春季学期离散数学期末复习题.docx
《春季学期离散数学期末复习题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《春季学期离散数学期末复习题.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
春季学期离散数学期末复习题
2018年春季学期离散数学期末复习题
第一章集合论
一、判断题
（1）空集是任何集合的真子集.
（错）
（2）是空集.
（错）
（3）a{a},a
（对）
（4）设集合A1,2,1,2,则1,2
2A.
（对）
（5）如果aAB，则aA或a
B.
（错）
解aAB则aABAB,
即a
A且aB，所以aA且aB
（6）如果AUBB,则AB.（对）
（7）设集合A{6~2七3},B{644}，则
AB{a1,b1,a2,b2,
a3,b3
}
（错
）
（8）
设集合A{0,1},则{
0,
1,{0},0,
{0},1}是2A到A的关
系.
（对
）
解2
A
{,{0},{1},A,
2A
A{,0,,1,{0},0,
{0},1
{1},0,{1},1
A,0
A,1}
（9）
关系的复合运算满足交换律.
（错
）
（10）
是集合A上的关系
具有传递性的充分必要
条件•
（错）
（11）
设是集合A上的传递关系，则~也是A上的传递关系•
（对）
（12）
集合A上的对称关系必不是反对称的.
（错）
（13）设1,2为集合A上的等价关系,则12也是集合A上的等价关系（对）
（14）设是集合A上的等价关系，则当a,b时，[a][b]（对）
尸1°&2二QcPj
（15）设1,2为集合A上的等价关系，则"（错）
二、单项选择题
（1）设R为实数集合，下列集合中哪一个不是空集（A）
A.x|x210,且xRB.x|x290,且xR
C.x|xx1,且xRD.x|x21,且xR
A.B
B
．BC.
A
BD.
（3）
下列各式中不正确的是
A.
B
．C.
D.
（4）
设A
a,{a}
，则下列各式中错误的是
A.
Aa2A
B
．a2AC.
A
{a}2A
（5）
设A
1,2，
Ba,b,c，C
c,d
，则A（B
A.
c,1
2,c
B．
1,c
2,c
C.
1,c
c,2
D.
c,1
c,2
（6）
设A
0,b，
B1,b,3，则AB的恒等关系为
A.
0,0
1,1
b,b,3,3
B．
0,0,1,1
C.
0,0
b,b
3,3D.
0,1,1,b
（7）
设A
a,b,c
上的二元关系如下，
则具有传递性的为
A.
1
a,c,
c,a,a,b,
b,a
B．
2
a,c,
c,a
C.
3
a,b,
c,c,b,a,
b,c
D.
4
a,a
（8）
设为集合A上的等价关系，对任意a
A，其等价类
A.空集；
B．
非空集；C.
是否为空集不能确定；
D.
（9）映射的复合运算满足
A.交换律B．结合律（10）设A，B是集合，则下列说法中（
幂等律D.C）是正确的.
AB
C）为
C.
A.A到B的关系都是A到B的映射
B.A到B的映射都是可逆的
C.A到B的双射都是可逆的
D．AB时必不存在A到B的双射
{}
{a}
3,3
b,3,
D.{x|
（B
分配律
2A
3,0
xA}.
（11）设A是集合，则（B）成立•
A.#2A2#a
B.X2AXA
C.2A
D.A2A
（12）设A是有限集（#An）,则A上既是又是〜的关系共有（B）.
A.0个
B.1个
C.2个
D.n个
三、填空题
1.设A{1,2,{1,2}}，则2A.
填2A{,{1},{2},{{1,2}},{1,2},{1,{1,2}},{2,{1,2}},A}
2.设A{,{}}，则2A=.填2A{,{},{{}},A}
3.设集合代B中元素的个数分别为#A5,#B7,且#（AB）9,
则集合AB中元素的个数#（AB）.3
4.设集合A{x|1x100,x是4的倍数，xZ},
B{x|1x100,x是5的倍数，xZ}，则AB中元素的个数为.40
5.设A{a,b},是2a上的包含于关系，，则有
{,,,{a},,{b},,A,{a},{a},{a},A,{b},{b},{b},A,A,A}
6.设1,2为集合A上的二元关系，贝U1221
7.集合A上的二元关系为传递的充分必要条件是
8.设集合A0,1,2上的关系10,2,2,0及集合A到集合B0,2,4的关
填{0,0,0,2,2,0,2,2}
四、解答题
1.设集合A,1,2,,B1,2
求
（1）AU2B;
（2）2A2B
解
（1）AU2b,1,2,U,1,2,B
1,2,,1,2,B.
