名师精品高中数学北师大版选修23同步导学案112 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用.docx

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名师精品高中数学北师大版选修23同步导学案112分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用

第2课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用

1．掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．（重点）

2．会应用两个计数原理解决简单的实际问题．（难点）

[基础·初探]

教材整理　分类加法计数原理与分步乘法计数

原理的联系与区别

阅读教材P3“例1”和P4“例2”部分，完成下列问题．

两个计数原理的联系与区别：

原理

分类加法计数原理

分步乘法计数原理

相同点

把一个原始事件________事件来完成

不同点

与分类有关

与分步有关

每类方法都能______这件事，它们是相互______的，且每一次得到的都是最后结果，只需______方法就可以完成这件事

每一步得到的只是______结果，任何一步都不可能________这件事，缺少______都不可能完成这件事，只有__________都完成了，才能完成这件事

各类方法之间是互斥的，并列的，独立的

各步之间是有关联的，不独立的

【答案】　分解成若干个　完成　独立　一种　中间　独立地完成　任何一步　各个步骤

1．由1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数为________．

【解析】　由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为4×3×2＝24.

【答案】　24

2．（a1＋a2＋a3）（b1＋b2＋b3）（c1＋c2＋c3＋c4）展开后共有________项．

【解析】　该展开式中每一项的因式分别来自a1＋a2＋a3，b1＋b2＋b3，c1＋c2＋c3＋c4中的各一项．由a1，a2，a3中取一项共3种取法，从b1，b2，b3中取一项有3种不同取法，从c1，c2，c3，c4中任取一项共4种不同的取法．由分步乘法计数原理知，该展开式共3×3×4＝36（项）．

【答案】　36

3．5名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为________．

【解析】　根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有3×2×1＝6种情况，由分步乘法计数原理，可得共有1×3×6＝18种分工方案．

【答案】　18

4．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数有________个．

【解析】　分三步完成，第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上，有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故有3×3×2＝18个不同的四位数．

【答案】　18

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

[小组合作型]

抽取（分配）问题

（1）高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（　　）

A．16种　　　B．18种　　　

C．37种　　　D．48种

（2）甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有________．

【精彩点拨】　

（1）由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接法求解．

（2）先让一人去抽，然后再让被抽到贺卡所写人去抽．

【自主解答】　

（1）高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案．则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37（种）．故选C.

（2）不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共3种取法，余下来的人，都只有1种选择，所以不同取法共有3×3×1×1＝9（种）．

【答案】　

（1）C　

（2）9

求解抽取（分配）问题的方法

1．当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．

2．当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：

①直接法：

直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：

去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．

[再练一题]

1．3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？

【解】　法一　（以小球为研究对象）分三步来完成：

第一步：

放第一个小球有5种选择；

第二步：

放第二个小球有4种选择；

第三步：

放第三个小球有3种选择．

根据分步乘法计数原理得：

共有方法数N＝5×4×3＝60.

法二　（以盒子为研究对象）盒子标上序号1,2,3,4,5，分成以下10类：

第一类：

空盒子标号为（1,2），选法有3×2×1＝6（种）；

第二类：

空盒子标号为（1,3），选法有3×2×1＝6（种）；

第三类：

空盒子标号为（1,4），选法有3×2×1＝6（种）；

分类还有以下几种情况：

空盒子标号分别为（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共10类，每一类都有6种方法．

根据分类加法计数原理得，共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60（种）．

组数问题

　用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的

（1）银行存折的四位密码．

（2）四位整数．

【精彩点拨】　

（1）用分步乘法计数原理求解

（1）问；

（2）0不能作首位，优先排首位，用分步乘法计数原理求解．

【自主解答】　

（1）分步解决．

第一步：

选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法；

第二步：

选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；

第三步：

选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法；

第四步：

选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法．

由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有

6×5×4×3＝360（个）．

（2）分步解决．

第一步：

首位数字有5种选取方法；

第二步：

百位数字有5种选取方法；

第三步：

十位数字有4种选取方法；

第四步：

个位数字有3种选取方法．

由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有

5×5×4×3＝300（个）．

1．对于组数问题，一般按特殊位置（一般是末位和首位）由谁占领分类，分类中再按特殊位置（或者特殊元素）优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．

