（1）＝________.
解析
（1）f（x）为偶函数，则ln（x＋）为奇函数，
所以ln（x＋）＋ln（－x＋）＝0，
即ln（a＋x2－x2）＝0，∴a＝1.
（2）因为f（x）是周期为2的奇函数，
所以f
（1）＝f（－1）＝－f
（1），
即f
（1）＝0，
又f＝f＝－f＝－4＝2，
从而f＋f
（1）＝－2.
答案
（1）1
（2）－2
热点二 函数图象的应用
【例2】
（1）（2016·苏北四市调研）已知函数f（x）＝若|f（x）|≥ax，则实数a的取值范围是________.
（2）（2015·全国Ⅰ卷改编）设函数f（x）＝ex（2x－1）－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）<0，则实数a的取值范围是________.
解析
（1）函数y＝|f（x）|的图象如图.y＝ax为过原点的一条直线，
当a＞0时，与y＝|f（x）|在y轴右侧总有交点，不合题意；当a＝0时成立；当a＜0时，找与y＝|－x2＋2x|（x≤0）相切的情况，
即y′＝2x－2，切线方程为y＝（2x0－2）（x－x0），由分析可知x0＝0，所以a＝－2，综上，a∈[－2，0].
（2）设
g（x）＝ex（2x－1），h（x）＝ax－a，由题知存在唯一的整数x0，使得g（x0）＜ax0－a，
因为g′（x）＝ex（2x＋1），可知g（x）在上单调递减，在上单调递增，作出g（x）与h（x）的大致图象如图所示，故
即所以≤a<1.
答案
（1）[－2，0]
（2）
探究提高
（1）涉及到由图象求参数问题时，常需构造两个函数，借助两函数图象求参数范围.
（2）图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.
【训练2】（2016·苏、锡、常、镇调研）设奇函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数，且f
（2）＝0，则不等式<0的解集为________.
解析
由奇函数的定义和f
（2）＝0得出函数在（－∞，0）上也为增函数.画出函数草图（如图），可得在（－2，0）和（2，＋∞）上f（x）>0，在（－∞，－2）和（0，2）上f（x）<0.当x>0时，由<0，可得f（x）－f（－x）＝2f（x）<0，结合图象可知（0，2）符合；当x<0时，由<0，可得f（x）－f（－x）＝2f（x）>0，结合图象可知（－2，0）符合.
答案 （－2，0）∪（0，2）
热点三 函数与方程问题
[微题型1] 函数零点个数的求解
【例3－1】（2016·南京、盐城模拟）函数f（x）＝4cos2·cos－2sinx－|ln（x＋1）|的零点个数为________.
解析 f（x）＝4cos2sinx－2sinx－|ln（x＋1）|＝2sinx·－|ln（x＋1）|＝
sin2x－|ln（x＋1）|，令f（x）＝0，得sin2x＝|ln（x＋1）|.在同一坐标系中作出两个函数y＝sin2x与函数y＝|ln（x＋1）|的大致图象如图所示.
观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f（x）有2个零点.
答案 2
探究提高 解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
[微题型2] 由函数的零点（或方程的根）求参数
【例3－2】
（1）（2016·南京三模）设函数f（x）＝
g（x）＝f（x）－b.若存在实数b，使得函数g（x）恰有3个零点，则实数a的取值范围为________.
（2）已知函数f（x）＝函数g（x）＝b－f（2－x），其中b∈R，若函数y＝f（x）－g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是________.
解析
（1）当f（x）＝时，f′（x）＝，由f′（x）＝0得x＝2，且当x＜2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，则当x＝2时，f（x）有极大值f
（2）＝.当－x－1＝时，x＝－1－.
结合图象可得当存在实数b使得g（x）＝f（x）－b恰有3个零点时，－1－＜a＜2.
（2）函数y＝f（x）－g（x）恰有4个零点，即方程f（x）－g（x）＝0，即b＝f（x）＋f（2－x）有4个不同实数根，即直线y＝b与函数y＝f（x）＋f（2－x）的图象有4个不同的交点，又y＝f（x）＋f（2－x）＝
作出该函数的图象如图所示，
由图可知，当＜b＜2时，直线y＝b与函数y＝f（x）＋f（2－x）的图象有4个不同的交点，故函数y＝f（x）－g（x）恰有4个零点时，b的取值范围是.
答案
（1）
（2）
探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解.
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
【训练3】（2016·泰州调研）设函数f（x）＝x2＋3x＋3－a·ex（a为非零实数），若f（x）有且仅有一个零点，则a的取值范围为________.