2）A2B{}，所以2A22{}{,{}}
2.设A{a,b,c,d},A上的关系
d,c}
{a,a,b,b,c,c,d,d,a,b,b,a,c,d
（1）写出的关系矩阵；
（2）验证是A上的等价关系；
（3）求出A的各元素的等价类。
解
（1）的关系矩阵为
3.设集合A{1,2,3,5,6,15,30},是A上的整除关系,
1）写出的关系矩阵M；
2）画出偏序集A,的哈斯图；
（4）
判断其是否为格。
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
解：
（1）
M0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
（3）求出A的子集B{3,6,15}的最小上界和最大下界;
（3）lubB=30,glbB=3
五、证明题
1•设1,2为集合A上的等价关系，试证12也是集合A上的等价关系。
证明：
由于
a,a
若
1,
1
a,b
2是自反的，所以对任意aA,
a,a
a,b
1,
2,由于
a,a2,因而
2，即
1
12是自反的。
2,贝Va,b1,
1,2是对称的，
所
以b,a
1,
b,a
2,从而b,a
12
，即1
2是对称的。
若
a,b,b,c1
2
则
a,b,
b,c
1,
a,b,b,c2,
由于
1,2是
传递的，所
以
a,c
1,
a,c
2,从而a,c1
2,
即1
2是传递的。
由于
1
2是自反的、对称的和传递的，所以
1
2是等价关系。
第二章代数系统
」、判断题
（1）集合A上的任一运算对
A是封闭的.
（对）
（2）代数系统的零元是可逆元
（错）
（3）设A是集合，：
AAA,abb，则
是可结合的.
（对）
a1
b.
（
对
）
（5）
设
a,b是群G,的兀素，则（ab）ab.
（
错
）
（6）
设
G,是群.如果对于任意a,bG，有（ab）2
22
ab,则
G,
是阿贝尔
群.
（
对
）
（7）
设
L,,是格,则运算满足幕等律.
（
对
）
（8）设集合A{a,b}，则{,{a},{b},A},,是格.（对）
（11）<{0,1,2,3,4},max,min>是格.
（10）设B,
「是布尔代数，则对任意
a,bB，有
ab
ab.
（对
二、单项选择题
（1）在整数集
Z上,
下列哪种运算是可结合的
（B）
A.aba
b
B
.ab
max{a,b}
C.aba
2b
D.
ab
|ab|
（2）下列定义的实数集
R上的运算
*中可结合的是.
（C）
（9）设B,,,是布尔代数，则B,,是格.
（对）
）
A.
ab
a
ab
B.
a
b
a
2ab
C.
a
b
b
D.
a
b
a
b
其中+•
1分别为实数的加法、乘法和取绝对值运算
（3）设集合A1,2,3,4,,10，下面定义的哪种运算关于集合A不是封闭的
（D）
A.
x
y
max{x,y}
B.
x
y
min{x,y}
C.
x
y
GCD{x,y}，即x,y的最大公约数
D.
x
y
LCM{x,y}，即x,y的最小公倍数
（4）下列哪个集关于减法运算是封闭的（B）
A.N（自然数集）；B.{2x|xZ（整数集）}；
（6）设代数系统A，•，则下面结论成立的是.（C）
A.如果A，•是群，则A，•是阿贝尔群
B.如果A,•
是阿贝尔群，则A,
-是循环群
C.如果A,•
是循环群，则A,•
是阿贝尔群
D.如果A,•
是阿贝尔群，则A,
-必不是循环群
（7）循环群Z,:
的所有生成元为
A.1,0B.-1,2C.1三、填空题
为•填,A
6.设G,；是群，e为单位元，若G元素a满足a2a，则a•填e
四、解答题
1.设为实数集R上的二元运算，其定义为
2
:
RR,abab2ab，对于任意a,bR
求运算的单位元和零元。
解：
设单位兀为e，则对任意aR,
有
ae
ae
2ae
a,
即e（12a）
0,由a的任意性知
e
0,
又对任意a
R,a0a00
a；
0a
0a
0
a
所以单位兀为
0
设零兀为，
则对任意aR，有a
a
2a
即a（12
）0,由a的任意性知
1
2
11
1
1
1
1
又对任意a
R,a（）a-
a
（）
a
aa
22
2，
2
2
2
所以零元为-
2
2.设为集合丨5{01,2,3,4}上的二元运算，其定义为
2
:
15l5,ab（ab）mod5，对于任意a,b15
（1）写出运算的运算表；
（2）说明运算是否满足交换律、结合律，是否有单位元和零元、如果有请指出;
（3）写出所有可逆元的逆元
解：
（1）运算表为
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1
（2）运算满足交换律、结合律，有单位元，单位元为1，有零元，零元为0；
3）1的逆元为1，2的逆元为3，3的逆元为2，4的逆元4,0没有逆元
五、证明题
1.设G,是一个群，试证G是交换群当且仅当对任意的a,bG,有
222
ab（ab）.