2．解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．

[再练一题]

2．由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个：

（1）无重复数字的三位数？

（2）可以有重复数字的三位数？

【解】　

（1）0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18（个）．

（2）百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择．

由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48（个）．

[探究共研型]

涂色问题

探究1　用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？

A

B

C

D

图114

【提示】　涂A区有3种涂法，B，C，D区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理将A，B，C，D四个区域涂色共有3×2×2×2＝24（种）不同方案．

探究2　在探究1中，若恰好用3种不同颜色涂A，B，C，D四个区域，那么哪些区域必同色？

把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？

【提示】　恰用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域，或A，D区域，或B，D区域必同色．由加法计数原理可得恰用3种不同颜色涂四个区域共3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18（种）不同的方案．

探究3　在探究1中，若恰好用2种不同颜色涂完四个区域，则哪些区域必同色？

共有多少种不同的涂色方案？

【提示】　若恰好用2种不同颜色涂四个区域，则A，C区域必同色，且B，D区域必同色．先从3种不同颜色中任取两种颜色，共3种不同的取法，然后用所取的2种颜色涂四个区域共2种不同的涂法．由分步乘法计数原理可得恰好用2种不同颜色涂四个区域共有3×2＝6（种）不同的涂色方案．

　将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图115所示的图中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？

图115

【精彩点拨】　给图中区域标上记号A，B，C，D，E，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色取决于B与D涂的颜色，如果B与D颜色相同有2种，如果不相同，那么只有1种．因此应先分类后分步．

【自主解答】　法一：

给图中区域标上记号A，B，C，D，E，如图所示．

①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种．

②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种．

故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．

法二：

按涂色时所用颜色种数多少分类：

第一类，用4种颜色：

此时B，D区域或A，E区域同色，则共有2×4×3×2×1＝48种不同涂法．

第二类，用3种颜色：

此时B，D同色，A，E同色，先从4种颜色中取3种，再涂色，共4×3×2×1＝24种不同涂法．

由分类加法计数原理共48＋24＝72种不同涂法．

求解涂色种植问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：

1按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；

2以颜色种植作物为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；

3对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.

[再练一题]

3．如图116所示的几何体是由一个正三棱锥PABC与正三棱柱ABCA1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色（底面A1B1C1不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．

图116

【解析】　先涂三棱锥PABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，由分步乘法计数原理，共有3×2×1×2＝12种不同的涂法．

【答案】　12

[构建·体系]

1．已知x∈{1,2,3,4}，y∈{5,6,7,8}，则xy可表示不同值的个数为（　　）

A．2　　　B．4　　　

C．8　　　D．15

【解析】　x的取值共有4个，y的取值也有4个，则xy共有4×4＝16个积，但是由于3×8＝4×6，所以xy共有16－1＝15（个）不同值，故选D.

【答案】　D

2．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有（　　）【导学号：

62690004】

A．6种B．7种

C．8种D．9种

【解析】　可按女生人数分类：

若选派一名女生，有2×3＝6种；若选派2名女生，则有3种．由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法．

【答案】　D

3．3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种．

【解析】　每名同学都有4种不同的报名方案，共有4×4×4＝64种不同的方法．

【答案】　64

4．圆周上有2n个等分点（n大于2），任取3点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为________．

【解析】　先在圆周上找一点，因为有2n个等分点，所以应有n条直径，不过该点的直径应有n－1条，这n－1条直径都可以与该点形成直角三角形，一个点可以形成n－1个直角三角形，而这样的点有2n个，所以一共有2n（n－1）个符合题意的直角三角形．