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趣谈平面体系的几何组成分析

07、基本知识趣谈平面体系的几何组成分析

§1.问题的提出

在人们眼中，每个建筑物天天都一个样，即建筑物是1能够承受一切工作荷载的、2静止在地面上的、3似乎没有任何变形的4人造物。

在土木工程中，建筑物的骨架称为“结构”，结构常常用所谓的“结构计算简图”来表述。

因此，“结构计算简图”必须首先体现人们眼中建筑物的3个“特征”。

如何在设计建筑结构计算简图时，不用计算分析，就能够判断出该图能否作为“结构的计算简图”呢？

在没有判断前，这样的图只能够称之为“体系”，因为画出的体系可能不是结构的计算简图。

显然，作为建筑物骨架的“结构计算简图”，首先应该是人们眼中的建筑物雏形，即“1能够承受一切工作荷载的、2静止在地面上的、3似乎没有任何变形的”“体系”。

如果画出的体系不是这样的体系，就没有必要做进一步的设计分析计算等。

所以，在计算分析之前，判断画出的体系图是否可以作为“结构的计算简图”，是一个必不可少的重要环节之一。

这一工作，就是本章要专门研究的问题：

如何判断一个画出的平面体系图，是否是人们眼中的建筑物骨架？

这个工作可称为平面杆件体系的几何组成分析。

§2.几何不变体系和几何可变体系的定义

1、体系

物体的集合，称为体系。

2、刚体与刚片

在任意荷载作用下，不计各个组成的三维物体本身变形的体系，称为刚体。

显然，该定义有2个要点：

荷载任意和不计本身变形。

在任意荷载作用下，不计各个组成的、位于同一个平面的平面物体本身变形的体系，称为刚片。

显然，该定义有2个要点：

荷载任意和不计本身变形。

由于只研究平面杆件体系，故后面只用刚片一词。

3、几何不变体系与几何可变体系

在任意荷载作用下，不计各个组成的物体本身变形，而保持其几何形状大小和位置都不变的体系，称为“几何不变体系”。

显然，该定义有3个要点：

荷载任意、不计本身变形时的几何形状大小不变和空间位置不变。

否则，只有几何形状大小和空间位置之一发生变化，就称为“几何可变体系”。

简言之，空间位置不变的刚体称为称为“几何不变体系”；空间位置可变的刚体称为“几何可变体系”。

4、结构与机构

土木工程要求“结构”处于平衡状态（相对于地面静止或做匀速直线运动），事实上，作为建筑物骨架的结构，是处于静止状态的。

因此，只有几何不变体系，才可能成为“结构”。

机械工程要求“机械”能够运转（运动），因此，只有几何可变体系，才可能成为“机械”，或者说“机构（机械构造）”。

5、几何瞬变体系

有这样一种情况：

在任意荷载作用下，如果不考虑体系杆件本身的变形，体系在形状大小作微小改变之后，该体系就成为几何不变体系。

为了把这种体系与几何可变体系加以区别，称该体系为几何瞬变体系。

由于这种体系在产生“微小改变”时，会产生巨大的内力使得体系立即破坏，参见图2-1。

故，几何瞬变体系是土木工程和机械工程都不能够使用的体系。

6、几何不变体系的两个类别

几何不变体系又可分成两类：

（1）在几何不变体系中，如果不存在维持该体系几何不变的多余杆件（多余约束）者，称为“无多余约束的几何不变体系”。

在土木工程中，又称它为“静定结构”。

（2）在几何不变体系中，如果存在着维持该体系几何不变的多余杆件（多余约束）者，则称为“有多余杆件（多余约束）的几何不变体系”。

在土木工程中，又称它为“超静定结构”。

有n个多余杆件（多余约束）的超静定结构，称为“n次超静定结构”。

建筑物相对于地面是静止的，因此，建筑物骨架的结构计算简图，必须是几何不变体系。

§3.约束数与自由度

在建立了几何不变体系、几何可变体系和几何瞬变体系的概念之后，具体分析体系的几何组成之前，还要交待几个相关的概念。

由几何不变和几何可变，自然会想到这样一些相关的概念：

静止和运动，约束和自由，束缚和解放，拘束和自在，专制和民主，抑制和随意，纪律和散漫，紧张和镇定等等，其中，与力学概念相关的是静止和运动，约束和自由。

运动是理论力学关注的重点；约束是材料力学关注的重点。

约束和自由是一对反义词。

在理论力学，严格说是理论力学的静力学部分，对建筑物来说，关注的是静止。

为了研究静止状态，得出静力平衡方程式，考察的重点确在运动。

一旦物体运动的原因（条件）不成立，则物体就处于静止状态，从而得到我们需要的平衡方程。

为了使建筑物的结构计算简图表达出相对于地面不动，就要考查“动、自由”，以便得出“不动、不自由”的条件：

“约束”。

1、自由度概念

确定物体位置和方位所必须的独立坐标个数，称为自由度数。

如图3-1所示。

一个平面点需要2个独立坐标（x、y）来确定它的几何位置，故有2个自由度。

一个平面物需要3个独立坐标（2个线坐标x、y和1个角坐标α）来确定它的几何位置，故有3个自由度。

显然，一个空间点需要3个独立坐标（x、y、z）来确定它的几何位置，故有3个自由度。

一个空间物需要6个独立坐标（3个线坐标x、y、z和3个角坐标α、β、γ）来确定它的几何位置，但3个角座标应该满足

，故空间物体只有5个独立坐标，自由度数为5。

2、用链杆代替坐标，体现“约束”对抗“自由”

