大一下高数下册知识点.docx

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大一下高数下册知识点

高等数学下册知识点

第八章空间解析几何与向量代数

（一）向量线性运算

定理1：

设向量a≠0，则向量b平行于a的充要条件是存在唯一的实数λ，使

b＝λa

1、线性运算：

加减法,数乘；

2、空间直角坐标系：

坐标轴,坐标面,卦限，向量的坐标分解式；

3、利用坐标做向量的运算：

设，；

则,；

4、向量的模,方向角,投影：

1）向量的模：

；

2）两点间的距离公式：

3）方向角：

非零向量与三个坐标轴的正向的夹角

4）方向余弦：

5）投影：

，其中为向量与的夹角。

（二）数量积，向量积

1、数量积：

1）

2）

2、向量积：

大小：

，方向：

符合右手规则

1）

2）

运算律：

反交换律

（三）曲面及其方程

1、曲面方程的概念：

2、旋转曲面：

面上曲线，

绕轴旋转一周：

绕轴旋转一周：

3、柱面：

表示母线平行于轴，准线为的柱面

4、二次曲面

1）椭圆锥面：

2）椭球面：

旋转椭球面：

3）单叶双曲面：

4）双叶双曲面：

5）椭圆抛物面：

6）双曲抛物面（马鞍面）：

7）椭圆柱面：

8）双曲柱面：

9）抛物柱面：

（四）空间曲线及其方程

1、一般方程：

2、参数方程：

，如螺旋线：

3、空间曲线在坐标面上的投影

，消去，得到曲线在面上的投影

（五）平面及其方程

1、点法式方程：

法向量：

，过点

2、一般式方程：

截距式方程：

3、两平面的夹角：

，，

4、点到平面的距离：

（六）空间直线及其方程

1、一般式方程：

2、对称式（点向式）方程：

方向向量：

，过点

3、参数式方程：

4、两直线的夹角：

，，

5、直线与平面的夹角：

直线与它在平面上的投影的夹角，

第九章多元函数微分法及其应用

（一）基本概念

1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

2、多元函数：

（1）定义：

设n维空间内的点集D是R2的一个非空子集，称映射f：

D→R为定义在D上的n元函数。

当n≥2时，称为多元函数。

记为

U=f（x1，x2，…，xn），（x1，x2，…，xn）∈D。

3、二次函数的几何意义：

由点集D所形成的一张曲面。

如z=ax+by+c的图形为一张平面，而z=x2+y2的图形是旋转抛物线。

4、极限：

（1）定义：

设二元函数f（p）=f（x,y）的定义域D,p0（x0,y0）是D的聚点D,假如存在函数A对于随意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点p（x,y）∈D∩∪（p0,δ）时,都有Ⅰf（p）-AⅠ=Ⅰf（x,y）-AⅠ﹤ε成立,那么就称常数A为函数f（x,y）当（x,y）→（x0,y0）时的极限，记作

多元函数的连续性与不连续的定义

5、有界闭合区域上二元连续函数的性质：

（1）在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值；

（2）在有界区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。

6、偏导数：

设有二元函数z=f（x,y），点（x0,y0）是其定义域D内一点。

把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数z=f（x,y）有增量（称为对x/y的偏增量）假如△z与△x/△y之比当△x→0/△y→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f（x,y）在（x0,y0）处对x/y的偏导数记作

7、混合偏导数定理：

假如函数的两个二姐混合偏导数fxy（x,y）和fyx（x,y）在D内连续，那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等。

8、方向导数：

其中为的方向角。

9、全微分：

假如函数z=f（x,y）在（x,y）处的全增量△z=f（x△x，y△y）-f（x,y）可以表示为△z=A△x+B△y+o（ρ），其中A,B不依靠于△x,△y，仅与x,y有关，

当Ρ→0，此时称函数z=f（x,y）在点（x，y）处可微分，A△x+B△y称为函数z=f（x,y）在点（x,y）处的全微分，记为

（二）性质

1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：

微分法

1）定义：

2）复合函数求导：

链式法则

若，则

3）隐函数求导：

两边求偏导，然后解方程（组）

（三）应用

1、极值

1）无条件极值：

求函数的极值

解方程组求出全部驻点，对于每一个驻点，令

1若，，函数有微小值，

若，，函数有极大值；

2若，函数没有极值；

3若，不定。

2）条件极值：

求函数在条件下的极值

令：

———Lagrange函数

解方程组

2、几何应用

1）曲线的切线与法平面

曲线，则上一点（对应参数为）处的

切线方程为：

法平面方程为：

2）曲面的切平面与法线

曲面，则上一点处的切平面方程为：

法线方程为：

第十章重积分

（一）二重积分

1、定义：

2、性质：

（6条）

3、几何意义：

曲顶柱体的体积。

4、计算：

1）直角坐标

2）极坐标

（二）三重积分

1、定义：

2、性质：

3、计算：

1）直角坐标

-------------“先一后二”

-------------“先二后一”

2）柱面坐标

3）球面坐标

（三）应用

曲面的面积：

第十二章无穷级数

（一）常数项级数

1、定义：

1）无穷级数：

部分和：

，

正项级数：

，

交织级数：

，

2）级数收敛：

若存在，则称级数收敛，否则称级数发散

3）肯定收敛：

收敛，则肯定收敛；

条件收敛：

收敛，而发散，则条件收敛。

定理：

若级数肯定收敛，则必定收敛。

2、性质：

1）级数的每一项同乘一个不为零的常数后，不影响级数的收敛性；

2）级数与分别收敛于和s与σ，，则收敛且，其和为s+σ

3）在级数中随意加上,去掉或改变有限项，级数仍旧收敛；

4）级数收敛，随意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变。

5）必要条件：

级数收敛即.

3、审敛法

正项级数：

，

1）定义：

存在；

2）收敛有界；

3）比较审敛法：

，为正项级数，且

若收敛，则收敛；若发散，则发散.

4）比较法的推论：

，为正项级数，若存在正整数，当时，，而收敛，则收敛；若存在正整数，当时，，而发散，则发散.

做题步骤：

找比较级数（等比数列，调和数列，p级数1/np）；比较大小；是否收敛。

5）比较法的极限形式：

设，为正项级数，

（1）若，而收敛，则收敛；

（2）若或，而发散，则发散.

6）比值法：

为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.

7）根值法：

为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.

8）极限审敛法：

为正项级数，若或，则级数发散；若存在，使得，则级数收敛.

交织级数：

莱布尼茨审敛法：

交织级数：

，满意：

，且，则级数收敛。

随意项级数：

肯定收敛，则收敛。

常见典型级数：

几何级数：

p-级数：

（二）函数项级数

1、定义：

函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；

2、幂级数：

收敛半径的求法：

，则收敛半径