证明：
充分性
若在群
G,中，对任意的a,b
G,有
2a
b2
（ab）2.
则
（aa）（bb）（a
b）
（a
b）
a（ab）b
a（b
a）
b
ab
ba
从而G,
是一个交换群。
必要性
若G,
是一个交换群，对任意的
a,b
G
有
abba，则
a（ab）b
a（ba）b
（aa）（bb）
（ab）
（a
b）
即a2b2
（ab）2.
2.证明代数系统Z,是群，其中二元运算定义如下:
:
ZZ，xyxy3
（这里，+，—分别是整数的加法与减法运算•）
证明
（1）运算满足交换律
对任意
x,y,zZ,
由
（xy）
z
（xy
3）zx
y
z6,
x（y
z）
x（y
z3）x
y
z6
得（x
y）zx
（y
z）,即
满足结合律；
（2）有单位元3是单位元；
（3）任意元素有逆元
对任意xZ,x16x.所以,Z,是群.
第三章图论-、判断题
（1）n阶完全图的任意两个不同结点的距离都为1.
（2）图G的两个不同结点Vj,Vj连接时一定邻接.
（3）图G中连接结点vi,vj的初级通路为vi,vj之间的短程•（错）
（4）在有向图中，结点v到结点vj的有向短程即为vj到v的有向短程.
（错）
（5）强连通有向图一定是单向连通的.（对）
（6）不论无向图或有向图，初级回路一定是简单回路.（对）
（7）设图G是连通的，则任意指定G的各边方向后所得的有向图是弱连通的.
（对）
（9）设有向图D的可达矩阵为
1111
0111
P
0011
0001
（对）
（对）
（错）
则G是单向连通的.
（10）有生成树的无向图是连通的.
（12）下图所示的图有哈密尔顿回路
（13）下图中为欧拉图的是（C）
二、单项选择题
（1）
仅由孤立点组成的图称为
A.零图；B.平凡图；C.
（2）仅由一个孤立点组成的图称为
A.零图；B.平凡图；C.
（3）在任何图G中必有偶数个
A.度数为偶数的结点；B
C.入度为奇数的结点；D.
（4）设G为有n个结点的无向完全图，贝UG的边数为
A.n（n1）B.n（n1）C.n（n1）2D.（n1）2
（5）在有n个结点的连通图G中，其边数（B）
A.最多n1条；B.至少n1条；
C.最多n条；D.至少n条.
（6）任何无向图G中结点间的连通关系是（B）
A.偏序关系；B•等价关系；
C.既是偏序关系又是等价关系；D.既不是偏序关系也不是等价关系.
（7）对于无向图，下列说法中正确的是
A.不含平行边及环的图称为完全图
B•任何两个不同结点都有边相连且无平行边及环的图称为完全图
C.具有经过每条边一次且仅一次回路的图称为哈密尔顿图
D•具有经过每个结点一次且仅一次回路的图称为欧拉图
（8）设D是有向图，则D强连通的充分必要条件为.（C）
A•略去D中各边方向后所得到的无向图是连通的
B.D是单向连通图，且改变它的各边方向后所得到的有向图也是单向连通图
C.D的任意两个不同的结点都可以相互到达
D.D是完全图
（9）对于无向图G,以下结论中不正确的是.（A）
A•如果G的两个不同结点是连接的，则这两个结点之间有初级回路
B.如果G的两个不同结点是连接的，则这两个结点之间至少有一条短程
C.如果G是树，则任何两个不同结点之间有且仅有一条初级通路
D•如果G是欧拉图，则G有欧拉回路
（10）设简单无向图G的邻接矩阵为A（aj）nn,记A1（ai（（l））nn（l1,2,），则正确的
是.（C）
A.当Vj是G的两个不同结点时总1为Vj之间长度为I的初级通路条数
B.当M,Vj是G的两个不同结点时，a（"为w,Vj之间长度为I的简单通路条数
C.当Vi,Vj是G的两个不同结点时，a（"为Vi,Vj之间长度为I的的通路条数
D.当Vi是G的结点时，詔）为通过Vi的长度为I的初级回路条数
（11）Mmijnm是无向图GV,E的关联矩阵，ViV是G中的孤立点，则（A）
Vi对应的一行元素全为1;
Vi对应的一列元素全为1.