坐标轴x和y是固定连接在地球上的，故图3-1可以用图3-2所示的链杆来代替坐标的作用。

自由度数和链杆数（约束数）之间的匹配关系在图3-2中一目了然。

既然自由度定义为确定物体位置的独立坐标个数，那么，也可以将约束数定义为确定物体位置的独立链杆个数。

这样在物体“位置”概念下，把约束和自由两个反义概念统一起来，不仅加深对它们的理解，而且会使得体系的几何组成分析更加得心应手。

3、支座、支座反力、约束数、链杆数与自由度数

为进一步了解约束与自由的关系，现将在静力学研究支座和支座反力的一些结论，与约束数、相当链杆数和对应减少的自由度数汇总于图3-3。

§4.组成刚片的三条规则

平面体系几何组成分析常用的规则是二元体规则、二刚片规则和三刚片规则。

如前所述，刚片并不完全等同于几何不变体系，故这三条规则宜称为一刚片规则、二刚片规则和三刚片规则为好。

1、铰接三角形是最简单的可以视为刚片的基本体系

几何学告诉我们，三角形是最简单的稳定图形。

如图4-1所示，铰接三角形在任意荷载作用下，如果不考虑杆件本身的变形，它的形状大小保持不变，故它是最简单的刚片。

如果把它的一条边与地面固结，它的位置也不会变，故，一边接地的铰接三角形是最最基本的几何不变体系。

几何上要求三角形的任意两边之和大于第三边。

在这里，铰接三角形的条件是，将几何上对三角形的要求，转换成“3个铰不共线”的陈述。

铰接三角形组成规则：

有一条边与地固结的铰接三角形是一个无多余约束的几何不变体系（静定结构）。

在继后的论述中，我们会发现分析体系几何组成性质的三条规则，均基于铰接三角形组成规则。

2、一刚片规则（二元体规则）

在§3.3中，提到1根链杆相当于1个约束；1个固定铰支座或中间铰相当于2个约束；1个固定支座相当于3个约束。

显然，链杆是约束的计量单位。

常见的链杆是两端带铰的直杆，但它可以表达为图4-2的各种形式或类似的形式。

二元体是由两根链杆组成的特殊体系。

链杆可直、可弯、可拐折（图4-3）。

显然，它实质上仍是形式各异的铰接三角形。

二元体是具有一个公共铰，另一端的两个铰在同一块刚片上，且三个铰不共线的两根链杆组成的组合体系。

铰接三角形的“3个铰不共线”的条件，

现在二元体这里仍旧保留不变。

不难看出，该定义有3个要点，缺一不可。

一个二元体就是一块二元体刚片。

如果刚片是接地刚片，那么该二元体是一个最最简单的几何不变体系。

一刚片规则（二元体规则）：

增加或减少一个二元体不会改变体系的几何组成性质。

图4-3表示形式各异的二元体刚片，可以假设它的任意一边为刚片（如图4-4中的与固定支座连接的边）。

含有1条接地边的二元体刚片，称为二元体几何不变体系。

二元体规则（一刚片规则）将应用于体系的几何组成分析中，见第5节的例子。

3、二刚片规则

（1）二刚片规则陈述1

将铰接三角形的两个边等效地表示成刚片的图示（图4-5中的粗实线），就可以得到二刚片规则。

显然，它实质上仍是铰接三角形ABC。

二刚片规则的陈述1：

两块刚片用1个铰和1根链杆相连接，且铰和链杆不共线，则组成一个新的刚片。

如果其中有一块刚片是接地的刚片，则组成无多余约束的几何不变体系。

