×10×30＋10×30＋（t－20）×30－
×（t－20）×2（t－20）＝－t2＋70t－550.
综上可知s＝
所以沙尘暴发生30h后将侵袭到N城.
【思维升华】
（1）在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升（自变量的系数大于0）或直线下降（自变量的系数小于0），构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解.
（2）有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决.
（3）在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域.
【跟踪训练】
如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地
平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的
轨迹在方程y＝kx－
（1＋k2）x2（k>0）表示的曲线上，其中k与发射
方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
（1）求炮的最大射程.
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？
请说明理由.
【解析】
（1）令y＝0，得kx－
（1＋k2）x2＝0，
由实际意义和题设条件知x>0，k>0，
故x＝
＝
≤
＝10，当且仅当k＝1时取等号.
所以炮的最大射程为10千米.
（2）因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，
使3.2＝ka－
（1＋k2）a2成立
⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
⇔判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0⇔a≤6.
所以当a不超过6千米时，可击中目标.
专题二高考中导数的应用的问题
题型一 利用导数研究函数性质
【例1】 （·课标全国Ⅱ）已知函数f（x）＝lnx＋a（1－x）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当f（x）有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
【思维升华】 利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值．已知f（x）的单调性，可转化为不等式f′（x）≥0或f′（x）≤0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图象的性质进行分析．
【跟踪训练】 已知a∈R，函数f（x）＝（－x2＋ax）ex（x∈R，e为自然对数的底数）．
（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在（－1,1）上单调递增，求a的取值范围．
题型二 利用导数研究不等式问题
【例2】 已知f（x）＝xlnx，g（x）＝－x2＋ax－3.
（1）对一切x∈（0，＋∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：
对一切x∈（0，＋∞），都有lnx>
－
成立．
【解析】
（1） ∀x∈（0，＋∞），有2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋
，
设h（x）＝2lnx＋x＋
（x>0），
则h′（x）＝
，
①当x∈（0,1）时，h′（x）<0，h（x）单调递减，
【思维升华】
（1）恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解．
（2）证明不等式，可以转化为求函数的最值问题．
【跟踪训练】 已知函数f（x）＝
＋
，曲线y＝f（x）在点（1，f
（1）处的切线方程为x＋2y－3＝0.
（1）求a，b的值；
（2）证明：
当x>0，且x≠1时，f（x）>
.
【解析】
（1） f′（x）＝
－
.
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－
，且过点（1,1），
故
即
解得a＝1，b＝1.
（2）证明 由
（1）知f（x）＝
＋
，
所以f（x）－
＝
.
考虑函数h（x）＝2lnx－
（x>0），
则h′（x）＝
－
＝－
.
所以当x≠1时，h′（x）<0.而h
（1）＝0，故当x∈（0,1）时，h（x）>0，可得
h（x）>0；
当x∈（1，＋∞）时，h（x）<0，可得
h（x）>0.
从而当x>0，且x≠1时，f（x）－
>0.
即f（x）>
.
题型三 利用导数研究函数零点或图象交点问题
【例3】 设函数f（x）＝lnx＋
，m∈R.
（1）当m＝e（e为自然对数的底数）时，f（x）的极小值；
（2）讨论函数g（x）＝f′（x）－
零点的个数．
【解析】
（2）由题设g（x）＝f′（x）－
＝
－
－
（x>0），
令g（x）＝0，得m＝－
x3＋x（x>0）．
设φ（x）＝－
x3＋x（x≥0），
则φ′＝－x2＋1＝－（x－1）（x＋1），
当x∈（0,1）时，φ′（x）>0，φ（x）在（0,1）上单调递增；
当x∈（1，＋∞）时，φ′（x）<0，φ（x）在（1，＋∞）上单调递减．
∴x＝1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ（x）的最大值点．
∴φ（x）的最大值为φ
（1）＝
.
又φ（0）＝0，结合y＝φ（x）的图象（如图），
可知
【思维升华】
用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合思想画草图确定参数范围．
【跟踪训练】 已知函数f（x）＝2lnx－x2＋ax（a∈R）．
（1）当a＝2时，求f（x）的图象在x＝1处的切线方程；
（2）若函数g（x）＝f（x）－ax＋m在
，e]上有两个零点，求实数m的取值范围．
【解析】
（1）当a＝2时，f（x）＝2lnx－x2＋2x，f′（x）＝
－2x＋2，切点坐标为（1,1），切线的斜率k＝f′
（1）＝2，则切线方程为y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0.
（2）g（x）
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