春季学期离散数学期末复习题.docx

1、春季学期离散数学期末复习题2018年春季学期离散数学期末复习题第一章集合论一、判断题（1）空集是任何集合的真子集.（ 错）（2） 是空集.（错 ）(3) a a, a（对 ）(4)设集合 A 1,2, 1, 2 ,则 1, 22A.（对 ）（5）如果a A B，则a A或aB .（错 ）解 a A B 则 a A B A B,即aA且a B，所以a A且a B(6)如果 AU B B,则 A B. (对)(7)设集合 A 62七3 , B 644，则A B a1,b1 , a2,b2 ,a3 ,b3（错)(8)设集合A 0,1,则 ,0 ,1 , 0,0 ,0,1 是2A到A的关系.（对)解2

2、A ,0,1, A ,2AA ,0 , ,1 , 0,0 ,0,1,1,0 , 1,1,A,0,A,1 (9)关系的复合运算满足交换律.（错)(10)是集合A上的关系具有传递性的充分必要条件（错 ）(11)设 是集合A上的传递关系，则也是A上的传递关系（对）(12)集合A上的对称关系必不是反对称的 .（错）（13） 设1, 2为集合A上的等价关系,则1 2也是集合A上的等价关系（对）（14） 设 是集合A上的等价关系，则当 a,b 时，a b （ 对）尸 1 &2 二 Q c Pj（15） 设1, 2为集合 A上的等价关系，则 （ 错）二、单项选择题（1 ）设R为实数集合，下列集合中哪一个不是

3、空集 （A ）A. x|x2 1 0,且x R B . x | x2 9 0,且x RC. x | x x 1,且x R D. x | x2 1,且x RA. BB B C.AB D.（3）下列各式中不正确的是A.B C.D.（4）设Aa,a，则下列各式中错误的是A.A a 2 AB a 2 A C.Aa 2A（5）设A1,2 ，B a,b, c ， Cc, d，则 A (BA.c,1, 2,cB 1,c, 2,cC.1,c, c,2D.c,1, c,2（6）设A0,b ，B 1, b,3 ，则 A B 的恒等关系为A.0,0, 1,1, b,b , 3,3B 0,0 , 1,1C.0,0,

4、b,b, 3,3 D.0,1 , 1,b（7）设Aa,b, c上的二元关系如下，则具有传递性的为A.1a,c ,c,a , a,b ,b,aB2a,c ,c,aC.3a,b ,c,c , b,a ,b,cD.4a,a（8）设 为集合A上的等价关系，对任意 aA ，其等价类A. 空集；B 非空集； C.是否为空集不能确定；D.（9）映射的复合运算满足A. 交换律 B 结合律 （10）设 A， B 是集合，则下列说法中（幂等律 D. C ）是正确的 .ABC)为C.A . A到B的关系都是A到B的映射B . A到B的映射都是可逆的C. A到B的双射都是可逆的D A B 时必不存在 A 到 B 的双

5、射, a, 3,3, b,3 ,D. x|（ B分配律2A3,0x A .(11)设A是集合，则(B )成立A.#2A 2#aB.X 2A X AC.2AD.A 2A(12 )设A是有限集(#A n ),则A上既是 又是的关系共有(B ).A.0个B.1个C.2个D.n个三、填空题1.设 A 1, 2,1,2，则 2A .填 2A ,1,2,1,2, 1,2,1,1,2, 2,1,2, A2.设 A , ，则 2A= . 填 2A , , , A3.设集合 代B中元素的个数分别为 #A 5 , #B 7,且#(A B) 9 ,则集合A B中元素的个数#(A B) .34.设集合A x|1 x

6、100,x是4的倍数，x Z,B x|1 x 100,x是5的倍数，x Z，则A B中元素的个数为 .405.设A a,b, 是2a上的包含于关系，则有 , , ,a , ,b , ,A , a, a , a, A , b,b , b, A , A,A 6.设1, 2为集合 A上的二元关系，贝U 1 2 2 17.集合A上的二元关系 为传递的充分必要条件是 8.设集合A 0,1,2上的关系1 0,2 , 2,0 及集合A到集合B 0,2,4的关填 0,0 , 0,2 , 2,0 , 2,2 四、解答题1.设集合 A ,1,2, , B 1, 2求(1) AU 2B ; (2) 2A 2B解(1

