杭电媒体信号编码计算题整理.docx

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杭电媒体信号编码计算题整理

补充计算题：

第4，5，6，9章

4.1　Huffman编码

4.1.1　Huffman码的构造

　　1.最佳码和最佳编码定理

　　对于某一信源和某一码符号集来说，若有一个唯一可译码，其平均长度

小于所有其它唯一可译码的平均长度，则该码称为紧致码，或称最佳码。

　　变字长最佳编码定理：

在变字长编码中，对于概率大的信源符号编以短字长的码，对于概率小的符号编以长字长的码；

2.Huffman编码码字本身和码长序列不是唯一的，但是平均码长是唯一的。

码方差越小，说明越接近等长码，因而质量越好。

在Huffman编码过程中，为得到码方差最小的码，当重新排列缩减信源的概率分布时，应使合并的概率和尽量处于最高的位置。

3.对于r元编码，信源X的符号个数q必须满足

　q=（r－1）θ+r（4-2）

其中,θ表示缩减的次数，r－1为每次缩减所减少的信源符号个数。

若q不满足式q=（r－1）θ+r时，则增补一些概率为零的信源符号，即Pq+1=Pq+2=…=Pq+t=0使得q+t满足式q+t=（r－1）θ+r。

这样得到的r元Huffman码一定是紧致码。

　【例4-3】　信源X有6种符号，输出概率为0.32、0.22、0.18、0.16、0.08和0.04，试用三元Huffman码编码该信源。

　　【解】　在本例中，r=3，若取q=6，则不能找到满足q=（r－1）q+r的整数Ө。

因此必须采用虚设符号方法，添设1个概率为0的符号，使得q=7，Ө=2，从而满足式q=（r－1）θ+r。

图4-2　表4-3中三元Huffman码的码树4.4.2算术编码的基本原理

1.借鉴香农用n个符号序列Sn出现的概率的累计分布C（Sn），在区间［C（Sn），C（Sn）+A（Sn））选取一点，用其二进制小数表示编码，并把C（Sn）和A（Sn）的计算转换成递归运算。

A（Sn）称为符号序列Sn编码可用空间或值域（Range），它的大小=p（Sn），即符号序列Sn的出现概率。

　　设在上一时刻信息的符号序列为S，这一时刻信源发出符号x，序列发展成为新的序列Sx。

递归计算序列Sx的累计分布函数C（Sx）和编码可用空间A（Sx）的递推公式如下：

（1）累计分布函数的递推：

C（Sx）=C（S）+A（S）P（x）

（2）编码可用空间的递推：

　　A（Sx）=p（Sx）=p（x）A（S）

p（x）为符号出现的概率，P（x）为符号x的累积概率，如式（4-7）所示。

2.可见，算术编码在传输任何符号x之前，信息的完整范围是［C（φ），C（φ）+A（φ））=［0，1）。

当处理符号x后区间宽度就依据x的出现概率p（x）变窄，大概率符号比小概率符号使区间变窄的范围要小。

然后在区间［C（S），C（S）+A（S））找一代表点，对其值进行编码。

符号序列越长，相应的子区间就越窄，编码表示该子区间所需的比特数也就越多。

3【例4-9】　信源符号集S={a，b，c，d，e，!

}，其中前5个符号为实际信源符号，最后一个符号“！

”用来表示编码结束。

各概率和初始区间范围如表4-15所示，试编码字符串dead。

【解】　编码过程如下：

　　“d”，C（Sd）=C（φ）+P（d）A（φ）=P（d）=0.4

　　A（Sd）=p（d）A（φ）=0.3区间［C（S），C（S）+A（S））=［0.4，0.7）

　　“e”，C（Se）=C（S）+P（e）A（S）=0.4+0.7×0.3=0.61

　　A（Se）=p（e）A（S）=0.2×0.3=0.06区间［0.61，0.67）

　　“a”，C（Sa）=C（S）+P（a）A（S）=0.61

　　A（Sa）=p（a）A（S）=0.2×0.06=0.012区间［0.61，0.622）

　　“d”，C（Sd）=C（S）+P（d）A（S）=0.61+0.4×0.012=0.6148

　　A（Sd）=p（d）A（S）=0.3×0.012=0.0036区间［0.6148，0.6184）编码符号“!

”后的区间为［0.61804，0.6184），区间宽度A（S）=0.00036。

（C（S!

）=C（S）+P（!

）A（S）=0.6148+0.9×0.0036=0.61804）

　　解码器无需知道最终区间的两个端点值，只知道区间内的一个值就够了。

比如知道值0.6182，解码端的过程如下：

　　由于0.6182∈［0.4，0.7），故知道第1个符号为d；

　　则下一个符号的区间范围应该为：

a

［0.4，0.46），b

［0.46，0.49），c

［0.49，0.52），d

［0.52，0.61），e

［0.61，0.67），!

