优化方案高中数学第二章统计222用样本的数字特征估计总体的数字特征学案新人教A版必修3.docx
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优化方案高中数学第二章统计222用样本的数字特征估计总体的数字特征学案新人教A版必修3
2．2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
1．问题导航
（1）什么是众数、中位数、平均数、方差、标准差？
（2）如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？
（3）方差与标准差的联系与区别是什么？
2．例题导读
通过对例1的学习，理解标准差的意义；
通过对例2的学习，学会在实际生活中，如何用平均数与标准差来进行估计．
1．众数、中位数、平均数
（1）众数、中位数、平均数的概念
①众数：
在一组数据中，出现次数最多的数据（即频率分布最大值所对应的样本数据）叫这组数据的众数．
若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数．
②中位数：
将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫这组数据的中位数．
③平均数：
指样本数据的算术平均数．
即＝（x1＋x2＋…＋xn）．
（2）众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
众数
众数是最高矩形的中点所对应的数据，表示样本数据的中心值
中位数
①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差；
②表示样本数据所占频率的等分线
平均数
①平均数等于每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和；②平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点
2.标准差与方差
（1）标准差：
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，计算时通常用公式
s＝．
显然，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．
（2）方差：
标准差s的平方s2，即s2＝[（x1－）2＋…＋（xn－）2]叫做这组数据的方差，同标准差一样，方差也是用来测量样本数据的分散程度的特征数．
1．判断下列各题．（对的打“√”，错的打“×”）
（1）数据5，4，4，3，5，2的众数为4；（ ）
（2）数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半；（ ）
（3）方差与标准差具有相同的单位；（ ）
（4）如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．（ ）
解析：
（1）中的众数应为4和5；
（2）正确；（3）二者单位不一致；（4）正确，平均数也应减去该常数，方差不变．
答案：
（1）×
（2）√ （3）× （4）√
2．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是（ ）
A．平均数>中位数>众数
B．平均数<中位数<众数
C．中位数<众数<平均数
D．众数＝中位数＝平均数
解析：
选D.平均数、中位数、众数皆为50，故选D.
3．已知五个数据3，5，7，4，6，则该样本的标准差为________．
解析：
∵x＝×（3＋5＋7＋4＋6）＝5，
∴s＝＝.
答案：
4．标准差、方差的意义是什么？
解：
标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
1．样本众数通常用来表示分类变量的中心值，容易计算，但是它只能表达样本数据中的很少一部分信息，通常用于描述分类变量的中心位置．
2．中位数不受少数几个极端数据（即排序靠前或排序靠后的数据）的影响，容易计算，它仅利用了数据中排在中间数据的信息．当样本数据质量比较差，即存在一些错误数据（如数据的录入错误、测量错误等）时，应该用抗极端数据强的中位数表示数据的中心值，可以利用计算机模拟样本，向学生展示错误数据对样本中位数的影响程度．
3．平均数受样本中的每一个数据的影响，“越离群”的数据，对平均数的影响也越大．与众数和中位数相比，平均数代表了数据更多的信息．当样本数据质量比较差时，使用平均数描述数据的中心位置可能与实际情况产生较大的误差．可以利用计算机模拟样本，向学生展示错误数据对样本平均数的影响程度．在体育、文艺等各种比赛的评分中，使用的是平均数．计分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素而给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量保证公平性．
4．如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策．
5．使用者常根据自己的利益去选取使用中位数或平均数来描述数据的中心位置，从而产生一些误导作用．
中位数、平均数的综合应用
下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表：
老板
大厨
二厨
采购员
杂工
服务生
会计
3000元
450元
350元
400元
320元
320元
410元
（1）计算所有人员的周平均收入；
（2）这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？
为什么？
（3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的周收入的水平吗？
[解]
（1）周平均收入
1＝（3000＋450＋350＋400＋320＋320＋410）
＝750（元）．
（2）这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员．
（3）去掉老板的收入后的周平均收入2＝（450＋350＋400＋320＋320＋410）＝375（元），这能代表打工人员的周收入水平．
方法归纳
平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．
1．
（1）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（ ）
A．a>b>cB．b>c>a
C．c>a>bD．c>b>a
解析：
选D.总和为147，a＝14.7；样本数据17分布最广，即频率最大，为众数，c＝17；从小到大排列，中间一位，或中间二位的平均数，即b＝15.
（2）某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩（满分100分）统计如下表：
班级
平均分
众数
中位数
标准差
甲班
79
70
87
19.8
乙班
79
70
79
5.2
①请你对下面的一段话给予简要分析：
甲班的小刚回家对妈妈说：
“昨天的数学测验，全班平均分是79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！
”
②请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议．
解：
①由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游．但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好．
②甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；乙班学生成绩的中位数是79，平均数为79，说明平均水平与甲班相同，而标准差较小说明乙班分数大多数都集中在79分左右，高分人数和低分人数都较少，建议培养高分学生，提高平均水平．
用频率分布表或直方图求数字特征
已知一组数据：
125 121 123 125 127 129 125 128 130 129
126 124 125 127 126 122 124 125 126 128
（1）填写下面的频率分布表：
分组
频数
频率
[120.5，122.5）
[122.5，124.5）
[124.5，126.5）
[126.5，128.5）
[128.5，130.5]
合计
（2）作出频率分布直方图；
（3）根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数．
（链接教材P76例1）
[解]
（1）
分组
频数
频率
[120.5，122.5）
2
0.1
[122.5，124.5）
3
0.15
[124.5，126.5）
8
0.4
[126.5，128.5）
4
0.2
[128.5，130.5]
3
0.15
合计
20
1
（2）频率分布直方图如图：
（3）在[124.5，126.5）中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5，事实上，众数的精确值为125.
又∵前两个小矩形的频率和为0.25.
∴设第三个小矩形底边的一部分长为x.
则x×0.2＝0.25，得x＝1.25.
∴中位数为124.5＋1.25＝125.75.
事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：
＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8，平均数的精确值为＝125.75.
方法归纳
利用频率分布直方图求数字特征：
①众数是最高的矩形的底边的中点．
②中位数左右两侧直方图的面积相等．
③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标．
④利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致．但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．
2．
（1）（2015·福建检测）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为x，则（ ）
A．me＝m0＝B．me＝m0<
C．me解析：
选D.由题意得m0＝5，me＝＝5.5，＝
＝，显然x>me>m0，故选D.
（2）某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.
求：
①高一参赛学生的成绩的众数、中位数；
②高一参赛学生的平均成绩．
解：
①用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，∴设第二个小矩形底边的一部分长为x，
则x×0.04＝0.2，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.
②依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，
∴平均成绩约为67分．
标准差、方差的应用
甲、乙两机床同时加工直径为100mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：
甲：
99 100 98 100 100 103
乙：
99 100 102 99 100 100
（1）分别计算两组数据的平均数及方差；
（2）根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
（链接教材P77例2）
[解]
（1）甲＝（99＋100＋98＋100＋100＋103）
＝100，
乙＝（99＋100＋102＋99＋100＋100）＝100.
s＝[（99－100）2＋（100－100）2＋（98－100）2＋（100－100）2＋（100－100）2＋（103－100）2]＝，
s＝[（99－100）2＋（100－100）2＋（102－100）2＋
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