小学数学图形计算例题大汇总.docx

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小学数学图形计算例题大汇总

第一讲不规那么图形面积的计算〔一〕

　　我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规那么图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：

　　实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规那么图形。

　　那么，不规那么图形的面积及周长怎样去计算呢？

我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

例1如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影局部的面积。

　　解：

阴影局部的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白〞三角形〔△ABG、△BDE、△EFG〕的面积之和。

　　又因为S甲+S乙=12×12+10×10=244，

　　所以阴影局部面积=244-〔50+132+12〕=50〔平方厘米〕。

例2如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.

　　解：

因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，所以四边形AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD

　　在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，

　　∴△ECF的面积为2×2÷2=2。

　　所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10〔平方厘米〕。

例3两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。

如右图那样重合.求重合局部〔阴影局部〕的面积。

　　解：

在等腰直角三角形ABC中

　　∵AB=10

　　∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，

　　∴阴影局部面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17〔平方厘米〕。

例4如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，假设△△ABD及△ACE的面积.

△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.

　　所以△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。

　　又由于△ACE与△ACD等底、等高，所以△ACE的面积是15平方厘米。

例5如下页右上图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘

　　解：

过E作BC的垂线交AD于F。

　　在矩形ABEF中AE是对角线，所以S△ABE=S△AEF=8.在矩形CDFE中DE是对角线，所以S△ECD=S△EDF。

例6如右图，：

S△ABC=1，

　　解：

连结DF。

　　∵AE=ED，

　　∴S△AEF=S△DEF；S△ABE=S△BED，

例7如下页右上图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？

　　解：

连结AG，自A作AH垂直于DG于H，在△ADG中，AD=4，DC=4〔AD上的高〕.

　　∴S△AGD=4×4÷2=8，又DG=5，

　　∴S△AGD=AH×DG÷2，

　　∴AH=8×2÷5=3.2〔厘米〕，

　　∴DE=3.2〔厘米〕。

例8如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影局部面积.

　　解：

∵梯形面积=〔上底+下底〕×高÷2

　　即45=〔AD+BC〕×6÷2，

　　45=〔AD+10〕×6÷2，

　　∴AD=45×2÷6-10=5米。

　　∴△ADE的高是2米。

　　△EBC的高等于梯形的高减去△ADE的高，即6-2=4米，

例9如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.

　　证明：

连结CE，ABCD的面积等于△CDE面积的2倍，而DEFG的面积也是△CDE面积的2倍。

　　∴ABCD的面积与DEFG的面积相等。

习题一

　　一、填空题〔求以下各图中阴影局部的面积〕：

　　二、解答题：

　　1.如右图，ABCD为长方形，AB=10厘米，BC=6厘米，E、F分别为AB、AD中点，且FG=2GE.求阴影局部面积。

　　2.如右图，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为12厘米和6厘米.求四边形CMGN〔阴影局部〕的面积.

　　3.如右图，正方形ABCD的边长为5厘米，△CEF的面积比△ADF的面积大5平方厘米.求CE的长。

　　4.如右图，CF=2DF，DE=EA，三角形BCF的面积为2，四边形BEDF的面积为4.求三角形ABE的面积.

　　5.如右图，直角梯形ABCD的上底BC=10厘米，下底AD=14厘米，高CD＝5厘米.又三角形ABF、三角形BCE和四边形BEDF的面积相等。

求三角形DEF的面积.

　　6.如右图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米.求长方形的长、宽各是多少？

　　7.如右图，有一三角形纸片沿虚线折叠得到右以下图，它的面积与原三角形面积之比为2：

3，阴影局部的面积为5平方厘米.求原三角形面积.

　　8.如右图，ABCD的边长BC=10，直角三角形BCE的直角边EC长8，阴影局部的面积比△EFG的面积大10.求CF的长.

习题一解答

一、填空题：

二、解答题：

　　3．CE=7厘米．

可求出BE=12．所以CE=BE-5=7厘米．

　　4．3．提示：

加辅助线BD

　　∴CE=4，DE=CD-CE=5-4=1。

　　同理AF=8，DF=AD-AF=14-8=6，

　　6．如右图，大正方形边长等于长方形的长与宽的和.中间小正方形的边长等于长方形的长与宽的差.而大、小正方形的边长分别是8米和3米，所以长方形的宽为〔8-3〕÷2=2.5〔米〕，长方形的长为8-2.5=5.5〔米〕.