铰接三角形的“3个铰不共线”的条件，

在二元体规则那里保留不变；

现在二刚片规则陈述1这里，转换为二刚片的“1铰和1链杆不共线”的陈述。

（2）二刚片规则陈述2

如果刚片AC和刚片AB的公共铰A，用相交的2根链杆做等价代替（如图4-6中红色部分所示），则可得到二刚片规则的陈述2。

代替后，虽然形式上由1铰1链杆的连接，变成3链杆的连接，但，它的实质上仍是铰接三角形ABC。

二刚片规则的陈述2：

两块刚片用3根链杆连接，且3根链杆不交于一点，则组成一个新的刚片。

如果其中有一刚片是接地刚片，则组成无多余约束的几何不变体系。

铰接三角形的“3个铰不共线”的条件，

在二元体规则那里保留不变；

在二刚片规则1那里，转换为二刚片的“1铰和1链杆不共线”的陈述；

现在二刚片规则陈述2这里，转换为二刚片的“3根链杆不共线”的陈述。

二刚片规则在体系的几何组成分析中的应用，见第5节的例子。

4、实铰与虚铰

在二刚片规则陈述2中，连接两个刚片的是有3根链杆，一般来说，它们两两相交会形成3个交点。

如果把体系中真实表示出来的铰称为“实铰”，那么，可把两根链杆的交点称为“虚铰”。

二刚片规则要求3根链杆形成的三个铰，无论虚实，都不能够交于一点和处于第一条直线上。

交于一点时，体系是可变体系；三铰共线时，体系是瞬变体系，在建筑结构上都是不能使用的。

参见图4-7.

5、三刚片规则

（1）三刚片规则陈述1

将铰接三角形的三个边都等效地表示成刚片的图示（图4-8中的粗实线），就可以得到三刚片规则。

显然，它实质仍是铰接三角形ABC。

三刚片规则的陈述1：

三块刚片用3个铰两两相连接，且三个铰不共线，则组成一个新的刚片。

如果其中有一块刚片是接地的刚片，则组成无多余约束的几何不变体系。

铰接三角形的“3个铰不共线”的条件，

在二元体规则那里保留不变；

在二刚片规则1那里，转换为二刚片的“1铰和1链杆不共线”的陈述；

在二刚片规则2那里，转换为二刚片的“3根链杆不共线”的陈述；

现在三刚片规则陈述1这里，又回到“3个铰不共线”的陈述。

（2）三刚片规则陈述2

如果刚片AC和刚片AB的公共铰A，用相交的2根链杆做等价代替（如图4-9中红色部分所示），则可得到三刚片规则的陈述2。

代替后，虽然形式上由3铰的连接，变成2铰2链杆的连接，但，它的实质上仍是铰接三角形ABC。

三刚片规则的陈述2：

三块刚片分别用2根链杆和2个铰连接，且2根链杆的交点（实铰或虚铰）和两个铰不共线，则组成一个新的刚片。

如果其中有一刚片是接地刚片，则组成无多余约束的几何不变体系。

铰接三角形的“3个铰不共线”的条件，

在二元体规则那里保留不变；

在二刚片规则1那里，转换为二刚片的“1铰和1链杆不共线”的陈述；

在二刚片规则2那里，转换为二刚片的“3根链杆不共线”的陈述；

在三刚片规则陈述1那里，又回到“3个铰不共线”的陈述；

现在的三刚片规则陈述2这里，转换为“两根链杆的交点与两个铰不共线”。

（3）三刚片规则陈述3

如果刚片AC和刚片AB的公共铰A，用相交的2根链杆做等价代替；刚片AB和刚片BC的公共铰B，也用相交的2根链杆做等价代替（如图4-10中红色部分所示），则可得到三刚片规则的陈述3。

