N=1,4,7,…，40n=1,6,11,…，66
•两数列相同项的和为
2+17+32+…+197=1393
又14=5a+3b,
a=1,b=3
•••首项为1，公差为2
n（n1）
又Sn=门厲+厂
n（n1）
•-2500=n+•2•-n=50
2
nd
2
nd
2
5
解之，得nd二一
11
由①，有（2n+1）d=1
1
由④，⑤，解得d二一,
11
■-共插入10个数.
【例5】在等差数列｛an｝中，设前m项和为Sm,前n项和为Sn,且Sm一Sn，m^n,求Sm+n.
1
解•Sm+n
一（m+n）a1+（m+n）（m+n—1）d
1
一（m+n）[a1+-（m+n—1）d]
且Sm一Sn，
1
…ma1+-m（m—1）d一na1+—n（n—1）d
整理得（m—n）a1+£（m—n）（m+n_1）=0
1
即（m—n）[a1+（m+n—1）d]=0
1
由mHn,知a1+2（m+n—1）d—0
二Sm+n一0
【例6】已知等差数列｛an｝中，S3=21,S6=64，求数列｛|an|｝的前n
项和Tn.
分析等差数列前n项和Sn=na1+n（；°d，含有两个未知数a1,
d，已知S3和S6的值，解方程组可得a1与d,再对数列的前若干项的正
负性进行判断，则可求出Tn来.
解设公差为d,由公式Sn一nq+n^n1）d
3a1+3d=21得
ba1+15d=24
解方程组得：
d一一2,一9
二an=9+（n-1）（n-2）=—2n+11
11
由an=-2n+11>0得nv二5.5，故数列｛an｝的前5项为正,
2
其余各项为负•数列｛an｝的前n项和为：
•••当nW5时，Tn=-n2+10n
当n>6时，Tn=S5+|Sn—S5|=S5-（Sn-S5）=2S5-Sn
•Tn=2（—25+50）—（—n2+10n）=n2-10n+50
2
戸Tn=—n+10nnW5
即；n€N*
n—10n+50n>6
说明根据数列｛an｝中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|an|｝的前n
项和.
【例7】在等差数列｛an｝中，已知％+为+a12+a〔5=34,求前20项
之和.
解法一由玄6十a9+a12+a〔5=34
得4a〔+38d=34
又S20=20&1+
20X19
=20a1+190d
=5（4a1+38d）=5X34=170
（a1+a20）X20
解法一S20=-=10（a1+a20）
由等差数列的性质可得：
a6+a〔5=a9+a〔2=+a?
。
.•+玄20=17
S?
o=170
【例8】已知等差数列｛an｝的公差是正数，且a3•a7=—12,a4+a6=-
4,求它的前20项的和S20的值.
解法一设等差数列｛an｝的公差为d，则d>0，由已知可得
（a,+2d）（a,+bd）=—12①
a1+3d+a,+5d=—4②
由②，有a,=—2—4d,代入①，有d2=4
再由d>0，得d=2a〔=—10
最后由等差数列的前n项和公式，可求得S20=180
解法二由等差数列的性质可得：
玄4+a6=a3+a7即a3+a7=一4
又a3•a7=—12，由韦达定理可知：
a3，a7是方程x2+4x—12=0的二根
解方程可得x1=—6,x2=2
•••d>0.｛an｝是递增数列
--玄3=—6，a?
=2
a?
a3
d=一-=2，a1=—10，S20=18073
【例9】等差数列｛an｝、｛bn｝的前n项和分别为Sn和Tn，若
A•1
C.
299
2
B・一
3
200D.
301
分析该题是将亟与Sn发生联系，可用等差数列的前n项
b100Tn3n1
和公式Sn=n（a1+an）把前n项和的值与项的值进行联系.
n2
解法一
VSn
n（a1an）
2，
Tn
n（b1bn）
2
•Sn
a1
an
•a1
an
2n
"Tn
b1
bn
b1
bn
3n1
■2a100=a1+a199，
2b100=b1+b199
a〔00a〔a〔992x199199
b100Sb1993X199+1299
解法二利用数列｛an｝为等差数列的充要条件：
Sn=an2+
bn
..Sil2n
•Tn3n1
可设Sn=2n2k,Tn=n（3n+1）k
.OkSnSn12n2k2（n1）2k
…bnTnTn1n（3n1）k（n1）[3（n1）1]k
4n22n1
6n23n1
.証2X1001199
…b1003X1001299
说明该解法涉及数列｛an｝为等差数列的充要条件Sn=an2+bn,由
已知邑竝，将Sn和Tn写成什么？
若写成Sn=2nk,Tn=（3n+1）k,Tn3n1
k是常数，就不对了.
【例10】解答下列各题：
（2）在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350,求这几个数；
（3）已知：
等差数列｛aj中,a4+a〔5+玄仃=50,求S20；
⑷已知：
等差数列｛an｝中，an=33—3n,求Sn的最大值.
