第5章测量误差与平差.docx

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第5章测量误差与平差

第五章测量误差与平差

§5-1误差与精度§5-2误差传播定律简介§5-3算术平均值与加权平均值

•平差——削平差异，消除不符。

-山丁测量仪器的精度不完善和人为因素及外界条件的影响，测暈谋差总是不可避免的。

为了捉高成來的质暈，处理好这些测S中存在的误差问题，观测值的个数往往要多于确定未知量所必须观测的个数，也就足要迹行多余观测。

冇了多余观测，势必在观测结來之间产生才盾,测量平差的U的就在于消除这些矛盾而求得观测量的最可靠结果并评定测量成果的精度。

测量平差采用的原理就是“最小二乘法”O

-测最平差是徳国数学家高斯于1821〜1823年在汉诺威弧度测量的三角网平差中首次提出并应用的。

以后经过许多科学家的不断完善，得到发展，测量平差U成为测绘学中很重要的、内容丰富的基础理论与数据处理技术之一。

•测呈平差是测绘丁程专业的主T课程，一般需要讲授80学时。

-平差分为简易平差和严密平差。

-严密平差乂分为条件平差和间接平差。

-在高程测a—章中水准路线闭合差的计算与分配实际上就是一种简易平差工作（消除高差不符值）O

.简易平差的相关内容将结合具体的控制测呈计算（如导线计算）加以介绍；对于严密平差方法，有兴趣的同学可口学。

-木章主要介绍测量谋差的基本知识。

H的是了解测量误差产牛的原因和评定粘度的标准；掌握偶然误差的特性、谋差传播定律及其在测址数据处理屮的应用方法。

§5-1误差与精度

一、测量误差的概念

-谋差是指曲各种原W引起的观测值与真实值，或真实值与其应有值之间存在的差异。

（比如：

三九形的内角和为180%观测值为180。

00’30"；标尺刻划间距的真实值0.97cm,其应有值即理论设计值为1cm）

•要点J

1.“要测量就会有误差"，即误差与测量同在。

2.误差來源于三个方而：

仪器误差、观测误差和外界环境的影响。

3.观测条件与谋差的关系。

与误差的三个来源相对应的测量仪器、观测者和作业环境叫观测条件。

观测条件的好坏决定误差的人小。

二、观测值的分类

等精度观测和不等粘度观测

＞直接观测和间接观测

＞独立观测和非独立观测

三•误差的类型

-测量误差分为系统误差、偶然误差及粗差。

1.系统课井:

在相同的观测条件下作多次观测（或对某类数据进行同种处理，如传统的取舍），如果观测结果包含的误差在大小及符号上表现出一致的倾向，如按一定的函数关系变化，或保持常数，或保持同号,则这种误差叫系统误差。

比如：

钢尺尺长误差，光电测距中的加常数、剩余常数等。

系统谋差的特性：

具有积累性，对测量结果影响很大；可以通过改正和采用一定得观测方法消除

2•偶然误并：

在相同的观测条件下作多次观测（或对同类数据进行同种处理），如果观测结果包含的误差在人小及符号上均没有表现出一致的倾向，即从表面看没有任何规律性，则这种谋差叫偶然谋差。

比如:

水准读数估读、照准偏左或偏右等。

偶然误差的特性

-系统误殊具有倾向的致性，即单向性、同供,艮影响具有积累性，对测量成果粘度的影响很大,必须设法消除或减小，比如施加尺长改正、加常数改正、剩余常数改正、气象改正等。

血偶然误左是刊随机性渓左，不能青接通过加改疋数的方法來消除，在观测结果屮总兄不町避免地包含偶然误舜，W此，偶然谋幷是测员谋羌理论的主耍研究对彖。

•偶然渓差虽然从表而上看没有规律，但实际上具佇统计件规律，即特性。

任何一个被观测量，客观上总存在一个能代表具真正大小的数值，称作“•真值”O设某量的真ffi为X,剔除系绕误差后的观测,则它们的差值叫做该观测值的貞误才，简称误差，用△表示，即：

