定积分练习题.docx
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定积分练习题
题型
1.定积分与极限的计算
2.计算下列定积分
3.计算下列广义积分
内容
一．定积分的概念与性质
1.定积分的定义
2.定积分的性质
3.变上限函数及其导数
4.牛顿—莱布尼茨公式
5.换元积分公式与分部积分公式
6.广义积分
题型
题型I利用定积分定义求极限
题型II比较定积分的大小
题型III利用积分估值定理解题
题型IV关于积分上限函数以及牛顿—莱布尼茨公式问题
题型V定积分的计算
题型VI积分等式证明题型VII积分不等式证明题型VHI广义积分的计算
自测题五
1•根据极限计算定积分
2•根据定积分求导
3•求极限
4•求下列定积分5•证明题
4月21日定积分练习题
基础题：
一•选择题、填空题
1•将和式的
lim
n
123
p1n
p
n-（P
0）表示成定积分
A.Tdx
0x
B.
xpdx
11
C0（；）pdx
D.0（-）pdx
0n
1一
—）表示为定积分
2n
1
A.xdx
0
B.
（X
1）dx
1
C.1dx
0
11
D.dx
02
（
）
21
22
23
A.
3
B.
3
C.
3
5.曲线
ycosx,x
[0,
2
］与坐标周围成的面积
4.1|x24|dx=
011
（）
D.
25
3
A.4
B.2
C.
D.3
1
2
x
6.（e
e）dx=
（
）
1
2
1
A.e
——
B.2e
C.
D.e
—
e
e
e
1
exdx,n
e1
7若m
dx,
则
m与
n的大小关系是（）
0
1x
A.mn
B.
mn
C.
mn
D.无法确定
8.按万有引力定律，两质点间的吸引力
mm2
Fk一厂,k为常数，mi,m2为两质点的质量,r
所作之功（b>a）.
2
9•由曲线yx1和x轴围成图形的面积等于S.给出下列结果:
i2
①‘X21）dx;②
i2i202
则S等于（
）
A.①③
B.③④
C.②③
D.②④
）
1x2）dx;③2o（x21）dx;④2,1x2）dx•
x
10.y0（sintcostsint）dt，贝Vy的最大值是（
D.0
7
A.1B.2C.-
2
1
11.若f（x）是一次函数，且0f（x）dx
1172f（x）
0xf（x）dx17，那么1"Tdx的值是
0若F（x）在
tf（t）dt
13.F（x）02,x0，其中f（x）在x0处连续，且f（0）
x
c,x0
x0处连续，则c（）。
（A）.C0；
（B）.C1；
（C）.c不存在；
（D）.C1.
14•设bf（x）dx0且f（x）在［a,b］连续，则（
（A）.f（x）0;
（B）•必存在x使f（x）0;
（C）存在唯一的一点x使f（x）
（A）
（B）
20.定积分
2maXx3,x,1}dx等于（）
（A）
0
（B）
4
16
97
（C）
~3
（D）
x2
_x2
+
21.设f（x）
ln（1
t）dt,g（x）arcsindt,则当x0时,f（x）是g（x）的（）
0
0
2
（C）
21
（D）
2（..21）
（A）同阶无穷小，但不等价
（B）等价无穷小
（C）低价无穷小
（D）高价无穷小
x
22.F（x）etcostdt,则F（x）在［0,］上有（）
0
综合题:
（1）
1x2,
2dx
0x2x2
1
°ln（1x）dx
2
2&
S4x2xcos5x）dx
edx
ex、（1lnx）lnx
2dx
（5）
0
（32x
x2
02
「4—x2dx
（8）已知函数f（x）在[0,2]上二阶可导，且:
2t12
of（x）dx4,求：
°x2f''（2x）dx
f
（2）
1,
f'
（2）0及
…、arctanx,dx
（9）1（10）1e?
^^
1210
（12）1（1x）dx
x
（13）求极限lim（丄
x0
（14）用定积分定义计算极限：
lim（
n
22
x
0_2
xx
n-2）
n
1t2dtsintdt
-）
（15）设隐函数yy（x）由方程x3
xt2
°edty
In4
0所确定,
（16）设f（x）
处可导,
2xt2
0（e1）dt
2
x
Ax0
并求出f'（0）.