　　7．15平方厘米．解：

如右图，设折叠后重合局部的面积为x平方厘米，

x=5．所以原三角形的面积为2×5+5=15平方厘米．

　　∴阴影局部面积是：

10x-40＋S△GEF

　　由题意：

S△GEF＋10=阴影局部面积，

　　∴10x-40=10，x＝5〔厘米〕.

第五讲同余的概念和性质

　　你会解答下面的问题吗？

　　问题1：

今天是星期日，再过15天就是“六·一〞儿童节了，问“六·一〞儿童节是星期几？

　　这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15＝7×2+1，所以“六·一〞儿童节是星期一。

　　问题2：

1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？

　　这个问题也难不倒我们.因为，1993年有365天，而365=7×52+1，所以1994年的元旦应该是星期六。

“同余〞的概念.如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1，那么我们就说15与365对于模7同余。

　　同余定义：

假设两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：

　　a≡b〔modm〕.〔*〕

　　上式可读作：

　　a同余于b，模m。

　　同余式〔*〕意味着〔我们假设a≥b〕：

　　a-b=mk，k是整数，即m｜〔a-b〕.

　　例如：

①15≡365〔mod7〕，因为365-15=350=7×50。

　　②56≡20〔mod9〕，因为56-20=36＝9×4。

　　③90≡0〔mod10〕，因为90-0＝90=10×9。

　　由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：

a≡0〔modm〕。

　　例如，表示a是一个偶数，可以写

　　a≡0〔mod2〕

　　表示b是一个奇数，可以写

　　b≡1〔mod2〕

　　补充定义：

假设m〔a-b〕，就说a、b对模m不同余，用式子表示是：

　　ab〔modm〕

　　我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质〔其中a、b、c、d是整数，而m是自然数〕。

　　性质1：

a≡a〔modm〕，〔反身性〕

　　这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。

　　性质2：

假设a≡b〔modm〕，那么b≡a〔modm〕，〔对称性〕。

　　性质3：

假设a≡b〔modm〕，b≡c〔modm〕，那么a≡c〔modm〕，〔传递性〕。

　　性质4：

假设a≡b〔modm〕，c≡d〔modm〕，那么a±c≡b±d〔modm〕，〔可加减性〕。

　　性质5：

假设a≡b〔modm〕，c≡d〔modm〕，那么ac≡bd〔modm〕〔可乘性〕。

　　性质6：

假设a≡b〔modm〕，那么an≡bn〔modm〕，〔其中n为自然数〕。

　　性质7：

假设ac≡bc〔modm〕，〔c，m〕=1，那么a≡b〔modm〕，〔记号〔c，m〕表示c与m的最大公约数〕。

　　注意同余式性质7的条件〔c，m〕＝1，否那么像普通等式一样，两边约去，就是错的。

　　例如6≡10〔mod4〕，而35〔mod4〕，因为〔2，4〕≠1。

　　请你自己举些例子验证上面的性质。

　　同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。

例1判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？

　　解：

∵288-214=74=37×2。

　　∴288≡214〔mod37〕。

　　∵74-20=54，而3754，

　　∴7420〔mod37〕。

例2求乘积418×814×1616除以13所得的余数。

分析“大数化小〞，减少计算量。

　　解：

∵418≡2〔mod13〕，

　　814≡8〔mod13〕，1616≡4〔mod13〕，

　　∴根据同余的性质5可得：

　　418×814×1616≡2×8×4≡64≡12〔mod13〕。

　　答：

乘积418×814×1616除以13余数是12。

例3求14389除以7的余数。

分析同余的性质能使“大数化小〞，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。

　　解法1：

∵143≡3〔mod7〕

　　∴14389≡389〔mod7〕

　　∵89＝64+16+8+1

　　而32≡2〔mod7〕，

　　34≡4〔mod7〕，

　　38≡16≡2〔mod7〕，

　　316≡4〔mod7〕，

　　332≡16≡2〔mod7〕，

　　364≡4〔mod7〕。

　　∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5〔mod7〕，

　　∴14389≡5〔mod7〕。

　　答：

14389除以7的余数是5。

　　解法2：

证得14389≡389〔mod7〕后，

　　36≡32×34≡2×4≡1〔mod7〕，

　　∴384≡〔36〕14≡1〔mod7〕。

　　∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5〔mod7〕。

　　∴14389≡5〔mod7〕。

例4四盏灯如下图组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？

分析与解答经观察试验我们可以发现，每经过4次互换，四盏灯的颜色排列重复一次，而1小时=60分钟=120×30秒，所以这道题实质是求120除以4的余数，因为120≡0〔mod4〕，所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。