微积分课程论文.docx
《微积分课程论文.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分课程论文.docx（6页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
微积分课程论文
微积分课程论文——
非线性哲学与线性非哲学
PB08207021
夏尔玉
引言——
一阶线性微分方程的一般形式是
+p（x）y=Q（x）
二阶线性微分方程的一般形式是y’’+p（x）y’+q（x）y=f（x）
n阶常系数线性微分方程的一般形式是
p1y’+p0y=f（x）
《微积分》180页：
设y1（x）,y2（x）……ym（x）是定义在（a,b）上的函数，若存在不全为0的常数c1,c2,……cm,使得在（a，b）上c1y1（x）+c2y2（x）+……+cmym（x）恒为0，则称它们在（a，b）上线性相关，否则称线性无关。
F（x）和g（x）线性相关，则它们的Wronsky行列式恒为零。
在学习常微分方程这一章时，以上几个概念已经作为一种基础被我们接受。
出现在上述几个概念中有一个共同的名词——“线性”，什么是线性？
它究竟是怎样一种性质？
带着疑问我开始了自己的探索，却发现了解了一些反而更迷茫。
我带着对线性代数的无知走入这个陌生的领域，仅以我的思考为大家呈现“非线性的哲学与线性非哲学”。
历史的发展是线性的吗？
我想大多数人会告诉我“不是”，在我们的认识中，历史是以螺旋形上升的方式发展的，或者是以无规则杂乱上升的方式发展的。
但在《现代汉语规范字典》中给“线性”下了这样一个定义：
线性：
指各组成部分在时间和空间上都不重复而先后有序地排列的特性。
（《现代汉语规范字典》2005年7月第一版）
如果按照这样一个定义，那么历史的进程就应该被认为是线性的。
因为历史的进程显然符合“在时间和空间上都不重复而先后有序地排列”这一特性，不存在一个例外是说时间可以倒流或是在某一刻静止。
那么，难道历史的进程真的是线性的吗？
这就牵扯到我们对于“线性”的不同理解上了。
首先，让我们从数学的角度上看一看“线性”的定义。
线性（linear）是指量与量之间按比例，呈直线的关系，在数学上可理解为一阶导数为常数的函数，在时间和空间上代表规则和光滑的运动。
线性可以从相互关联的两个角度来界定，其一：
叠加原理成立；其二：
物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量。
那么我们就可以从第二方面对历史发展作出界定。
从世界人口数量的变化图我们可以清楚地看到，变量间变化率显而易见不为恒量，函数关系也并不是直线。
同样我们知道科学的发展也是非线性的，例如在显微镜诞生之前的相当长一段时间里生命科学的发展很缓慢，但以此为分界点，生物学进入了细胞水平的新时代。
由此我们认为历史的发展不是线性的。
就好比在一个方程组中，只要有一个方程不是线性的，我们就不称之为线性方程组。
此时我们得到第一个观点：
“线性”在文学角度和自然科学角度的定义有着不同的外延和内涵。
以下我们主要讨论自然科学框架下的线性与非线性。
非线性non-linear则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。
指输出输入既不是正比例也不是反比例的情形。
代表不规则运动和突变。
我们可对非线性做以下界定：
其—，“定义非线性算符N（φ）为对一些a、b或φ、ψ不满足L（aφ+bψ）=aL（φ）+bL（ψ）的算符”，即叠加原理不成立，这意味着φ与ψ间存在着耦合，对（aφ+bψ）的*作，等于分别对φ和ψ*作外，再加上对φ与ψ的交叉项（耦合项）的*作，或者φ、ψ是不连续（有突变或断裂）、不可微（有折点）的。
其二，作为等价的另—种表述，我们可以从另一个角度来理解非线性：
在用于描述—个系统的一套确定的物理变量中，一个系统的—个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成比例的，换言之，变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方，概括地说，就是物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不对称的。
可以说，这种对称破缺是非线性关系的最基本的体现，也是非线性系统复杂性的根源。
为了说明其含义，我们给出几个例子：
1.激光的生成是非线性的。
当外加电压较小时，激光器犹如普通电灯，光向四面八方散射；而当外加电压达到某一定值时，会突然出现一种全新现象：
受激原子好像听到“向右看齐”的命令，发射出相位和方向都一致的单色光，就是激光。
2.电容器的电阻很大，在一定范围内其导电能力很微弱，几乎不随外加电压变化而变化，可是当外界电压达到击穿电压后电容器就突变成一种可以导电的状态。