解析
令f（x）＝0，可得＝a，
令g（x）＝，则g′（x）＝
＝－，令g′（x）＞0，可得x∈（－1，0），令g′（x）＜0，可得x∈（－∞，－1）∪（0，＋∞），所以g（x）在（－1，0）上单调递增，在（－∞，－1）和（0，＋∞）上单调递减.由题意知函数y＝g（x）的图象与直线y＝a有且仅有一个交点，结合y＝g（x）及y＝a的图象可得a∈（0，e）∪（3，＋∞）.
答案 （0，e）∪（3，＋∞）
热点四 函数的实际应用问题
【例4】（2016·江苏卷）
现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍.
（1）若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？
解
（1）V＝×62×2＋62×2×4＝312（m3）.
（2）设PO1＝x，则O1B1＝，B1C1＝·，
∴S正方形A1B1C1D1＝2（62－x2）.
又由题意可得下面正四棱柱的高为4x，
则仓库容积V＝x·2（62－x2）＋2（62－x2）·4x＝
x（36－x2）.由V′＝0得x＝2或x＝－2（舍去）.
由实际意义知V在x＝2（m）时取到最大值，
故当PO1＝2（m）时，仓库容积最大.
探究提高
（1）关于解决函数的实际应用问题，首先要在阅读上下功夫，一般情况下，应用题文字叙述比较长，要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.
（2）对函数模型求最值的常用方法：
单调性法、基本不等式法及导数法.
【训练4】（2016·南京学情调研）某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段（注：
一个标段是指一定长度的机动车道）的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n＝ax＋5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.
（1）写出新建道路交叉口的总造价y（万元）与x的函数关系式；
（2）设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比.若新建的标段数是原有标段数的20%，且k≥3.问：
P能否大于，说明理由.
解
（1）依题意得y＝mkn＝mk（ax＋5），x∈N*.
（2）法一 依题意x＝0.2a，
所以P＝＝＝＝
≤＝≤＝＜.
P不可能大于.
法二 依题意x＝0.2a，
所以P＝＝＝＝.
假设P＞，则ka2－20a＋25k＜0.
因为k≥3，所以Δ＝100（4－k2）＜0，不等式ka2－20a＋25k＜0无解，假设不成立.
P不可能大于.
1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f（x）＝的定义域时，只考虑x＞0，忽视lnx≠0的限制.
2.如果一个奇函数f（x）在原点处有意义，即f（0）有意义，那么一定有f（0）＝0.
3.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较.
（1）底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；
（2）底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；
（3）底数不同、指数也不同，或底数不同，真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小.
4.对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
一、填空题
1.（2016·南通调研）函数f（x）＝lnx＋的定义域为________.
解析 要使函数f（x）＝lnx＋有意义，则解得0＜x≤1，即函数定义域是（0，1].
答案 （0，1]
2.（2011·江苏卷）函数f（x）＝log5（2x＋1）的单调增区间是________.
解析 函数f（x）的定义域为，令t＝2x＋1（t＞0）.因为y＝log5t在t∈（0，＋∞）上为增函数，t＝2x＋1在上为增函数，所以函数y＝log5（2x＋1）的单调增区间为.
答案
3.（2016·苏州调研）函数f（x）＝的值域为________.
解析 当x≤0时，y＝2x∈（0，1]；
当x＞0时，y＝－x2＋1∈（－∞，1）.
综上，该函数的值域为（－∞，1].
答案 （－∞，1]
4.（2016·江苏卷）定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是________.
解析 在区间[0，3π]上分别作出y＝sin2x和y＝cosx的简图如下：
由图象可得两图象有7个交点.
答案 7
5.（2012·江苏卷）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f（x）＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________.
解析 因为函数f（x）是周期为2的函数，所以f（－1）＝f
（1）⇒－a＋1＝，又f＝f＝f⇒＝－a＋1，联立列成方程组解得a＝2，b＝－4，所以a＋3b＝2－12＝－10.
答案 －10
6.已知函数f（x）＝x3＋x，对任意的m∈[－2，2]，f（mx－2）＋f（x）<0恒成立，则x的取值范围是________.
解析 f′（x）＝3x2＋1>0，∴f（x）在R上为增函数.
又f（x）为奇函数，由f（mx－2）＋f（x）<0知，f（mx－2）令g（m）＝mx＋x－2，由m∈[－2，2]知g（m）<0恒成立，可得∴－2答案
7.已知函数f（x）＝其中[x]表示不超过x的最大整数.若直线y＝k（x＋1）（k＞0）与函数y＝f（x）的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是________.