7、) AU 2b ,1, 2, U , 1 , 2 , B,1,2, , 1, 2,B.2) A 2B ，所以 2A 2 2 , 2. 设 A a,b,c,d, A 上的关系d,c a,a , b,b , c,c , d,d , a,b , b,a , c,d （ 1）写出 的关系矩阵；（2）验证 是 A 上的等价关系；（3）求出 A 的各元素的等价类。解 （ 1） 的关系矩阵为3.设集合A 1,2,3,5,6,15,30, 是A上的整除关系,1） 写出 的关系矩阵 M ；2） 画出偏序集 A, 的哈斯图；(4)判断其是否为格。111111101001010010111解：（1）M0001011

8、000010100000110000001（3） 求出A的子集B 3,6,15的最小上界和最大下界;(3)lubB=30, glbB=3五、证明题1设1, 2为集合A上的等价关系，试证1 2也是集合A上的等价关系。证明：由于a, a若1,1a, b2是自反的，所以对任意 a A,a, aa,b1 ,2,由于a, a 2,因而2，即11 2是自反的。2,贝V a,b 1,1 , 2是对称的，所以 b, a1,b, a2,从而 b, a1 2，即12是对称的。若a,b , b,c 12则a,b ,b,c1,a,b , b,c 2 ,由于1, 2是传递的，所以a,c1,a,c2,从而 a,c 12

9、,即12是传递的。由于12是自反的、对称的和传递的，所以12是等价关系。第二章代数系统、判断题(1)集合A上的任一运算对A是封闭的.(对 )(2)代数系统的零元是可逆元(错 )(3)设A是集合，：A A A, abb，则是可结合的.(对 )a 1b.(对)(5)设a, b是群G,的兀素，则(a b) a b .(错)(6)设G,是群.如果对于任意 a,b G，有(a b)22 2a b ,则G,是阿贝尔群.(对)(7)设L,是格,则运算 满足幕等律.(对)(8)设集合 A a,b，则 ,a, b, A, 是格. (对 )(11) 是格.(10 )设 B, 是布尔代数，则对任意a,b B ，有a

10、 ba b .(对二、单项选择题(1 )在整数集Z 上,下列哪种运算是可结合的(B )A. a b abB.a bmax a, bC. a b a2bD.a b| a b|(2)下列定义的实数集R上的运算*中可结合的是.(C )(9)设 B, 是布尔代数，则 B, 是格.(对 )A.a baa bB.aba2a bC.abbD.abab其中 + 1分别为实数的加法、乘法和取绝对值运算(3)设集合A 1, 2, 3, 4, , 10，下面定义的哪种运算关于集合 A不是封闭的(D )A.xymaxx, yB.xymin x, yC.xyGCDx, y，即x, y的最大公约数D.xyLCM x, y

11、，即x, y的最小公倍数(4)下列哪个集关于减法运算是封闭的 (B )A. N (自然数集)； B . 2x|x Z(整数集)；(6)设代数系统 A，则下面结论成立的是. (C )A .如果A，是群，则 A，是阿贝尔群B.如果 A, 是阿贝尔群，则 A,-是循环群C.如果 A, 是循环群，则 A, 是阿贝尔群D.如果 A, 是阿贝尔群，则 A,-必不是循环群(7)循环群 Z,:的所有生成元为A. 1 , 0 B . -1 , 2 C. 1 三、填空题为 填 ,A6.设G,；是群，e为单位元，若 G元素a满足a2 a，则a 填e四、解答题1.设 为实数集R上的二元运算，其定义为2:R R, a

12、b a b 2ab，对于任意 a, b R求运算的单位元和零元。解：设单位兀为e，则对任意a R,有a ea e2aea,即 e(1 2a)0 ,由a的任意性知e0,又对任意aR, a 0 a 0 0a ；0 a0 a0a所以单位兀为0设零兀为 ，则对任意a R，有aa2a即 a(1 2)0 ,由a的任意性知121 11111又对任意aR, a ( ) a -a()aa a2 22，222所以零元为 -22.设 为集合丨5 01,2,3,4上的二元运算，其定义为2:15 l5, a b (ab)mod5，对于任意 a,b 15(1)写出运算的运算表；(2)说明运算 是否满足交换律、结合律，是否