代替后，虽然形式上由3铰的连接，变成1铰4链杆的连接，但，它的实质上仍是铰接三角形ABC。

三刚片规则的陈述2：

三块刚片分别用4根链杆和1个铰连接，且4根链杆的两两交点，共计2个实铰或虚铰和原来那个铰不共线，则组成一个新的刚片。

如果其中有一刚片是接地刚片，则组成无多余约束的几何不变体系。

铰接三角形的“3个铰不共线”的条件，

在二元体规则那里保留不变；

在二刚片规则1那里，转换为二刚片的“1铰和1链杆不共线”的陈述；

在二刚片规则2那里，转换为二刚片的“3根链杆不共线”的陈述；

在三刚片规则陈述1那里，又回到“3个铰不共线”的陈述；

在三刚片规则陈述2那里，转换为“两根链杆的交点，即1个实铰或者虚铰与原来那两个铰不共线”；

现在的三刚片规则陈述3这里，转换为“4根链杆的两两交点，共计2个实铰或者虚铰与原来那个铰不共线”。

（4）三刚片规则陈述4

如果刚片AC和刚片AB的公共铰A，用相交的2根链杆做等价代替（如图4-11中红色部分所示），则可得到三刚片规则的陈述2。

代替后，虽然形式上由3铰的连接，变成2铰2链杆的连接，但，它的实质上仍是铰接ABC。

三角形

三刚片规则的陈述4：

三块刚片分别用6根链杆把刚片两两连接，且6根链杆的两两交点，共对应3个实铰或虚铰不共线，则组成一个新的刚片。

如果其中有一刚片是接地刚片，则组成无多余约束的几何不变体系。

铰接三角形的“3个铰不共线”的条件，

在二元体规则那里保留不变；

在二刚片规则1那里，转换为二刚片的“1铰和1链杆不共线”的陈述；

在二刚片规则2那里，转换为二刚片的“3根链杆不共线”的陈述；

在三刚片规则陈述1那里，又回到“3个铰不共线”的陈述；

在三刚片规则陈述2那里，转换为“两根链杆的交点，即1个实铰或者虚铰与原来那两个铰不共线”；

在三刚片规则陈述3那里，转换为“4根链杆的两两交点，共2个实铰或者虚铰与原来的那个铰不共线”；

现在的三刚片规则陈述4这里，转换为“6根链杆的两两的交点，共3个实铰或者虚铰不共线”。

三刚片规则在体系的几何组成分析中的应用，见第5节的例子。

§5.用三个组成规则分析体系的例子

1、几种基本静定结构（无多余约束的几何不变体系）

图5-1示出几种常用的基本静定结构，它们可以作为平面体系几何组成分析的基础其它杆件可以几何组成规则搭建在它们上面。

1、18个例子

18个平面几何组成分析题及其解答

结论1：

简支梁是基本静定结构。

结论2：

单外伸梁和双外伸梁都是基本静定结构。

定义：

连接两根杆的铰称为单铰；否则，称为复铰。

定义：

铰连接的杆全部在杆的端部者称全铰；若有不在端部者称半铰，如F铰。

比较：

上例F为半铰；本例F为全铰。

结论3：

悬臂梁和悬臂刚架都是基本静定结构。

注意：

例5-1到5-5都用铰接三角形来分析，其实等于用二元体规则。

注意：

外伸梁也是基本静定结构。

结论4：

含有三铰共线，且中间一个为单铰（仅与两根杆相连）是瞬变体系。

要点：

悬臂梁是静定结构，不需要再加链杆来固定它的位置。

故多余1链杆

6到8例皆由简单的基本结构开始分析。

二元体建造法：

从地面开始用二元体建造体系的方法。

要点：

利用悬臂柱是基本静定结构。

一铰刚架是2次超静定结构。

结论5：

三铰拱是基本是静定结构；两铰拱是1次超静定结构；一铰拱是2次超静定结构；无铰拱是3次超静定结构。