A.Vi对应的一行元素全为0;B
C.Vi对应的一列元素全为0;D.
三、填空题
1.设树T中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点，贝UT中有个4度结点.
解用握手定理和树的性质列出方程求解，设有X个4度结点，
794x2（73x1）,x1
2.
设TV,E为树，T中有4度，3度，2度分支点各1个，问T中有片树叶。
3.
n阶完全图的任意两个不同结点的距离都为
（2）因为
31212
13221
A=22411
12121
21112
V1V3V1V3,VMV5V3,eV",
V1V4V1V3,V1V3V5V3,V1V3V2V3,V1V3V4V3.
（3）由于图G是连通的，所以
V1
V2
V3
V4
V5
V1
1
1
1
1
1
V
1
1
1
1
1
C=V3
1
1
1
1
1
.
V4
1
1
1
1
1
V5
1
1
1
1
1
（4）
8
◎
e3
e4
e5
e6
0
V1
1
0
1
1
0
0
0
V2
1
1
0
0
0
0
1
M=V3
0
1
1
0
1
1
0
V4
0
0
0
1
1
0
0
V5
0
0
0
0
0
1
1
2.在下面的有向图D中，
回答下列冋题
z\
汕尹2
£
（1）写出图D的邻接矩阵A；
（2）写出结点V1到结点V3的长度为3的所有有向通路;
（3）写出结点V5到自身的长度为3的所有有向回路；
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
解：
（
1）A
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
2
1
（2）
A20
0
1
1
1
A30
1
1
2
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
2
1
所以结点Vi到结点V3的长度为3的所有有向通路只有一条：
V1V5V2V3
（3）结点V5到自身的长度为3的所有有向回路只有一条：
V5V2V1V5
3.在下面的无向图G中，回答下列问题
（1）写出a,d之间的所有初级通路；
（2）写出a,d之间的所有短程，并求d（a,d）；
（3）判断无向图G是否为欧拉图并说明理由。
解
（1）a,d之间的所有初级通路共有7条，分别为
aed，aecd，aebcd，abed，abcd，abecd，abced
（2）a,d之间的长度最短的通路只有1条，即aed，因而它是a,d之间
唯一的短程，d（a,d）2
（3）由于无向图G中有两个奇度顶点deg（b）3,deg（c）3，所以无向图G没有欧拉回路，因而不是欧拉图。
第四章数理逻辑
-、判断题
（1）“如果8+7>2,则三角形有四条边”是命题.（对）
（2）设P,Q都是命题公式，则PQ也是命题公式.（错）
（3）命题公式P,Q的真值分别为0,1，则PQ的真值为0
（以上是在对P,Q所包含的命题变元的某个赋值下）.（错）
（4）设p:
他生于1963年,q:
他生于1964年，则命题“他生于1963年或1964年”可以符
号化为pq.
（5）设P,Q都是命题公式，则PQ的充分必要条件为PQ1.（对）
（6）逻辑结论是正确结论.（错）
（9）设A,B,C都是命题公式，则
（ABC）（AC）
也是命题公式.（对）
（10）命题公式P,Q的真值分别为0,1,则PQ的真值为0
（以上是在对P,Q所包含的命题变元的某个赋值下）.（对）
二、单项选择题
（1）卜面哪个联结词不可父换
（B
）
a.;B.
;
C.;D.
（2）命题公式（p
（pq））
q是
（C
）
A.永假式；
B.
非永真式的可满足式；
C.永真式；
D.
等价式.
（3）记p:
他懂法律,
q:
他犯法,
则命题“他只有懂法律，
才不会犯法”可符号化为
（B
a.pq
b.qp
c.qp
d.pq
（4）下列命题中假命题是（B）.
A.如果雪不是白的，则太阳从西边出来
B.如果雪是白的，则太阳从西边出来
C.如果雪不是白的，则太阳从东边出来
D.只要雪不是白的，太阳就从西边出来
（5）设A，B都是命题公式，则AtB为可满足式是AB的（B）.
A.充分而非必要条件
B.必要而非充分条件
C.充分必要条件
D.既非充分又非必要条件
三、填空题
1.设p:
天气很冷，q:
老王还是来了，则命题“虽然天气很冷，但老王还是来了”符号化
为.pq
2.设p:
天下雨，q:
我骑自行车上班，则命题“如果天不下雨，我就骑自行车上班”符号
化为.pq
3.设p,q的真值为0，r,s的真值
升级会员 