13、有单位元和零元、如果有请指出;(3)写出所有可逆元的逆元解：(1 )运算表为01234000000101234202413303142404321(2)运算 满足交换律、结合律，有单位元，单位元为1，有零元，零元为0 ；3)1的逆元为1，2的逆元为 3，3的逆元为2，4的逆元 4, 0没有逆元五、证明题1.设 G, 是一个群，试证 G是交换群 当且仅当对任意的a,b G ,有2 2 2a b (a b).证明：充分性若在群G, 中，对任意的a, bG ,有2 ab2(a b)2 .则(a a) (b b) (ab)(ab)a (a b) ba (ba)ba bb a从而 G,是一个交换群。必要

14、性若G,是一个交换群，对任意的a, bG,有a b b a，则a (a b) ba (b a) b(a a) (b b)(a b)(ab)即 a2 b2(a b)2.2.证明代数系统 Z, 是群，其中二元运算 定义如下:Z Z，x y x y 3(这里，+，分别是整数的加法与减法运算 )证明(1)运算满足交换律对任意x, y, z Z,由(x y)z(x y3) z xyz 6,x (yz)x (yz 3) xyz 6得(xy) z x(yz),即满足结合律；（2 ）有单位元 3是单位元；（3 ）任意元素有逆元对任意x Z, x 1 6 x.所以,Z, 是群.第三章图论 -、判断题（1） n阶

15、完全图的任意两个不同结点的距离都为 1.（2） 图G的两个不同结点Vj,Vj连接时一定邻接.（3）图G中连接结点vi,vj的初级通路为vi,vj之间的短程 （错）（4） 在有向图中，结点 v到结点vj的有向短程即为vj到v的有向短程.（错 ）（5） 强连通有向图一定是单向连通的. （ 对 ）（6） 不论无向图或有向图，初级回路一定是简单回路. （对 ）（7） 设图G是连通的，则任意指定 G的各边方向后所得的有向图是弱连通的.（对 ）(9 )设有向图D的可达矩阵为11110 111P0 0 110 0 0 1（对 ）（对）（错 ）则G是单向连通的.（10 ）有生成树的无向图是连通的.（12 ）下

16、图所示的图有哈密尔顿回路 (13)下图中为欧拉图的是( C )二、单项选择题(1)仅由孤立点组成的图称为A.零图； B .平凡图； C.(2 )仅由一个孤立点组成的图称为A.零图； B .平凡图； C.(3)在任何图G中必有偶数个A.度数为偶数的结点； BC.入度为奇数的结点； D.(4)设G为有n个结点的无向完全图，贝U G的边数为A. n(n 1) B . n(n 1) C. n(n 1) 2 D. (n 1) 2(5)在有n个结点的连通图 G中，其边数 (B )A.最多n 1条； B .至少n 1条；C.最多n条； D. 至少n条.(6) 任何无向图G中结点间的连通关系是 (B )A.偏

17、序关系； B 等价关系；C.既是偏序关系又是等价关系； D. 既不是偏序关系也不是等价关系 .(7)对于无向图，下列说法中正确的是A .不含平行边及环的图称为完全图B 任何两个不同结点都有边相连且无平行边及环的图称为完全图C.具有经过每条边一次且仅一次回路的图称为哈密尔顿图D 具有经过每个结点一次且仅一次回路的图称为欧拉图(8) 设D是有向图，则 D强连通的充分必要条件为. (C )A 略去D中各边方向后所得到的无向图是连通的B . D是单向连通图，且改变它的各边方向后所得到的有向图也是单向连通图C. D的任意两个不同的结点都可以相互到达D . D是完全图(9) 对于无向图 G,以下结论中 不

18、正确的是. (A )A 如果G的两个不同结点是连接的，则这两个结点之间有初级回路B.如果G的两个不同结点是连接的，则这两个结点之间至少有一条短程C.如果G是树，则任何两个不同结点之间有且仅有一条初级通路D 如果G是欧拉图，则 G有欧拉回路(10 )设简单无向图G的邻接矩阵为 A (aj)nn,记A1 (ai(l)nn(l 1,2,)，则正确的是. (C )A .当 Vj是G的两个不同结点时 总1为 Vj之间长度为I的初级通路条数B.当M,Vj是G的两个不同结点时，a(为w,Vj之间长度为I的简单通路条数C.当Vi,Vj是G的两个不同结点时，a(为Vi,Vj之间长度为I的的通路条数D.当Vi是G

