八年级数学 整式的乘法与因式分解知识点总结及同步练习.docx

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八年级数学整式的乘法与因式分解知识点总结及同步练习

整式乘除与因式分解

一．知识点（重点）

1．幂的运算性质：

am·an＝am＋n（m、n为正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

例：

（－2a）2（－3a2）3

2．＝amn（m、n为正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘．

例：

（－a5）5

3．（n为正整数）

积的乘方等于各因式乘方的积．

例：

（－a2b）3

练习：

（1）

（2）（3）

（4）（5）（6）

4．＝am－n（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）

同底数幂相除，底数不变，指数相减．

例：

（1）x8÷x2

（2）a4÷a（3）（ab）5÷（ab）2

（4）（-a）7÷（-a）5（5）（-b）5÷（-b）2

5．零指数幂的概念：

a0＝1（a≠0）

任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．

例：

若成立，则满足什么条件？

6．负指数幂的概念：

a－p＝（a≠0，p是正整数）

任何一个不等于零的数的－p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数．

也可表示为：

（m≠0，n≠0，p为正整数）

7．单项式的乘法法则：

单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

例：

（1）

（2）

8．单项式与多项式的乘法法则：

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．

例：

（1）

（2）

（3）（4）

9．多项式与多项式的乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．

例：

（1）

（2）（3）

练习：

1．计算2x3·（－2xy）（－xy）3的结果是

2．（3×108）×（－4×104）＝

3．若n为正整数，且x2n＝3，则（3x3n）2的值为

4．如果（anb·abm）3＝a9b15，那么mn的值是

5．－[－a2（2a3－a）]＝

6．（－4x2＋6x－8）·（－x2）＝

7．2n（－1＋3mn2）＝

8．若k（2k－5）＋2k（1－k）＝32，则k＝

9．（－3x2）＋（2x－3y）（2x－5y）－3y（4x－5y）＝

10．在（ax2＋bx－3）（x2－x＋8）的结果中不含x3和x项，则a＝，b＝

11．一个长方体的长为（a＋4）cm，宽为（a－3）cm，高为（a＋5）cm，则它的表面积为，体积为。

12．一个长方形的长是10cm，宽比长少6cm，则它的面积是，若将长方形的长和都扩大了2cm，则面积增大了。

10．单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：

对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

例：

（1）28x4y2÷7x3y

（2）-5a5b3c÷15a4b（3）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3

11．多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

例：

练习：

1．计算：

（1）；　　

（2）；

（3）．（4）

（5）

2．计算：

（1）；　

（2）

（3）

3．计算：

（1）；

（2）．

4.若（ax3my12）÷（3x3y2n）=4x6y8,则a=,m=,=;

