等差数列练习.docx

1、等差数列练习等差数列练习精选【例1】 等差数列前10项的和为140,其中，项数为奇数的各项的和为125,求其第6项.解依题意，得a1 + a3 + a5 + a7+ a9 = 5a1 + 20d = 125解得 a1=113, d= 22.其通项公式为an =113 + (n 1) ( 22)= 22n + 135- a6= 22X 6+ 135= 3说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素 ad,再求其他的这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法， 是经常用到的一种方法. 在本课中如果注意到 a6=a1 + 5d,也可以不必求出 an而2a1 + 9d = 28直接去求a6，所列方程

2、组化简后可得 相减即得a1 + 5d = 3,a1 + 4d = 25即a6 = 3可见，在做题的时候，要注意运算的合理性当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提.【例2】 在两个等差数列 2, 5, 8,，197与2, 7, 12,，197中，求它们相同项的和.解 由已知，第一个数列的通项为 an = 3n 1;第二个数列的通项为 bN=5N 3若 am = bN，则有 3n 1 = 5N 3若满足n为正整数，必须有 N = 3k+ 1(k为非负整数). 又 2 5N 3 197, 即卩 1 0得nv 二5.5，故数列a n的前5项为正,2其余各项为负数列an的前n项和为：当 nW 5

3、 时，Tn =- n2+ 10n当 n 6 时，Tn= S5+ |Sn S5|= S5-(S n- S5) = 2S5- Sn Tn = 2( 25 + 50) ( n2 + 10n) = n2- 10n + 502戸 Tn = n + 10n nW 5即； nN*n 10n+ 50 n 6说明 根据数列an中项的符号，运用分类讨论思想可求 |an|的前n项和.【例7】 在等差数列an中，已知 +为+ a12 + a5= 34,求前20项之和.解法一由 玄6十 a9 + a12 + a5= 34得 4a + 38d = 34又 S20 = 20&1 +20X19=20a1+190d=5(4a1

4、 + 38d)=5 X 34=170(a1 + a20 ) X 20解法一 S20 = - = 10(a1 + a20)由等差数列的性质可得：a6 + a5=a9 + a2= + a?。 . + 玄20=17S?o= 170【例8】 已知等差数列an的公差是正数，且 a3 a7= 12, a4 + a6=-4,求它的前20项的和S20的值.解法一 设等差数列an的公差为d，则d0，由已知可得(a, + 2d)(a,+ bd) = 12 a1 + 3d + a, + 5d = 4 由，有a, = 2 4d,代入，有d2=4再由 d0，得 d= 2 a= 10最后由等差数列的前 n项和公式，可求得

5、 S20= 180解法二 由等差数列的性质可得：玄4+ a6 = a3+ a7 即 a3 + a7 = 一 4又a3 a7= 12，由韦达定理可知：a3，a7 是方程 x2 + 4x 12= 0 的二根解方程可得x1= 6, x2 = 2 d0 . an是递增数列-玄3= 6， a?=2a? a 3d = 一 - = 2， a1 = 10， S20 = 180 7 3【例9】 等差数列an、b n的前n项和分别为Sn和Tn，若A 1C.2992B 一3200 D .301分析 该题是将 亟与Sn 发生联系，可用等差数列的前 n项b100 Tn 3n 1和公式Sn = n(a1 +an)把前n项

6、和的值与项的值进行联系.n 2解法一V Snn(a1 an)2 ，Tnn(b1 bn)2 Sna1an a1an2nTnb1bnb1bn3n 1 2a100 = a1+ a199，2b100 = b1 + b199a00 a a99 2 x 199 199b100 S b199 3X 199 + 1 299解法二利用数列an为等差数列的充要条件：Sn= an2+bn.Sil 2n Tn 3n 1可设 Sn = 2n2k, Tn = n(3n+ 1)k.Ok Sn Sn 1 2n2k 2(n 1)2kbn Tn Tn 1 n(3n 1)k (n 1)3(n 1) 1k4n 2 2n 16n 2

7、3n 1.証 2X 100 1 199b100 3X 100 1 299说明 该解法涉及数列an为等差数列的充要条件 Sn=an2+ bn,由已知邑 竝，将Sn和Tn写成什么？若写成Sn =2nk, Tn = (3n+ 1)k , Tn 3n 1k是常数，就不对了.【例10】 解答下列各题：(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且 此数列各项之和为1350,求这几个数；(3)已知：等差数列aj中,a4 + a5 +玄仃=50,求 S20；已知：等差数列an中，an=33 3n,求Sn的最大值.分析与解答17 3(1)a6 = a2 + (6 2)d d = = 54

