资料华东理工大学本科生线性代数第四册.docx
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资料华东理工大学本科生线性代数第四册
华东理工大学
线性代数
作业簿（第四册）
学院____________专业____________班级____________
学号____________姓名____________任课教师____________
3.1矩阵的秩
1.设矩阵A的秩为,则下列结论错误的是（）.
（A）A有阶子式非零；（B）A的所有阶子式为零；
（C）A没有阶子式为零；（D）.
解：
C.
2．确定矩阵的秩，并给出一个最高阶非零子式.
解：
利用初等行变换化成行阶梯形矩阵来求矩阵的秩.
由知，最高阶非零子式可取.
3.当参数取不同数值时，求矩阵的秩。
解：
由知
①当且时，
②当且，或且时，
③当且时，.
4.设矩阵，求及.
解：
设则且有当且时，当或时，，又
则有
.
5．设是阶满秩阵，是矩阵，试证明与是同解方程组，并进一步利用齐次线性方程组的有关定理，说明.
证：
①先证的解均为的解，若是的解，则以代入，显然有；
②再证的解均为的解，其实由为满秩阵，在两边同时左乘，即得；
由①、②即知与是同解方程组，且它们在能得出其任一解的通解式中含有的任意参数个数必相同，即
，亦即.
6．用初等行变换把下列矩阵化成行最简形.
（1）;
（2）.
解：
（1）解：
（2）.
7．设为矩阵，则=_____.
解:
0.
3.2齐次线性方程组
1．已知设为的两个解向量，则.
解:
-1,-1.
2.方程组必（）.
（A）无解；（B）仅有零解；
（C）有非零解；（D）以上都不是.
解:
C.
3．讨论下列齐次线性方程组是否有非平凡解（即非零解）？
若有，则求出其通解.
（1）;
（1）解：
由知原方程组有非零解，且原方程组的解为,令则得通解为
（2）;（3）.
（2）解：
由=未知数个数，知原方程只有零解.
（3）解：
由，知原方程组有非零解，且解为，令，则通解为
4．已知三阶非零矩阵的每一列都是方程组的解，求：
（1）的值；
（2）；（3）一个矩阵.
解：
（1）若记矩阵则由题意可知有非零解，故由，解得.
（2）由
（1）知方程组的系数矩阵
即，故方程组有无穷多个解，但通解表达式中只有个任意参数，且由通解为知矩阵的每一列必为向量的倍数，即各列对应成比例，故由行列式性质，知.
另解
（2）：
假设，则为可逆阵，由题意知，右乘可得矛盾，所以.
（3）由
（2）的分析，可取矩阵.
3.3非齐次线性方程组
1．填空题：
（1）线性方程组有解的充分必要条件是________.
解:
.
（2）设方程组（I）与（II）同解，则，，.
解：
.
2.选择题：
（1）设是对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（）.
（A）若仅有零解，则有唯一解；
（B）若有非零解，则有无穷多解；
（C）若有无穷多解，则仅有零解；
（D）若有无穷多解，则有非零解.
（2）设矩阵秩为，则非齐次线性方程组（）.
（A）时有解；（B）时有唯一解；
（C）是有唯一解；（D）时有无穷多个解.
解:
（1）D;
（2）A.
3.设是互不相同的常数，证明方程组无解.
证：
，由范德蒙德行列式知
，
故而，所以由知方程组无解.
4.求解下列非齐次线性方程组
（1）;
（2）;
（1）解：
由
知，故方程组有无穷多个解，且有
令，则通解为.
（2）解：
由
知，故方程组无解.
5.问取何值时方程组有唯一解、无穷多个解、无解？
并在有无穷多个解时求出其通解。
（1）;
（2）.
（1）解：
由于系数矩阵不是方阵，故只能使用初等行变换法.
1当时，，由，知方程组有唯一解。
由知唯一解为；
2当时，，则若，则由知有唯一解；若，则由知也有唯一解若且，则由知方程组无解.
（2）解：
考虑到系数矩阵是个含所有参数的方阵，且由
可知
①方程有唯一解；
②知方程组无解；
③
由知方程组有无穷多个解，且有，令，则通解为.
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