°,问当A为何值时,
f（x）在x
（17）设f（x）
cos4x2jf（x）dx,其中f（x）为连续函数，试求:
f（x）
2
（18）设正整数a，且满足关系lim（-―）x1xe4xdx，试求a的值。
x0axa
4月22日定积分练习题基础题：
I
1•积分中值定理af（x）dxf（）（ba），其中（）。
（A）
是［a,b］内任一点；
（B）.
是［a,b］内必定存在的某一点；
（C）.
是［a,b］内唯一的某一点；
（D）.
是［a,b］的中点。
2.
1
1（1
x）.1x2dx（）
（A）
（B）（C）2
（D）—
2
4
3.设
f
1
C［0,1］，且0f（x）dx2，
2
贝y；f（cosx）sin2xdx（）
（A）
2
（B）3（C）4
（D）1
b
4.设f（x）在［a,b］上连续，且f（x）dx
a
0，则（）。
（A）在［a,b］的某个子区间上，f（x）0；
（C）在［a,b］内至少有一点c,f（c）0；
（D）在［a,b］内不一定有x,使f（x）0。
2
5.x32x2xdx=（）
0
（A）
（B）
15（22）
（C）
4.2
3
（D）
8.2
5
Inx
6.一ln（1t）dt=（）dx2x
1
（A）-ln（1lnx）2ln（12x）x
1
（B）丄ln（1lnx）ln（12x）x
（C）ln（1lnx）ln（12x）
（D）ln（1lnx）2ln（12x）
2
2（1cosx）x
0
7.f（x）1x
x
0,则f（x）在x0点（）
1cost2dtx
x0
0
（A）
连续，但不可导
（B）
可导，但导函数不连续
（C）不连续
（D）导函数连续
（A）1
（B）
（C）
1e
r~e
1e
r~e
（D）1
填空、选择题
⑴討n8xdx
02COS7xdx
⑵lim0
x0
2
⑶1
x
tsintdt
0
ln（1x）
x22xdx
x
（4）曲线yt（1t）dt的上凸区间是
1
（5）71~dx;
（6）设f（x）是连续函数，且f（x）sinxof（x）dx,
12005x
⑺1x（1x）（e
1
（8）xim芯1
则：
f（x）
ex）dx
（9）设函数y
x
ln（1
dt
2
x
0（t
2
1）etdt的极大值点为
dt
_个根
（D）3
:
[f®
（D）2
（10）设正值函数f（x）在［a,b］上连续，则函数F（x）
在（a,b）上至少有_
（A）0（B）1（C）2
2
xxr「
（11）f（t）dt,贝y：
04
（A）16（B）8（C）4
21
（12）pdx収2—
31
-（B）—
22
1dx
x、x21
（A）
（13）1
（A）
0（B）2
•计算下列定积分的值
（1）
32
1（4xx）dx；
（5）
n
22cos0
（9）
dx
1e
0
（13）
e1
1一（1nx）dxex
（17）
二求下列极限:
（D）不存在
（C）4
（D）发散
4月23日定积分练习题
（2）
（6）
25
（x1）dx；
（3）
02（x
sinx）dx;
2
（4）2cosxdx；
~2
（10）
2
（14）0
cosx
1
0（“
3）dx
（7）
11
01
2
X
—dx.
x；
（8）
e2dx
xInx；
0打an2xdx
5cos
xsin2xdx;
（11）4
1
——）dx;
x
（12）
dx
01x
（15）02
sinxdx;（16）
dx
1
0（x2x1）3/2；
1
（18）0g
dx
x
e
1x2
⑴lim;0costdt；
⑵lim
X
xt2
（°edt）
x2t2
edt
0
三•利用定积分求极限
（i）lim
n
（n1）2
（n2）2
（nn）2
（2）lim
n
n（J
n
1
（n22）
1
2n2
）；
四•证明题
dx
（1设f'（x）在（，）上连续，证明：
一（（xt）f'（t）dt）f（x）f（a）
dxa
・3
（2）证明:
2sinxdx
0sinxcosx
1
（4）设f（x）在［0,1］上可导，且满足f
（1）2jxf（x）dx,证明：
必存在点（0,1）,
使得f'（）丄。
（利用积分中值定理和Rolle定理证明）
4月24日定积分练习题
一、填空题：
b
1•如果在区间［a,b］上，f（x）1,则f（x）dx.
a
1
2.0（2x3）dx.