19、的结点时，詔)为通过Vi的长度为I的初级回路条数(11) M mijnm是无向图G V, E 的关联矩阵，Vi V是G中的孤立点，则(A )Vi对应的一行元素全为 1;Vi对应的一列元素全为 1.A. Vi对应的一行元素全为 0; BC. Vi对应的一列元素全为 0; D.三、填空题1.设树T中有7片树叶，3个3度结点，其余都是 4度结点，贝U T中有 个4度结点.解 用握手定理和树的性质列出方程求解，设有 X个4度结点，7 9 4x 2(7 3 x 1) , x 12.设T V, E 为树，T中有4度，3度，2度分支点各1个，问T中有 片树叶。3.n阶完全图的任意两个不同结点的距离都为(2)

20、因为3 12 1213 2 2 1A= 2 2 4 1 112 12 121112V1V3V1V3, VMV5V3, eV,V1V4V1V3, V1V3V5V3, V1V3V2V3, V1V3V4V3.(3)由于图G是连通的，所以V1V2V3V4V5V111111V11111C= V311111.V411111V511111（4）8e3e4e5e60V11011000V21100001M = V30110110V40001100V500000112.在下面的有向图D中，回答下列冋题z汕尹2(1)写出图D的邻接矩阵A ；(2)写出结点V1到结点V3的长度为3的所有有向通路;(3)写出结点V5到自

21、身的长度为3的所有有向回路；0000110100解：（1) A00110000010101001010101010011101121(2)A2 00111A3 0112101010101011010101121所以结点Vi到结点V3的长度为3的所有有向通路只有一条：V1V5V2V3（3）结点V5到自身的长度为3的所有有向回路只有一条： V5V2V1V53.在下面的无向图G中，回答下列问题（1） 写出a,d之间的所有初级通路；（2） 写出a,d之间的所有短程，并求 d（a,d）；（3） 判断无向图G是否为欧拉图并说明理由。 解（1） a, d之间的所有初级通路共有 7条，分别为aed， aecd

22、， aebcd， abed， abcd， abecd， abced（2） a, d之间的长度最短的通路只有 1条，即aed，因而它是a,d之间唯一的短程，d（a,d） 2（3） 由于无向图G中有两个奇度顶点deg（b） 3,deg（c） 3，所以无向图G没有欧 拉回路，因而不是欧拉图。第四章数理逻辑-、判断题（1） “如果8 + 7 2,则三角形有四条边”是命题. （对 ）（2 ）设P, Q都是命题公式，则 P Q也是命题公式. （错 ）（3） 命题公式P,Q的真值分别为0, 1，则P Q的真值为0（以上是在对P, Q所包含的命题变元的某个赋值下）. （错）（4） 设p :他生于1963年,q

23、 :他生于1964年，则命题“他生于1963年或1964年”可以符号化为p q.(5)设P, Q都是命题公式，则 P Q的充分必要条件为 P Q 1.(对)(6 )逻辑结论是正确结论. (错 )(9)设A, B,C都是命题公式，则(A B C) (A C)也是命题公式. (对)(10)命题公式P,Q的真值分别为0, 1,则P Q的真值为0(以上是在对P,Q所包含的命题变元的某个赋值下). (对)二、单项选择题(1)卜面哪个联结词不可父换(B)a. ; B .;C. ; D.(2 )命题公式(p(p q)q是(C)A.永假式；B .非永真式的可满足式；C.永真式；D.等价式.(3)记p:他懂法律

24、,q :他犯法,则命题“他只有懂法律，才不会犯法”可符号化为(Ba . p qb . q pc. q pd . p q(4)下列命题中假命题是(B ).A .如果雪不是白的，则太阳从西边出来B .如果雪是白的，则太阳从西边出来C.如果雪不是白的，则太阳从东边出来D .只要雪不是白的，太阳就从西边出来(5 )设A， B都是命题公式，则 At B为可满足式是 A B的(B ).A .充分而非必要条件B .必要而非充分条件C.充分必要条件D .既非充分又非必要条件三、填空题1.设p:天气很冷，q:老王还是来了，则命题“虽然天气很冷 ，但老王还是来了”符号化为 . p q2.设p:天下雨，q:我骑自行车上班，则命题“如果天不下雨 ，我就骑自行车上班”符号化为 . p q3.设p, q的真值为0，r,s的真值