［0.67，0.7）。

由于0.6182∈［0.61，0.67），故知道第2个符号为e；

注：

0~0.20.2~0.30.3~0.40.4~0.70.7~0.90.9~1

0.6182

0.4~0.460.46~0.490.49~0.520.52~0.610.61~0.670.67~0.7

以此类推，可以解码出符号a，d，！

。

当解码出！

符号时，解码完成。

4.3.2Golomb编码

（1）如果b≠2^k，前缀码位数：

+1　,

尾码是对

的余数r=n－1－qb的二进制编码，r∈{0,1,…,b－1}。

余数前

个用

比特编码，后面用

比特编码，且最高位为1。

（例b=3，余数列出：

0,1,2。

余数前1位用1比特编码，记0；后面三个每个用2比特编码，记10,11）

（2）如果b=2^k，前缀码产生规则同b≠2^k时相同；尾码则直接用n的二进制表示的最低k位表示。

（例n=1，二进制表示0……01；b=4=2^2，k=2,取后两位01；n=2,0……10，取后两位10）

【例4-6】　给出b=3，4，5时的Golomb码。

　　【解】　尾码：

如果取b=3，则可能的余数为0、1、2，第1个余数用

=1比特编码；后面余数用

=2比特编码，高位为1保持尾码的前缀性；因此余数与尾码的对应关系为0

0、1

10、2

11；前缀码：

根据前缀码位数

+1，对于n=1,2,…，其前缀码的位数分别为1,1,1,2,2,2，…位。

若取表4-9右边一列的一元码字，则分别为1,1,1,01,01,01，…。

4.5.2LZW算法

图4-9　LZW编码算法流程

【例4-12】　试对一个最简单的2字符串“ABBBABAAB”作LZW编码。

　　【解】　根据图4-9给出的LZW编码算法流程，可以得到如下的编码步骤：

　　步骤0：

将A及B字符存入字典里，编码成索引值1及2；并读入第一字符A，前缀串S=A。

　　步骤1：

读入下一个字符c=B，串Sc=AB不在码表中，输出串S=A在字典里的索引值1；并将新的字符串AB存入字典里，索引值=3；最后置S=B。

　　步骤2：

读入下一个字符c=B，串Sc=BB不在码表中，输出串S=B在字典里的索引值2；并将新的字符串BB存入字典里，索引值=4；最后置S=B。

步骤3：

读入下一个字符c=B，串Sc=BB已经在码表中，置S=BB。

　　步骤4：

读入下一个字符c=A，串Sc=BBA不在码表中，输出串S=BB在字典里的索引值4；并将新的字符串BBA存入字典里，其索引值=5；最后置S=A。

　　步骤5：

读入下一个字符c=B，串Sc=AB已经在码表中，置S=AB。

　　步骤6：

读入下一个字符c=A，串Sc=ABA不在码表中，输出串S=AB在字典里的索引值3；并将新的字符串ABA存入字典里，其索引值=6；最后置S=A。

　　步骤7：

读入下一个字符c=A，串Sc=AA不在码表中，输出串S=A在字典里的索引值1；并将新的字符串AA存入字典里，其索引值等于7；最后置S=A。

步骤8：

读入下一个字符c=B，串Sc=AB已经在码表中，置S=AB。

　步骤9：

读入下一个字符c=ø，输入已经穷尽，输出串S=AB在字典里的索引值3，编码结束。

第五章

5-20、设有如下图所示的8*8灰度图像，求：

①计算该图像的熵；

②对该图像做前值预测（即列差值，8*8区域外图像取零值），试给出误差图像及其熵值；

③再对上步误差图像做行差值，继续计算误差图像及其熵值；

④试比较上述三个熵值，可能得出什么结论？

解：

1、灰度值3、4、5、6、7的个数分别为：

7、32、16、8、1；所以该图像的熵为：

2、前值预测图像为：

（前一列赋给当前列）

所以误差图像为：

（就是原图像每个元素-前值预测）

3.对上步误差图像做行差值：

（前一行赋给当前行）

误差图像为：

4、比较上述三个熵值可看出误差图像的熵值越来越小，即误差图像所携带的信息量在减小，所以相邻像素间的相关性减小，从而保证了重建图像与原始图像的一致性。

第六章

6-2试对协方差矩阵

，求KTL矩阵，并验证该矩阵可

以将

对角化。

解:

由

求得正交矩阵为

有

，即矩阵

可以将

对角化

6-11、试对题6-5所示的图像数据

进行哈尔小波变换（取

），

并求出重建图像数据。

解:

求均值与差值：

R0=[142,144,151,156,156,157,156,156]（第一行像素值）

N0=[143,153.5,156.5,156,-1,-2.5,-0.5,0]

（前4个数：

R0每一对像素平均值，后4个数：

R0每一对像素差值的一半）

N1=[148.25,156.25,-5.25,0.25,-1,-2.5,-0.5,0]（前4个数：

前2个~N0前4个数每一对像素平均值，后2数~N0前4个数每一对像素差值的一半；后4个数：

直接复制N0对应位置）

N2=[152.25,-4,-5.25,0.25,-1,-2.5,,-0.5,0]

（前2个数：

前1个~N1前2个数每一对像素平均值，后1数~N1前2个数每一对像素差值的一半；后6个数：

直接复制N1对应位置）

同理对R1，R2，R3，……R8做上述步骤得：

对每一列进行变换后得（与行变换相同方法，例：

提出第一列C0→N1→……Nn）：

（左上角元素为整个图像块像素平均值，其余是细节系数）

由

得

（对细节系数≤5把他置“0”）

重建图像：

（对上面矩阵求逆？

）