分析与解答
173
（1）a6=a2+（6—2）dd==—5
4
ag=a6+（9—6）d=—17+3X（—5）=—32
⑻+a”2）（n+2）
■-Sn+2
⑵a1=19,an+2=89,Sn+2=1350
2
2X1350
…n+2==25n=23
19+89
（3）■/a4+a6+a〔5+a仃=50
又因它们的下标有4+17=6+15=21
二a4+a17=a6+a15=25
a17）250
（a1+a20）X20
S20=1-10X（a4
（4）■/an=33—3n•a〔=30
（5）
证设这个数列的第n项为an,前n项和为Sn.
当n》2时，an=Sn一Sn_1
•••an=（4n2+3n）—[4（n—1）2+3（n—1）]
=8n一1
当n=1时，a1=S1=4＋3=7
由以上两种情况可知，对所有的自然数n,都有an=8n—1
又an+1—an=[8（n＋1）—1]—（8n—1）=8
•这个数列是首项为7,公差为8的等差数列．
说明这里使用了“an=sn—Sn-1”这一关系.使用这一关系时，要注意，它只在n>2时成立.因为当n=1时，Sn「nSo,而S0是没有定义的.所以，解题时,要像上边解答一样,补上n=1时的情况．
【例12】证明：
数列｛an｝的前n项之和Sn=an2+bn（a、b为常数）是这
个数列成为等差数列的充分必要条件．
证
由Sn=an2+bn,得
当n》2时,an=Sn—Sn-1
=an2＋bn—a（n—1）2—b（n—1）
=2na＋b—a
a1=S1=a＋b
•••对于任何n€N,an=2na+b—a
且an—an-1=2na＋（b—a）—2（n—1）a—b＋a
=2a（常数）
•-｛an｝是等差数列.
n（n1）
Sn=na!
+d
若令Q二a,贝Vai—^=b,即卩
22
Sn=an2+bn
综上所述，Sn=an2+bn是｛an｝成等差数列的充要条件.
说明由本题的结果，进而可以得到下面的结论：
前n项和为Sn=an2+
bn+c的数列是等差数列的充分必要条件是c=0.事实上，设数列为｛un｝,则:
充分性c=0Sn=an2+bn｛un｝是等差数列.
必要性｛Un｝是等差数列Sn=an2+bnc=0.
【例13】等差数列｛an｝的前n项和Sn=m，前m项和Sm=n（m>n）,
求前m+n项和Sm+n.
解法一设｛an｝的公差d
按题意，则有
Sm=mai+m^d=n
=—（m+n）
解法二设Sx=Ax2+Bx（x€N）
Am2+Bm=n①
An2+Bn=m②
①—②，得A（m2—n2）+B（m—n）=n—m
■/m^n/•A（m+n）+B=—1
故A（m+n）2+B（m+n）=—（m+n）
即Sm+n=—（m+n）
说明a1,d是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再
解决其它问题，但本题关键在于求出了a1+mn1d=—1,这种设而不
12
解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴.解法二中，由于是
等差数列，由例22,故可设Sx=Ax2+Bx.（x€N）
【例14】在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75,各偶数项之
和为90，末项与首项之差为27,则n之值是多少？
解TS偶项—S奇项=nd
•••nd=90—75=15
又由a2n—a1=27，即（2n—1）d=27
nd=15
•n=5
（2n—1）d=27
【例15】在等差数列｛an｝中，已知a1=25,S9=S17,问数列前多少项
和最大，并求出最大值.
解法一建立Sn关于n的函数，运用函数思想，求最大值.
根据题意：
17X169X8
S仃一17印+2d，S9—9a〔+2d
-a〔=25,S^=S9解得d=—2
•Sn=25n+（—2）=—n?
+26n=—（n—13）2+169
•••当n=13时，Sn最大，最大值S13=169
解法二因为a1=25>0,d=—2v0,所以数列｛an｝是递减等
差数列，若使前n项和最大，只需解a°0，可解出n.
n+1
an+1w0
-ai=25，S9=Si7
•9X25+^8d=17X25+17从16d,解得d=—2
22
••an=25+（n—1）（—2）=—2n+27
—2n+27>0n<13.5
二n=13
—2（n+1）+27>0n>12.5
即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13=169.
解法三利用s9=s17寻找相邻项的关系.
由题意Sg=S[7得a〔o+a〔1+a〔2+…+a〔7=0
而a[°+a17=an+a〔6=a12+a[5=a13+a^
•a13+a14=0，a13=一a14•0，引4三0
•-S13=169最大.
解法四根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n.
•-｛an｝是等差数列
•可设Sn=An2+Bn
2—1所示
二次函数y=Ax2+Bx的图像过原点，如图3.
八y
7°9IT
图3.2-1
•S9=S17，
对称轴x=9+17=13
2
•••取n=13时，S13=169最大
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