3.化学酸碱滴定过程中PH的变化也是非线性的。
加入NaOH（ml）
中和百分比
混合溶液的PH
0
0
1.00
90.00
90.00
2.28
99.00
99.00
3.30
99.90
99.90
4.31
100.0
100.0
7.00
100.1
100.1
9.70
101.0
101.0
10.70
110.0
110.0
11.70
图0.01000mol/lNaOH溶液滴定0.1000mol/lHCl溶液
可以看到在滴入氢氧化钠99.90到100.1的过程中PH变化很快，化学上，我们称之为PH突跃。
4.两只眼睛的视敏度是一只眼睛的6-10倍。
5.十枚橘子的价钱是一枚的十倍。
但批发价格是不成比例的：
一大箱橘子的价钱比一枚的价钱乘以橘子的个数要少。
通过以上这些例子我们知道线性关系是互不相干的独立关系，而非线性则是相互作用，而正是这种相互作用，使得整体不再是简单地等于部分之和，而可能出现不同于"线性叠加"的增益或亏损。
由此我联想到人类社会的发展。
从前，人与人的关系非常紧密，人们群居，或称聚居，这相当于一种非线性，而随着时代的发展，人与人之间的冷漠，生疏是否在走向“互不相干”的独立线性关系呢？
这一种由线性向非线性的转化，究竟是一种进步，还是一种退步呢？
与非线性定义相关的两个词是混沌和耦合。
混沌：
1.古代传说中指天地未分之前浑然一体的状态；2.模糊，糊涂。
（《现代汉语规范字典》2005年7月第一版）
混沌，可以近似理解为非线性。
天体运动存在混沌；电、光与声波的振荡，会突陷混沌；地磁场在400万年间，方向突变16次，也是由于混沌。
甚至人类自己，原来都是非线性的：
与传统的想法相反，健康人的脑电图和心脏跳动并不是规则的，而是混沌的，混沌正是生命力的表现。
宇宙形成之初的状态是混沌的。
我们可以从输入输出的角度理解。
能量的输入与输出既不是成正比例也不是成反比例的。
耦合：
物理学上指两个或两个以上的体系或运动形式之间通过各种作用而彼此影响的现象。
例如在两个单摆中间连一根线，它们的振动就会发生耦合。
（《现代汉语规范字典》2005年7月第一版）
由此我们联想到排列组合问题中的耦合问题。
有甲乙两副纸牌各n张，编号1至n，把牌洗过后配成n对，每对甲乙纸牌各一张，若有同一队的两张牌同号则说又一个耦合，问至少有一个耦合的配牌方法有多少种？
通过容斥原理我们可以得到想要的公式：
n!
*（1-
）
但如果不存在耦合呢？
就是说，甲乙两副牌中牌号两两不同，要求配牌方法则显然要容易的多了。
耦合与否类似于非线性和线性，我们看出线性问题的处理要比非线性问题容易得多。
正如我们说1+1=2是一种简单线性，1+1=3，1+1=4相当于非线性，似乎非线性是更远离我们认识范围的。
又比如线性方程组的求解相对非线性方程组要简单许多。
我认为，实质上线性只是非线性的一种理想化模型，一种近似处理和特殊情况。
其存在意义类似于质点，光滑曲面及匀速直线运动。
因而观点二：
线性是从数学含义上对非线性的近似，它只是简化问题的一种手段。
这里我也就回答了刚刚提出的关于人类社会是进步还是退化的问题，如果我们尚且不能说这是一种退步，但起码这是一种简化，一种向简单方向的特化。
为了说明观点二我们举线性规划为例。
决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素.当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。
比如我们在处理最简单的问题，工厂如何安排人手生产不同产品获取最大利润的问题，我们在编写目标函数时往往单纯的把某件物品的利润与它的价格相乘。
但我们忽略了经济中的基本规律，也就是说，当供求关系改变时，产品的利润也会随之发生变化。
因此线性规划其实只是一种简化的模型。
同时，我们又考虑，线性与非线性简单叠加的结果往往是非线性的，这就类似于0与任何实数的乘积都是0，因为0在乘法运算中起主导作用。
我们也可以考虑，非线性其实是起主导作用的。
因此，我们可以认为线性是从数学含义上对非线性的近似，它只是简化问题的一种手段。
在这里，我对我的前两个观点做一个简要的总结：
观点一：
“线性”在文学角度和自然科学角度的定义有着不同的外延和内涵。
观点二：
线性是从数学含义上对非线性的近似，它只是简化问题的一种手段。
由于线性的特殊性，其特性已被广泛研究，而非线性则是一片相对未被开发的领域，其概念，性质，哲学意义都未得到充分发掘。
观点三：
非线性是一门深奥的学问，尚待深入研究。
从我粗浅的表述中大家就可以看出我对它认识尚少了。
参考文献：
XX百科
XX知道
微积分教材
现代汉语规范字典
高中数学竞赛辅导
化学原理自编讲义
附：
下划线部分为直接引用资料
升级会员 