上海高考试题汇编数列.docx
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上海高考试题汇编数列
数列
知识点1、等差数列的性质
（2018秋6）记等差数列的前项和为，若，，则
答案：
14
（2018春5）已知是等差数列，若，则__________．
答案：
1
知识点2：
等差数列的判定
（2017秋15）已知数列，使得成等差数列的必要条件是（）
A.B.C.D.
答案：
A
知识点3：
等差数列的递推关系式
（2013年文22）已知函数，无穷数列满足，．
（1）若，求；
（2）若，且成等比数列，求的值；
（3）是否存在，使得成等差数列？
若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．
解：
（1），，．
（2），．
①当时，，所以，得．
②当时，，所以，得（舍去）或．
综合①②得或．
（3）假设这样的等差数列存在，那么，．
由得（）．
以下分情况讨论：
①当时，由（）得，与矛盾；
②当时，由（）得，从而，
所以是一个等差数列；
③当时，则公差，因此存在使得
．此时，矛盾．
综合①②③可知，当且仅当时，构成等差数列．
（2013理23）给定常数，定义函数．数列满足，．
（1）若，求及；
（2）求证：
对任意，；
（3）是否存在，使得成等差数列？
若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．
解：
（1）．
（2）
当时，；
当时，；
当时，．
所以，对任意，．
方法二：
要证：
当时，等式右边为0，不等式显然成立
当时，等式化为显然
（3）由
（2），结合得，即为无穷递增数列．
又为等差数列，所以存在正数，当时，，
从而，．
由于为等差数列，因此其公差．
①若，则，
又，故，即，从而．
当时，由于为递增数列，故，
所以，，而，
故当时，为无穷等差数列，符合要求；
②若，则，又，
所以，，得，舍去；
③若，则由得到，
从而为无穷等差数列，符合要求．
综上，的取值集合为．
知识点4：
等比数列的性质
（2015理17）记方程①：
，方程②：
，方程③：
，其中是正实数．当成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根
答案：
B
知识点5：
等比数列的判定
（2011理18）设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为（）
A是等比数列
B或是等比数列
C和均是等比数列
D和均是等比数列，且公比相同
答案：
D
知识点6：
等差数列与等比数列综合
（2016文22）对于无穷数列与，记，，若同时满足条件：
①，均单调递增；②且，则称与是无穷互补数列．
（1）若，，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若且与是无穷互补数列，求数列的前16项的和；
（3）若与是无穷互补数列，为等差数列，且，求与的通项公式．
【解】
（1）因为，所以，从而与不是无穷互补数列．
（2）因为，所以．
数列的前16项的和为：
．
（3）设的公差为，则．由，得或．
若，则，，与“与是无穷互补数列”矛盾；
若，则，，．
综上，，．
（2014年理23）已知数列满足，，．
（1）若，求的取值范围；
（2）设是公比为的等比数列，．若，，
求的取值范围；
（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，
以及取最大值时相应数列的公差．
解：
（1）由条件得且，解得．所以的取值范围是．
（2）由，且，得，所以．又，所以．
当时，，，由得成立．
当时，．即．
若，则．由，，得，所以．
若，则．由，，得，所以．
综上，的取值范围为．
（3）设的公差为．由，且，
得，．即．
当时，；
当时，由，得，所以．
所以，即，得．
所以的最大值为1999，时，的公差为．
（2014文23）已知数列满足．
（1）若，求的取值范围；
（2）设是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比；
（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围．
解：
（1）由条件得且，解得．所以的取值范围是．
（2）设的公比为．由，且，得．
因为，所以．从而，，解得．
时，．所以，的最小值为，时，的公比为．
（3）设数列的公差为．由，，．
当时，，所以，即．
当时，，符合条件．
③当时，，所以，，
又，所以．
综上，的公差的取值范围为．
知识点7：
数列的递推关系式与函数
（2012文14）已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是．
答案：
解：
由，，得，
由，得，，，，，依次类推，得全体偶数项相等，
所以
（2017春21）已知函数
（1）解方程；
（2）设证明：
，且；
（3）在数列中，，，，求的取值范围，使得对任意成立
答案：
（1）；（3）；
知识点8：
数列的前项和
（2016理11）无穷数列由k个不同的数组成，为的前n项和.若对任意，，则k的最大值为______________.