△=/-x

\、

X

如杲对呆量作一系列的观测，得到n个观测值A{i=1,2,"-,n）；则有n个M误采△卫=1,2,…,nj与;h相对应。

这些仅包含偶然误差的贞误差具有以下四个特性：

冇界性

在•定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。

（这个限值不是固定的，与观测条件有关）

-例如，某项试验中，在相同的观测条件卜共观测『358个一:

角形的全部内角，计知出每个三角形的和角真谋差（即介差，二角Z和与180Z差）。

分别对正、负误差按绝对值由小到大«列，然后以dZ\=3"为误差区间统计?

^«区间的误差个数|<,并汁算其相対个数（k/n,也称作频率，n=358。

）。

结杲列:

T卜•表：

偶然误差统计结果

误差区间必C）

负误差

正误差

误差绝对值

k

kin

k

k

kjn

0〜3

45

0126

46

0,128

91

0.254

3〜6

40

0112

41

0_LI5

81

0.226

6~9

33

0.092

33

0,092

66

0184

9〜12

23

0064

21

0.059

44

0123

12~15

17

0047

16

0.045

33

0.092

15~18

13

0036

13

0.036

26

0.073

18~21

6

0017

5

0.014

11

0.031

21-24

4

0.011

2

0,006

6

0.017

24以上

0

0

0

0

0

0

k

181

0.505

177

0.495

358

1,000

>趋向性

绝对値小的谋差比绝对值人的谋差出现的概率人。

•误差分布的趋向性在统计表屮十分明显。

•误差分布的趋向性在频率直方图中更易看出。

•偶然测暈谋差是随机变呈，服从丁•标准正态分布。

>对称性

绝对値相等的正、负误差出现的概率相同。

•同样，误并分布的对称性可从统计表和百方图屮得到验证。

＞抵偿性

偶然误差的算术平均值将随着观测次数的无限增加而趋于零，即：

丛=lim囚=0

•在测量平差中，方括号［］用来表示求和。

•第四个特性是由第三个特性即对称性导出的。

•必须指出，偶然谋差的以上特性，尤苴是后血的三个特性，只冇当观测数H较多（一般n为20以上）时才会比较明显。

3•粗差（错谋）:

数值超出了某种规定范围的误斧。

如读错、记错等。

-粗差实际上是一种不太容易发现的错误，

严格的讲，不应属于测量误差的范畴。

不同常度分布曲线

精度是一组观测成來质S高低的标志，它与观测条件的好坏密切相关。

在相同的观测条件（观测者、仪器和外界环境）下进行的•组观测，叫做“同精度观测”，由于所有的观测值对应着同一种误差分布，因此，对于组中的每一个观测值（即使是误差为零或误差很人的观测值），都称为“同（等）精度观测值”；反Z，则称为“非等粘度观测”0例如，同一个观测者同一天用同一台仪器对同一个三角形的内角和观测了10次，闭合差W有丄8"的，有-2"秒的，也有为0的。

