资料华东理工大学本科生线性代数第四册.docx

1、资料华东理工大学本科生线性代数第四册华东理工大学线性代数作业簿（第四册）学 院_专 业_班 级_学 号_姓 名_任课教师_3.1 矩阵的秩1. 设矩阵A的秩为, 则下列结论错误的是（ ）.（A）A有阶子式非零； （B）A的所有阶子式为零；（C）A没有阶子式为零； （D）.解：C.2确定矩阵的秩，并给出一个最高阶非零子式.解：利用初等行变换化成行阶梯形矩阵来求矩阵的秩.由知，最高阶非零子式可取.3. 当参数取不同数值时，求矩阵的秩。解：由知当且时，当且，或且时，当且时，.4. 设矩阵，求及.解：设则且有当且时，当或时，又则有.5设是阶满秩阵，是矩阵，试证明与是同解方程组，并进一步利用齐次线性方程

2、组的有关定理，说明.证：先证的解均为的解，若是的解，则以代入，显然有；再证的解均为的解，其实由为满秩阵，在两边同时左乘，即得；由、即知与是同解方程组，且它们在能得出其任一解的通解式中含有的任意参数个数必相同，即，亦即.6用初等行变换把下列矩阵化成行最简形.（1）;（2）.解：（1）解：（2）.7设为矩阵，则=_.解: 0.3.2齐次线性方程组1已知设为的两个解向量，则.解: -1,-1.2. 方程组必（ ）. (A) 无解； (B) 仅有零解； (C) 有非零解； (D)以上都不是.解: C.3讨论下列齐次线性方程组是否有非平凡解（即非零解）？若有，则求出其通解.（1）;（1）解：由知原方程组

3、有非零解，且原方程组的解为,令则得通解为（2）; （3）.（2）解：由=未知数个数，知原方程只有零解.（3）解：由，知原方程组有非零解，且解为，令，则通解为4已知三阶非零矩阵的每一列都是方程组的解，求：（1）的值； （2）； （3）一个矩阵.解：（1）若记矩阵则由题意可知有非零解，故由，解得.（2）由（1）知方程组的系数矩阵即，故方程组有无穷多个解，但通解表达式中只有个任意参数，且由通解为知矩阵的每一列必为向量的倍数，即各列对应成比例，故由行列式性质，知.另解（2）：假设，则为可逆阵，由题意知，右乘可得矛盾，所以.（3）由（2）的分析，可取矩阵.3.3 非齐次线性方程组1填空题：（1）线性方程

4、组有解的充分必要条件是_.解: . (2)设方程组(I)与(II)同解，则 ， ， .解：.2. 选择题：(1)设是对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）. （A）若仅有零解，则有唯一解； （B）若有非零解，则有无穷多解； （C）若有无穷多解，则仅有零解； （D）若有无穷多解，则有非零解. (2) 设矩阵秩为，则非齐次线性方程组（ ）.（A）时有解； （B）时有唯一解；（C）是有唯一解； （D）时有无穷多个解.解: (1)D; (2)A.3. 设是互不相同的常数，证明方程组无解.证：，由范德蒙德行列式知，故而，所以由知方程组无解.4. 求解下列非齐次线性方程组（1）;（2）;（1）解：由知，故方程组有无穷多个解，且有令，则通解为.（2）解：由知，故方程组无解.5. 问 取何值时方程组有唯一解、无穷多个解、无解？并在有无穷多个解时求出其通解。（1）; (2). （1）解：由于系数矩阵不是方阵，故只能使用初等行变换法.1当时，由，知方程组有唯一解。由知唯一解为；2当时，则若，则由知有唯一解；若，则由知也有唯一解若且，则由知方程组无解.（2） 解：考虑到系数矩阵是个含所有参数的方阵，且由可知方程有唯一解；知方程组无解；由知方程组有无穷多个解，且有，令，则通解为.