答案：
4
知识点9：
数列的单调性和最值
（2018春15）记为数列的前项和．“是递增数列”是“为递增数列”的（）
（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件
（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件
答案：
D
（2015理22文23）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．
（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式；
（2）设{an}的第项是最大项，即（n∈N*），求证：
数列{bn}的第项是最大项；
（3）设a1=λ＜0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{an}有最大值M与最小值m，且．
答案：
（1）；（3）
知识点10：
数列的周期性
（2016年理23）若无穷数列满足：
只要，必有，则称具有性质.
（1）若具有性质，且，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；
（3）设是无穷数列，已知.求证：
“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.
答案：
（1）；
（2）由于，但，故不具有性质；
（3）证明：
必要性：
若对于任意，都具有性质，则，设函数由图像可得，对于任意的，二者图像必有一个交点，所以一定能找到，使得，所以，所以，故，故是常数列
知识点11：
数列的极限
（2013理1）计算：
．
答案：
（2018秋10）设等比数列的通项公式为（），前项和为，若，则
答案：
3
（2017年春8）已知数列的通项公式为，则______
答案：
（2015理18文18）设是直线与圆在第一象限的交点，则极限（）
A、B、C、D、
解：
当时，直线趋近于，与圆在第一象限的交点无限靠近，而可看成点与连线的斜率，其值会无限接近圆在点处的切线的斜率，其斜率为，
∴
（2013文18）记椭圆围成的区域（含边界）为，当点分别在上时，的最大值分别是，则（）
A．0B．C．2D．
答案：
D
知识点12：
无穷等比数列各项的和
（2016理17）已知无穷等比数列的公比为，前n项和为，且.下列条件中，使得恒成立的是（）
（A）（B）
（C）（D）
答案：
B
思考：
需要满足____________
答案：
（2014理8文10）设无穷等比数列的公比为，若，则___
答案：
知识点13：
数列与函数的性质结合
（2009文13）已知函数．项数为27的等差数列满足,且公差．若，则当=．时,．
答案：
14
知识点14：
数列与三角函数结合
（2015理13）已知函数．若存在满足，且，则的最小值为 ．
答案：
8
（2012文18）若（），则在中，正数的个数是（）
A．16B．72C．86D．100
答案；C
（2012理18）设，，在中，正数的个数是（）
A．25B．50C．75D．100
答案：
D
知识点15：
数列与矩阵结合
（2013理17）在数列中，．若一个7行12列的矩阵的第行第列的元素（；），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）
A．18B．28C．48D．63
答案：
A
知识点16：
数列与不等式结合
（2018秋21）给定无穷数列，若无穷数列满足：
对任意，都有，则称与“接近”.
（1）设是首项为1，公比为的等比数列，，，判断数列是否与接近，并说明理由；
（2）设数列的前四项为：
，，，，是一个与接近的数列，记集合，求中元素的个数；
（3）已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：
与接近，且在，，，中至少有100个为正数，求的取值范围.
解析：
（1），所以与“接近”；
（2），，，，
元素个数；（3）时，，即，，…，中没有正数；当时，存在使得，，，…，，，即有100个正数，故．
（2018春21）若是递增数列，数列满足：
对任意，存在，使得，则称是的“分隔数列”．
（1）设，，证明：
数列是的“分隔数列”；
（2）设，是的前项和，，判断数列是否是数列的分隔数列，并说明理由；
（3）设，是的前项和，若数列是的分隔数列，求实数的取值范围．
答案：
（2）不是，反例：
时，无解；（3）
知识点17：
数列应用题
（2017秋19）共享单车问题：
每月供应量，，每月损失量，保有量为的累计量减去的累计和；
（1）求第4月的保有量；
（2），记为自行车停放点容纳车辆，当取最大值时，停放点是否能容纳？
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