8、ag=a6 + (9 6)d= 17+ 3 X ( 5)= 32 +a”2)( n +2)- Sn+2a1=19, an+2=89, Sn+2= 135022 X 1350n+ 2 = = 25 n = 2319 + 89(3) / a4 + a6 + a5+ a仃=50又因它们的下标有 4+ 17 = 6+ 15=21二 a4+ a17=a6+ a15=25a17) 250(a 1 + a20) X 20S20 = 1 - 10X (a4(4)/ an=33 3n a = 30(5)证 设这个数列的第n项为an,前n项和为Sn.当 n2 时，an = Sn 一 Sn_1 an= (4n2 +

9、 3n) 4(n 1)2+ 3(n 1)=8n 一 1当 n=1 时， a1=S1=4 3=7由以上两种情况可知，对所有的自然数 n,都有an=8n 1又 an+1 an= 8(n1) 1 (8n 1)= 8这个数列是首项为 7,公差为 8 的等差数列说明 这里使用了“ an=sn Sn-1 ”这一关系.使用这一关系时，要注意， 它只在n2时成立.因为当n = 1时，SnnSo,而S0是没有定义的.所以， 解题时,要像上边解答一样,补上 n= 1 时的情况【例12】 证明：数列an的前n项之和Sn= an2+ bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件证由 Sn = an2 +

10、bn,得当 n 2 时, an= Sn Sn-1= an2 bn a(n 1)2 b(n 1)=2nab aa1 = S1 = a b对于任何 n N, an = 2na+ b a且 an an-1=2na(b a) 2(n 1)ab a=2a(常数)- a n是等差数列.n(n 1)Sn = na! + d若令 Q 二 a,贝V ai = b, 即卩2 2Sn=an2+bn综上所述，Sn=an2+ bn是a n成等差数列的充要条件.说明 由本题的结果，进而可以得到下面的结论：前 n项和为Sn=an2+bn+ c的数列是等差数列的充分必要条件是 c= 0.事实上，设数列为un,则:充分性c =

11、 0 Sn = an2 + bn un是等差数列.必要性Un是等差数列 Sn = an2 + bn c= 0.【例13】 等差数列an的前n项和Sn=m，前m项和Sm = n(m n),求前m+ n项和Sm+n .解法一设a n的公差d按题意，则有Sm = mai + md= n=(m+ n)解法二 设 Sx = Ax2+ Bx(x N)Am2 + Bm = n An2 + Bn= m ，得 A(m 2 n2) + B(m n) = n m/ m n / A(m + n) + B= 1故 A(m + n)2+ B(m + n) = (m + n)即 Sm+n = (m + n)说明 a1, d

12、是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解决其它问题，但本题关键在于求出了 a1+ m n 1d = 1,这种设而不1 2解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴.解法二中，由于是等差数列，由例 22,故可设Sx=Ax 2 + Bx . (x N)【例14】 在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为 75,各偶数项之和为90，末项与首项之差为 27,则n之值是多少？解 T S偶项S奇项=nd nd=90 75=15又由 a2n a1 = 27，即(2n 1)d=27nd= 15 n = 5(2n 1)d = 27【例15】 在等差数列an中，已知a1 = 25, S9 = S17,

13、问数列前多少项和最大，并求出最大值.解法一 建立Sn关于n的函数，运用函数思想，求最大值.根据题意：17X16 9 X 8S仃一17印+ 2 d， S9 9a + 2 d-a=25, S= S9 解得 d = 2 S n = 25 n+ ( 2) = n? + 26n = (n 13) 2 + 169当n=13时，Sn最大，最大值 S13= 169解法二 因为a1=25 0, d = 2 v 0,所以数列an是递减等差数列，若使前n项和最大，只需解 a 0，可解出n.n+1an+1 w 0-ai = 25， S9= Si7 9 X 25+ 8 d = 17X 25+ 17 从 16 d,解得

14、d= 22 2 an=25 + (n 1)( 2)= 2n + 272n+ 27 0 n 0 n 12.5即前13项和最大，由等差数列的前 n项和公式可求得 S13=169 .解法三 利用s9=s17寻找相邻项的关系.由题意 Sg=S7 得 ao+ a1 + a2 + a7=0而 a+ a17=an + a6=a12+ a5=a13 + aa13+ a14= 0， a13= 一 a14 0，引4三 0- S13=169 最大.解法四 根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的 n.- an是等差数列可设 Sn=An2+Bn2 1所示二次函数y=Ax2+ Bx的图像过原点，如图 3.八y7 9 IT图 3.2-1 S9=S17，对称轴x = 9 +17 = 132取 n=13 时，S13= 169 最大