高考数学选择题之压轴题.docx

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高考数学选择题之压轴题

高考数学压轴选择题

_________班______号姓名_________________

一、2007年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况

1、（2007广东8）设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对（），在中有唯一确定的元素与之对应）．若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成立的是（）

A．B．

C．D．

2、（2008广东8）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（）

A．B．C．D．

3、（2009广东8）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是（）

A．在时刻，甲车在乙车前面B．时刻后，甲车在乙车后面

C．在时刻，两车的位置相同D．时刻后，乙车在甲车前面

4、（2010广东8）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。

每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。

在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。

如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（）

A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒

5、（2011广东）

6、（2012广东8）对任意两个非零的平面向量和，定义；若平面向量满足，与的夹角，且都在集合中，则（）

7、（2013广东8）设整数,集合.令集合

若和都在中,则下列选项正确的是（）

A.,B.,C.,D.,

三、高考数学压轴选择题的基本类型及策略

1、即时定义的新概念题

策略：

紧跟定义，恰当方法，合情推理，得出结论.

例1（2013年福建理10）设S，T，是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数满足：

对任意当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（）

A．

B．

C．D．

例2（2013年浙江理10）在空间中，过点作平面的垂线，垂足为，记。

设是两个不同的平面，对空间任意一点，,恒有，则

A．平面与平面垂直B.平面与平面所成的（锐）二面角为

C.平面与平面平行D.平面与平面所成的（锐）二面角为

例3（2013陕西理10.）设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有

（A）[－x]＝－[x]（B）[2x]＝2[x]

（C）[x＋y]≤[x]＋[y]（D）[x－y]≤[x]－[y]

2、创新性题

策略：

利用转化与划归思想.

例4（2013上海理18）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中

,则满足（）.

（A）（B）（C）（D）

例5（2013江西10）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线，之间//,与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC两边相交于Ｅ，Ｄ两点，设弧的长为，，若从平行移动到，则函数的图像大致是

3、知识交汇题

策略：

利用“交集”的思想.方法

例6（2013年上海春季理24）已知为平面内两定点，过该平面内动点作直线的垂线，垂足为.若，其中为常数，则动点的轨迹不可能是（）

（A）圆（B）椭圆（C）抛物线（D）双曲线

4、知识综合题

策略：

综合利用相关知识，理顺思路，步步为营.

例7（2013年天津理8）已知函数.设关于x的不等式的解集为A,若,则实数a的取值范围是（）

（A）（B）（C）（D）

例8（2013年全国1理12.设的三边长分别为，的面积为，，若，，则（）

A.{Sn}为递减数列B.{Sn}为递增数列

C.{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D.{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列

例9（2013年湖南理8）在等腰直角三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）.若光线经过的重心，则等于（）

A．B．C．D．

例10（2013年安徽理10）若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是（）

（A）3（B）4（C）5（D）6

1.已知的三个顶点在抛物线：

上，为抛物线的焦点，点为的中点，；

（1）若，求点的坐标；

（2）求面积的最大值.

2.已知函数，.已知函数有两个零点，且.

（Ⅰ）求的取值范围；学科网

（Ⅱ）证明随着的减小而增大；

（Ⅲ）证明随着的减小而增大.

3.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

已知数列满足.

（1）若，求的取值范围；

（2）若是公比为等比数列，，zxxk求的取值范围；

（3）若成等差数列，且，学科网求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.

4.在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.

（Ｉ）求椭圆的方程；

（II）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）.点D在椭圆C上，且，直线BD与轴、轴分别交于M，N两点.

（i）设直线BD，AM的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；

（ii）求面积的最大值.

5.（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲

若且

（）求的最小值；

（）是否存在，使得？

并说明理由.

6.设函数，，记的解集为M，的解集为N.

（Ⅰ）求M；

（Ⅱ）当时，证明：

.

7.将连续正整数从小到大排列构成一个数学科网，为这个数的位数（如时，此数为，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率.

（1）求；

（2）当时，求的表达式；

（3）令为这个数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值.

8.选修4-5：

不等式选讲

设函数

（1）证明：

；

（2）若，求的取值范围.

9.已知常数

（1）讨论在区间上的单调性；

（2）若存在学科网两个极值点且求的zxxk取值范围．

10.函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）.

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若函数f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.

一、圆锥曲线中的定值问题

★★椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，a＋b＝3．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值．

★★如图，椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）经过点P（1，），离心率e＝，直线l的方程为x＝4．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：

是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？

若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

★★椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；

（Ⅲ）在

（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明＋为定值，并求出这个定值．

★★★如图，已知双曲线C：

－y2＝1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：

－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N．证明：

当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．

二、圆锥曲线中的最值问题

★★在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．

（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；

（ii）求△OMN面积的最大值．

★★已知抛物线C：

y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，

（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？

若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

★★★如图，O为坐标原点，椭圆C1：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：

－＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1．

（Ⅰ）求C1、C2的方程；

（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．

★★★如图，点P（0，－1）是椭圆C1：

＋＝1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：

x2＋y2＝4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．

（Ⅰ）求椭圆C1的方程；

（Ⅱ）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．

★★★在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：

x2＝2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若点M的横坐标为，直线l：

y＝kx＋与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，|AB|2＋|DE|2的最小值．

三、圆锥曲线与过定点（定直线）问题

★★设椭圆E：

＋＝1的焦点在x轴上．

（Ⅰ）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：

当a变化时，点P在某定直线上．

四、圆锥曲线与求参数

★★在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设＝t，求实数t的值．

★★★已知三点O（0，0），A（－2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|＋|＝·（+）＋2．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）动点Q（x0，y0）（－2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：

是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？

若存在，求t的值．若不存在，说明理由．

五、存在性问题

★★如图，已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）过点（1，