-6）的关系式随意应用于伦和匚以外的电压和电流初始值的计算中。
9.3—阶电路的零输入响应
激励在换路后的电路中任一元件、任一支路、任一回路等引起的电路变量的变化均称为电路的响应，而产生响应的源即激励只有两种，一种是外加电源，另一种则是储能元件的初始储能。
对于线性电路，动态响应是二者激励的叠加。
这一节我们研究电路在外施激励为零的条件下一阶电路的动态响应，此响应是由储能元件的初始储能激励的，称为零输入响应。
此过渡过程即为能量的释放过程。
9.3.1RC电路的零输入响应
在图9.4所示电路中，设开关闭合前电容己充电到叱="°,现以开关动作时刻作为
记时起点，令/=0,开关闭合后，B|h>0+时，根据KVL可得
~ltR+llC=°
将llR=Ri及i=_C警代入上式，有
RC令+叱=0
RCp+l=0
特征根为
p=~ic
故微分方程的通解为
t
uc=Aept=AeRC
换路瞬间电容电流为有限值，
所以叱（0+）=叱（o_）=s，以此代入上式，可得积分常数
A=“c（O+）=〃o
因此得到/no时电容电压的表达式为
tt
（9-8）
uc=mc（0+X“=U©eRC电阻上的电压电流分别为
t
llR=llc=UQe也
—C如厶川
dtR
uc、S和i随时间的变化曲线如图9・5所示。
图9.5［心、你和i随时间变化的曲线
从上述分析可见，RC电路的零输入响应叱、你、i都是按照同样的指数规律衰减的。
若记t=RC,uc可进一步表示为
“c=uc（p+）eT（9-9）
当R的单位为欧姆，C的单位为法拉时，厂的单位为秒，称：
■为电路的时间常数。
表9-1列出了电容电压在t=0,t=r,t=2r,…时刻的值。
表9・1
t
0
T
2T
3T
4r
5T
.••
00
"c⑴
U。
0.368“0
O・135〃o
0.05UQ
0.018（/0
0.0067"o
.••
0
在理论上要经过无限长时间叱才能衰减到零值，但换路后经过3厂〜5厂时间，响应己衰减到初始值的5%〜0.67%,—般在工程上即认为过渡过程结束。
从表9-1可见，时间常数r就是响应从初始值衰减到初值的36.8%所需的时间。
事实上，在过渡过程中从任意时刻开始算起，经过一个时间常数厂后响应都会衰减63・2%。
例如在t=tQ时，响应为
4
llC（fO）=^Oer
经过一个时间常数r,即在r=r0+r时，响应变化为
_空_!
o
uc（tQ+T）=UQe「=e~[.uqCr=0.368wc（r0）
即经过一个时间常数：
■后，响应衰减了63.
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