要点：

利用悬臂刚架是基本的静定结构。

结论6：

三铰共线是瞬变体系的必要条件，是否充分要看组成分析结果。

注：

两铰拱和两铰刚架是1次超静定结构。

要点：

无铰拱和无铰刚架是3超静定结构。

结论7：

简支体系只需要分析除简支支座外的子体系。

要点：

简支体系只需要分析除简支支座外的子体系。

要点：

简支体系只需要分析除简支支座外的子体系。

基本方法和相关结论汇总：

1.建造法：

从地面开始，顺序搭建二元体，看完成体系的情况定几何组成性质；

2.拆卸法；从体系顶部开始，顺序撤除二元体，看撤除体系的情况定几何注册性质；

3.吊装法：

对应含有简支支座的体系，研究简支支座上的子体系性质，即可确定体系的几何组成性质。

结论1：

简支梁是基本静定结构。

结论2：

单外伸梁和双外伸梁都是基本静定结构。

结论3：

悬臂梁和悬臂刚架都是基本静定结构。

结论4：

含有三铰共线，且中间一个为单铰（仅与两根杆相连）是瞬变体系。

结论5：

三铰拱是基本是静定结构；两铰拱是1次超静定结构；一铰拱是2次超静定结构；无铰拱是3次超静定结构。

结论6：

识别瞬变体系的方法是3铰共线，且中间铰是单铰者。

结论7：

简支体系只需要分析除简支支座外的子体系几何组成。

定义：

连接有非杆端的铰称为半铰。

定义：

连接的全是杆端的铰称为全铰。

2、15个例子

二元体规则：

增加或减少二元体不改变体系的几何性质。

二元体规则：

增加或减少二元体不改变体系的几何性质。

二元体规则：

增加或减少二元体不改变体系的几何性质。

请对比19、20、21三个体系的分析与结论。

三刚片规则：

三刚片两铰两链杆，且对应三铰（包含虚铰）不共线，则为无多…不变。

要点：

两次用三刚片的三铰规则。

要点：

先用三刚片三铰规则，再4次用二元体规则。

要点：

一次用二元体规则建立一个基础刚片，再4次用二元体的体系。

要点：

在3个固定铰支座加1个悬臂柱组成刚片的基础上，4次用二元体规则。

要点：

简支支座体系。

用两刚片规则先研究子体系；再用两刚片规则与地连接。

要点：

不满足三刚片1铰4链杆的规则。

要点：

本体系用静定结构三铰刚架或者二元体规则皆可求解。

要点：

1简支刚片；2刚片内链杆多余；3两刚片的3链杆不得交于一点。

要点：

体系简支在地面上，其几何组成性质由简支支座上的子体系所确定。

要点：

与31例对比。

注意半铰与全铰的区别。

要点：

刚片与“几何不变体系”不同，前者的位置没有固定。

基本方法和相关结论汇总：

1.建造法：

从地面开始，顺序搭建二元体，看完成体系的情况定几何组成性质；

2.拆卸法；从体系顶部开始，顺序撤除二元体，看撤除体系的情况定几何注册性质；

3.吊装法：

对应含有简支支座的体系，研究简支支座上的子体系性质，即可确定体系的几何组成性质。

结论1：

简支梁是基本静定结构。

结论2：

单外伸梁和双外伸梁都是基本静定结构。

结论3：

悬臂梁和悬臂刚架都是基本静定结构。

结论4：

三铰拱是基本是静定结构：

两铰拱是1次超静定结构：

无铰拱是3次超静定结构。

结论5：

含有三铰共线，且中间一个为单铰（仅与两根杆相连）的是瞬变体系。

结论6：

简支体系只需要分析除简支支座外的子体系几何组成。