X2
3.设f（x）Qsint2dt,则f（x）.
1t2
4.设f（x）edt,贝Uf（x）
cosx
6.
耳sin2n1xdx
2
7.
8.
比较大小,
\2dx
1
\3dx.
1
9.
由曲线y
sinx与x轴,在区间［0,］上所围成的曲边梯形的面积为
10.曲线yx2在区间［0,1］上的弧长为
二、选择题：
1.设函数
3
f（x）仅在区间［0,4］上可积，则必有°f（x）dx=［］
2
0f（x）dx
3
2f（x）dx
B.
1
0f（x）dx
3
1f（x）dx
C.
5
0f（x）dx
3
5f（x）dx
D.
10
f（x）dx
2•设Ii=
1
0xdx，I2=
22
1xdx，则[
A.1112
B.I1I2
C.I
x3
0（tD（t
2）dt则dyx0dx1
A.2B.-2
C.0
D.1
x（23x）dx
2,则a
A.2B.-1
C.0
D.1
3.y
i
112
a
4.
0
D.I1I2
5.设f（x）=
x2（x
x（x
0）
0）
f（x）dx=[
0
2xdx
1
B.
2x2dx
0
C.
D.
1
xdx
0
2dx
6.£叫
x2
sintdt
0
2
x
1
B.-
3
C.
D.1
7.F（x）
x
etcostdt,则F（x）在[0,
］上有（
（E）F（=）为极大值,F（0）为最小值
（A）2
（B）-2
1
（C）4
（D）-
4
10.定积分
1ln（1
0
（B）
（C）
In2
（D）
11.定积分
（B）
（A）
（C）
（D）
12.下述结论错误的是
（A）0
发散
七dx收敛
=dx发散
1x2
13.设函数fR[a,b],
则极限
lim
n
0
f（x）|sinnx|dx
等于（）
（A）
2f（x）dx
0
（B）
-f（x）dx
0
（C）
1f（x）dx
0
（D）
不存在
14.设
f（x）为连续函数，且满足
x
0f（t
x）dt
1，则f（x）
（A）
（B）
（C）
（D）
15.设正定函数f
C[a,
b）,
F（x）
x
a®*
1
bf&
dt，则F（x）
（a,b）内根的个数为
（A）0
（B）
（C）2
（D）
16.定积分的定义为
f（x）dx
lim0
f（
以下哪些任意性是错误的
（A）
随然要求当
max
Xi0时,
f（i）Xi的极限存在且有限，但极限值仍是
i
任意的。
（B）
积分区间［a,b］所分成的分数n是任意的。
（C）
对给定的份数n，如何将［a,b］分成n份的分法也是任意的，即除区间端点
ax0,bxn外，各个分点
x1x2
Xn1的取法是任意的。
17.
Inx
ln（1
dx2x
t）dt=（
1
（D）-In（1Inx）2In（12x）x
1
（E）ln（1Inx）ln（12x）x
（F）In（1Inx）In（12x）
（D）ln（1Inx）
2ln（1
2x）
18.
乎（八2、1
dx'
tdt）
（）
（A）
x2、.1x
（C）
x4.、1x2
三.计算题：
1
.gx1
dx0
t2dt
3.
1dx
0.厂x2
5.
a1
dx（a
0）
°.x2a2
t2
1
2
（B）x1x、2
（D）2x51x2
2.
（
4.Iim-
x0
6.
sinxdx
xt22
etdt）2
o/
X2t2
tedt
0
4dx
7.te2dt
0
8.
exdx
5.cos5xsinxdx
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