高三数学试题及解析.docx
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高三数学试题及解析
2020～2021学年第一学期期末考试
高三数学试题及评分建议
（考试时间：
120分钟满分：
150分）
一、单项选择题：
本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数满足，则（▲）
A．1B．C．D．2
【答案】B
2.已知集合时，
【答案】C
3.2020年4月22日是第51个世界地球日，今年的活动主题是“珍爱地球，人与自然和谐共生”．某校4名大学生到三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传.则不同的安排方案共有（）
A. 18种B.36种C.48种D.72种
【答案】
4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（）
A．B．C．D．
【答案】A
5．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件{三个点数互不相同}，{出现一个6点}，则（）．
A．B．C．D．
【答案】A
6．已知，，，则（▲）
A．B．C．D．
【答案】C
7．已知，为单位向量，且，则，的夹角为（▲）
A．或B．C．或D．
【答案】D
8．已知定义域为R的函数在上单调递减，且，
则使得不等式成立的实数x的取值范围是（▲）
A．B．C．或D．
【答案】C
二、多项选择题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知，下列结论正确的是（）
A.．的最小值为B．的最大值为－1
C．的最小值为8D．的最大值为
【答案】BC
10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是（）
A．B．为等腰直角三角形
C．的面积为D．直线AB的斜率为
【答案】AC
11.已知函数，则
A.．f（x）＝f（x＋π）B．f（x）的最小值为－
C．f（x）的图象关于x＝对称D．f（x）在单调递减
【答案】AD
12.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，P为三角形ABC所在平面内一动点，下列命题中正确的是
若PC1＝2，则PC的中点的轨迹所形成的图形的面积为
若P到直线AB是到直线CC1的距离的两倍，则P的轨迹为椭圆
若C1N与AB所成的角为，则P的轨迹为双曲线
若PC1与平面ABC所成的角为，则P的轨迹为圆
【答案】
三、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
请把答案直接填写在答题卡相应
位置上。
13.在各项都为正数的等比数列中，已知，其前项之积为，且，则取最小值时，的值是_____________.
【答案】或
14.写出一个图象关于直线x＝1对称的奇函数f（x）＝________.
【答案】
15.设双曲线的左右两个焦点分别为，是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为，则点的轨迹曲线的方程为____________；在曲线上，点，，则的最小值为________.
【答案】，
16.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】
四、解答题：
本题共6小题，共70分。
请在答题卡指定区域内作答。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
.在①，②
③，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.
在中，角所对的边分别为，且_____________.
求角的大小；
若，求面积的最大值.
【解】
选①，由正弦定理得
即，又，所以，所以，又，从而得
选②，因为
，所以
，又因为，所以
选③因为，
即，即，所以由正弦定理得，，因为，所以
由得，又，由余弦定理，所以等号当且仅当时取得，，所以面积的最大值为
18．（本小题满分12分）
已知集合，，将中的所以元素按从小到大的顺序排列构成数列，设数列的前项和为.
若，求的值；
（2）求的值．
【解】
，，，中的所以元素按从小到大的顺序排列构成数列
，所以
设包含的项数为，则，，包含的项数为，则，
时，，时，，，
时，，，
设，，显然，
此时
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为上的动点.
（1）当E为PD的中点时，求证：
平面；
C
D
E
B
A
P
（2）设，，若直线PC与平面AEC所成角的正弦值为，
求PE的长.
O
C
B
D
E
A
P
【解】
（1）证明：
连接，使交于点O，连接，
∵O，E分别为，的中点，
∴.………2
又∵平面，平面，
∴平面..………4
（2）∵平面，平面,
∴，由，，得，
∵底面为菱形且，
∴底面为正方形，，，两两互相垂直，..………6
分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
不妨设
∴，
，
设平面的法向量为，
由，令，则，，
∴，..………8
设直线PC与平面AEC所成角为，则
解方程得，故...………12
20．（本小题满分12分）
某学校教师趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：
向两个靶子进行射击，先向靶射击一次，命中得分，没有命中得分，再向靶连续射击两次，如果只命中一次得分，一次也没有命中得分，如果连续命中两次得分.甲教师准备参赛，目前的射击水平是：
向靶射击，命中的概率是，向靶射击命中的概率为.假设甲教师每次射击结果相互独立.
求甲教师恰好命中一次的概率；
求甲教师获得的总分的分布列及数学期望.
【解】记“甲教师恰好命中一次”为事件，“甲教师射击命中靶”为事件，“甲教师第一次射击靶命中”为事件，“甲教师第二次射击靶命中”为事件，
由题意可知，由于，且甲教师每次射击结果相互独立.
随机变量的可能取值为：
.
（由第一问得）
随机变量的概率分布列为
21．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围.
【来源】原创
【解】
（1）当时，由，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
∴的单调增区间为；单调减区间为...………2
（2）由，
若，，
单调减，最多有一个零点，不合题意；..………4
若，，
当时，，单调减；
当时，，单调增，
则是的极小值点，
要使有两个零点，；
解得..………6
又，故在内，有且只有一个零点；..………8
又，令，
∵∴，故在上为减函数，
而，即，
故在内，有且只有一个零点.
所以a的取值范围为...………12
22．（本小题满分12分）
已知椭圆：
的左焦点，点在椭圆上.
求椭圆的标准方程；
经过圆：
上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为．求面积的取值范围.
【解】
椭圆：
的左焦点，，将点代入，得，又，.
椭圆的标准方程为.
也可以利用椭圆的几何定义点到的距离之和为求出.
①设点
情形一：
当直线斜率都存在时，设过点与椭圆相切的直线方程为由，消去
得
，令，
整理得
设直线的斜率分别为，又在圆上，，，，即为圆的直径，
情形二：
当直线或的斜率不存在时，不妨设，则直线的方程为，，也满足
综上有
②设点
当直线的斜率存在是，设直线的方程为，
由，，
，令，整理得
，则
所以直线的方程为，整理得，又，即，同理可得直线的方程为
在直线上，，所以直线的方程为
由，消去整理得，
则，又，，
所以弦长
，又原点到直线距离
所以，令
则，又在上单调递减，上单调递增，，，综上的取值范围为
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