解析 根据[x]表示的意义可知，当0≤x＜1时，f（x）＝x，当1≤x＜2时，f（x）＝x－1，当2≤x＜3时，f（x）＝x－2，以此类推，当k≤x＜k＋1时，f（x）＝x－k，k∈Z，当－1≤x＜0时，f（x）＝x＋1，作出函数f（x）的图象如图，直线y＝k（x＋1）过点（－1，0），当直线经过点（3，1）时恰有三个交点，当直线经过点（2，1）时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k∈.
答案
8.（2016·北京海淀区二模）设函数f（x）＝
（1）若a＝1，则f（x）的最小值为________；
（2）若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是________.
解析
（1）当a＝1时，f（x）＝
当x<1时，f（x）＝2x－1∈（－1，1），
当x≥1时，f（x）＝4（x2－3x＋2）＝4≥－1，∴f（x）min＝－1.
（2）由于f（x）恰有2个零点，分两种情况讨论：
当f（x）＝2x－a，x<1没有零点时，a≥2或a≤0.
当a≥2时，f（x）＝4（x－a）（x－2a），x≥1时，有2个零点；
当a≤0时，f（x）＝4（x－a）（x－2a），x≥1时无零点.
因此a≥2满足题意.
当f（x）＝2x－a，x<1有一个零点时，0f（x）＝4（x－a）（x－2a），x≥1有一个零点，此时a<1,2a≥1，因此≤a<1.
综上知实数a的取值范围是.
答案
（1）－1
（2）∪[2，＋∞）
二、解答题
9.已知函数f（x）＝x2－2lnx，h（x）＝x2－x＋a.
（1）求函数f（x）的极值；
（2）设函数k（x）＝f（x）－h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.
解
（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），令f′（x）＝2x－＝0，得x＝1.
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，＋∞）时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）在x＝1处取得极小值为1，无极大值.
（2）k（x）＝f（x）－h（x）＝x－2lnx－a（x＞0），
所以k′（x）＝1－，令k′（x）＞0，得x＞2，
所以k（x）在[1，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增，
所以当x＝2时，
函数k（x）取得最小值，k
（2）＝2－2ln2－a，
因为函数k（x）＝f（x）－h（x）在区间[1，3]上恰有两个不同零点.即有k（x）在[1，2）和（2，3]内各有一个零点，
所以即有
解得2－2ln2＜a≤3－2ln3.
所以实数a的取值范围为（2－2ln2，3－2ln3].
10.（2012·江苏卷）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－（1＋k2）x2（k>0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？
请说明理由.
解
（1）令y＝0，得kx－（1＋k2）x2＝0，
由实际意义和题设条件知x>0，k>0，
故x＝＝≤＝10，
当且仅当k＝1时取等号.
所以炮的最大射程为10千米.
（2）因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，
使3.2＝ka－（1＋k2）a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0⇔a≤6.
所以当a不超过6千米时，可击中目标.
11.（2016·苏北四市调研）如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C.为方便游客观光，拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米、40万元/百米.建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则曲线C符合函数模型y＝x＋（1≤x≤9），设PM＝x，修建两条道路PM，PN的总造价为f（x）万元.题中所涉及长度单位均为百米.
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x为多少时，总造价f（x）最低？
并求出最低造价.
解
（1）在如题图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为y＝x＋（1≤x≤9），PM＝x，所以点P坐标为，直线OB的方程为x－y＝0，则点P到直线x－y＝0的距离为＝＝，
又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米.
则两条道路总造价为f（x）＝5x＋40·＝5（1≤x≤9）.
（2）因为f（x）＝5，
所以f′（x）＝5＝，
令f′（x）＝0，解得x＝4，列表如下：
x
（1，4）
4
（4，9）
f′（x）
－
0
＋
f（x）
极小值
所以当x＝4时，函数f（x）有最小值，且最小值为f（4）＝5＝30，
即当x＝4时，总造价最低，最低造价为30万元.
（注：
利用三次均值不等式得f（x）＝5＝
5≥5×3＝30，当且仅当x＝4时，等号成立，同样正确.）
第2讲 不等式问题
高考定位 高考对本内容的考查主要有：
（1）一元二次不等式是C级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；
（2）线性规划的要求是A级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解；（3）基本不等式是C级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用.
真题感悟
1.（2015·江苏卷）不等式2x2－x＜4的解集为________.
解析 ∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1答案 {x|－1＜x＜2}
2.（2014·江苏卷）已知函数f（x）＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是________.
解析 二次函数f（x）对于任意x∈[m，m＋1]，都有f（x）<0成立，
则有
解得－答案
3.（2016·江苏卷）已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________.
解析 已知不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，则（x，y）为阴影部分内的动点：
x2＋y2表示原点到可行域
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