W-0并不意味着高精度，W二8"也不表示低粹度，所有的观测结果应认为是相同护背度的。

只有在不同的观测条件卜所作的观测，/•可以看作梢度不同。

（二）・衡暈粘度的指标

除了用误差分布图表示观测精度之外，还可用简明的数字來作为衡屋粘度的指标0

梢度的高低虽然不能用各别误差的大小来判别，但与一组误差绝对值的平均大小有虫接联系，所以常用一组误差绝对值的平均大小來作为衡量精度高低的指标。

此处的平均值人小并作简单的算术平均人小，而是指均方差。

测最上常用的衡呈粘度的指标卞耍有以下三种：

中误差（在概率统计学中叫标准差O）

在一定的观测条件下，同精度观测中各真误差平方的平均值的极限叫做中误差m的平方，UIJ：

上式是中误差的极限表达式。

在实你工作屮，观测次数不町能为无穷人，所以中误差通常用其估值表达式计算：

2.极限误差

-极限误差也叫容许误差，即观测中可能出现的虽人误差值，用△容表示。

山偶然谋差的冇界性知：

在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限值,这个限值就是极限误差。

-由概率论知，右：

误差群中，绝对值人丁2rn的真误差个数只占瑕差总个数的5%,大丁-3m的个数仅0.3%O111此可见，绝对值J-2m或3m的真谋差实际上不可能出现。

因此一般用两倍或三倍中误差作为偶然误差的极限值，即：

3.相对误差

-真误差和小误差都是绝対误差。

白时，仅用绝对误差还不能完全表达观测粘度的高低。

-例如，分别丈M;71000米和W米的两段距离，观测值的屮盪差均为土0.01X,虽然从农jfii上看，两者的观测精度和同，但就“单位长度”而言，两者的精度并不相同（且实现的难度也不相同），显然前者的相对精度比后者要高。

为此，通常又采用另一种衡s粽度的指标，即“相对中误差”，它是中误差（绝对值）与相应的观测值之比，为一“不名数"，无量纲，常用分子为1的分式表示：

相对误差仅可用作线量（即长度）观测精度的衡量指标，在角度测量中没有意义。

本节内容回顾

吴怎的定义，观测条fl一耍素：

2.W怎的类型；

3•偶然決并的四个特件：

4撷度的含义y衡打；二粘度的•:

种抬标

§5-2误差传播定律简介

-在实际工作中经常会遇到这样的情况：

某一个联的人小并不是15接测定，而是由一个或一系列的观测暈通过一定的函数关系间接计算出來的（比如EDM测高）。

很显然，观测值误差必然会"传递”给函数，使其函数也包含误差。

阐述观测量函数的中误差与观测量本身的中误差之间关系的定律，叫误差传播定律。

•独立观测值的概念——

设X、y为两个观测值，如果它们之间没有任何联系，并Fl都是直接观测量，则称它们是“独立观测值",它们Z间是"互相独立”的。

比如，三角高程测臺中的斜距和垂冑用，三角形中的两个内角等。

•与此对应，若两个观测值N间存在一定的联系，或包含同一因素，则它们就不是“互相独立”的。

如方向观测法屮各方向的归零方向值（零方向和同）O

•一般:

函数形式的误差传播定律：

•设冇一般函数：

Z=

式屮，XI、X2、……Xn为互和独立的观测值，相应的中误差分别为0\1、01x2、Z是各观测值的函数。

经推导函数Z的中谋差计算式为：

2/QT\22,Of\22/Qf\22

用=（¥-）"+（子）浦+…（子）阮

为OX^CX^

式屮是函数z对各观测值（变S）的偏导数，它们都是观测值的函数，将观测值代入后便都是常数。

例如，h=SXsina,贝ij

^=sina,^=5xcosa

OSda

•上述一般函数形式的误差传播定律可以用于各种函数。

•儿种常用甫数形式的误差传播律

1、和差函数：

■函数表达式：

z=x±y■或：

Z=X]±Xq土…•土X“

2、倍乘函数：

函数表达式：

乙=kx

■函数中误差为：

〃爰=,77：

+

■或：

0r

Z77；=mz+mzHfnZ

函数中误差为:

=km.

£八

3、线性函数：

■函数表达式:

Z=A：

1X1±為X2±…±X„

-根据误差传播律有:

呢=炸忑+疋呎+…+k細亡

求观测值函数中误差的步骤⑴•列出函数式；

（2）・对函数式求全微分；（3）・套川误差传播定律，写出函数屮误差公式；（4）•计算各偏导数之值；（5）・将偏导数值和观测值中误差Z值代入公式计算函数的中谋差。

例：

对一个三角形，观测了A、B两个角：

A=64°2j06"土8.0",B=7

试求第三个角C及H中误差。

解：

由题总:

町彳导：

A+B+C=180o

r是：

C=180°—A—B=45°03*14*

根