易错点：

在幂的运算中，由于法则掌握不准出现错误；

有关多项式的乘法计算出现错误；

误用同底数幂的除法法则；

用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错；

乘除混合运算顺序出错。

12．乘法公式：

①平方差公式：

（a＋b）（a－b）＝a2－b2

文字语言叙述：

两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．

②完全平方公式：

（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

（a－b）2＝a2－2ab＋b2

文字语言叙述：

两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．

例1：

（1）（7+6x）（7−6x）；

（2）（3y＋x）（x−3y）；（3）（−m＋2n）（−m−2n）．

例2：

（1）（x+6）2

（2）（y-5）2（3）（-2x+5）2

练习：

1、=_______。

＝______________。

2、（_____________________）

3、；（______________）

4、已知，那么=_______；=_______。

5、若是一个完全平方式，那么m的值是__________。

6、多项式的公因式是_____________________。

7、因式分解：

__________________________。

8、因式分解：

____________________________。

9、计算：

_____________________。

10、，则=_____________________

易错点：

错误的运用平方差公式和完全平方公式。

13．因式分解（难点）

因式分解的定义．

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．

掌握其定义应注意以下几点：

（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；

（2）因式分解必须是恒等变形；

（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．

弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．

因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．

 二、熟练掌握因式分解的常用方法．

1、提公因式法

（1）掌握提公因式法的概念；

（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：

①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；

（3）提公因式法的步骤：

第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．

（4）注意点：

①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．

例：

（1）

（2）

 2、公式法

运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；

常用的公式：

①平方差公式：

a2－b2＝（a＋b）（a－b）

②完全平方公式：

a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2

a2－2ab＋b2＝（a－b）2

例：

（1）　　　　　　　　　　

（2）

（3）　　　　　（4）

练习：

1、若是完全平方式，则的值等于_____。

2、则=____=____

3、与的公因式是＿

4、若=，则m=_______，n=_________。

5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的

有________________________，其结果是_____________________。

6、若是完全平方式，则m=_______。

7、

8、已知则

9、若是完全平方式M=________。

10、，

11、若是完全平方式，则k=_______。

12、若的值为0，则的值是________。

13、若则=_____。

14、若则___。

15、方程，的解是________。

易错点：

用提公因式法分解因式时易出现漏项，丢系数或符号错误；

分解因式不彻底。

中考考点解读：

整式的乘除是初中数学的基础,是中考的一个重点内容.其考点主要涉及以下几个方面：

考点1、幂的有关运算

例1．在下列运算中，计算正确的是（　　）

（A）（B）

（C）（D）

分析:

幂的运算包括同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法运算.幂的运算是整式乘除运算的基础,准确解决幂的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则.

解：

根据同底数幂的乘法运算法则知，所以（A）错；根据幂的乘方运算法则知，所以（B）错；根据同底数幂的除法法则知，所以（C）错；故选（D）.

例2.已知，，则____________．

分析:

本题主要考查幂的运算性质的灵活应用，可先逆用同底数幂的乘法法则,将指数相加化为幂相乘的形式,再逆用幂的乘方的法则,将指数相乘转化为幂的乘方的形式,然后代入求值即可.

解：

.

考点2、整式的乘法运算

例3．计算：

=．

分析:

本题主要考查单项式与多项式的乘法运算.计算时，按照法则将其转化为单项式与单项式的乘法运算,注意符号的变化.

解：

＝＝.

考点3、乘法公式

例4.计算：

分析:

运用多项式的乘法法则以及乘法公式进行运算，然后合并同类项.

解：

=

==.

例5.已知：

，，化简的结果是　　　．

分析:

本题主要考查多项式与多项式的乘法运算.首先按照法则进行计算,然后灵活变形，使其出现（）与，以便求值.

解：

===.

考点4、利用整式运算求代数式的值

例6．先化简，再求值：

，其中．

分析:

本题是一道综合计算题,主要在于乘法公式的应用.

解：

当，时，.

考点5、整式的除法运算

例7.计算：

[（2x－y）（2x＋y）＋y（y－6x）]÷2x

分析:

本题的一道综合计算题,首先要先算中括号内的,注意乘法公式的使用,然后再进行整式的除法运算.

解：

[（2x－y）（2x＋y）＋y（y－6x）]÷2x

＝（4x2－y2＋y2－6xy）÷2x

＝（4x2－6xy）÷2x

＝2x－3y.

考点6、定义新运算

例8.在实数范围内定义运算“”，其法则为：

，求方程（43）的解．

分析:

本题求解的关键是读懂新的运算法则，观察已知的等式可知，在本题中“”定义的是平方差运算，即用“”前边的数的平方减去“”后边的数的平方.

解：

∵，∴．

∴．∴．

∴．

考点7、乘法公式

例3

（1）当时，代数式的值是　　　　．

（2）已知：

a+b=3，ab=2，求a2+b2的值.

解析：

问题

（1）主要是对乘法的平方差公式的考查.原式=x2-y2+y2=x2=32=9.问题

（2）考查了完全平方公式的变形应用，∵，∴.

说明：

乘法公式应用极为广泛，理解公式的本质，把握公式的特征，熟练灵活地使用乘法公式，可以使运算变得简单快捷，事半功倍.

考点8、因式分解

例4

（1）分解因式：

．

（2）分解因式：

a2b-2ab2+b3=____________________.

解析：

因式分解的一般步骤是：

若多项式的各项有公因式，就先提公因式，然后观察剩下因式的特征，如果剩下的因式是二项式，则尝试运用平方差公式；如果剩下的因式是三项式，则尝试运用完全平方公式继续分解.

（1）x（y2-9）=．

（2）a2b-2ab2+b3=b（a2-2ab+b2）=b（a-b）2．

说明：

分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.