高中数学 必修一 第二章 指数函数 对数函数 同步培优作业+ 章末专题复习含答案.docx

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高中数学必修一第二章指数函数对数函数同步培优作业+章末专题复习含答案

第二章指数函数对数函数

同步培优作业+章末专题复习

[整合·络构建]

[警示·易错提醒]

1．正确理解指数式与对数式的运算

（1）正确理解根式的意义，极易因对根式的理解不透而得出错误结果．

（2）注意a＝和a－＝＝的正确转化．

（3）对数式的运算要按照对数运算法则和换底公式根式进行，避免对对数运算法则的错误应用．

2．正确认识基本初等函数

（1）指数函数y＝ax（a>0且a≠1）和幂函数y＝xα极易混淆，要区分自变量x所处的位置；对数函数y＝logax（a>0且a≠1）与指数函数y＝ax互为反函数，要明确它们的定义域与值域是互换的．

（2）坚持定义域优先原则，在研究基本初等函数的性质时，要首先考虑定义域，否则极易出错.

3．重视基本初等函数单调性的应用

（1）指数函数y＝ax与对数函数y＝logax（a>0且a≠1）的单调性与底数a有直接关系，在解有关不等式或求最大（小）值时，极易因忽视对底数的讨论而出错．

（2）与指数函数和对数函数有关的复合函数的单调性问题要按照复合函数的单调性规则进行判断，同时要注意在定义域之内进行．

（3）幂函数y＝xα的单调性与指数α有关，牢记α＝1，2，3，，－1五种函数的图象和性质．

[课时作业]

[A组　基础巩固]

1．化简[]的结果是（　　）

A．5B.

C．－D．－5

解析：

[]＝（）＝5＝5＝.

答案：

B

2．设a－a＝m，则等于（　　）

A．m2－2B.2－m2

C．m2＋2D．m2

解析：

对a－a＝m平方得：

a＋－2＝m2，

∴＝a＋＝m2＋2.

答案：

C

3.的值是（　　）

A．2B.2

C．2D．2

解析：

＝＝＝＝2.

答案：

A

4．

（1）0－（1－0.5－2）÷（）的值为（　　）

A．－B.

C.D．

解析：

原式＝1－（1－）÷

＝1－（－3）÷2＝1＋3×＝1＋＝.

答案：

D

5．若102x＝25，则10－x＝（　　）

A．－B.

C.D．

解析：

102x＝（10x）2＝25，∵10x>0，∴10x＝5,10－x＝＝.

答案：

B

6．已知102m＝2,10n＝3，则10－2m－10－n＝________.

解析：

由102m＝2，得10－2m＝＝；

由10n＝3，得10－n＝＝；

∴10－2m－10－n＝－＝.

答案：

7．已知2x＝（）y＋2，且9y＝3x－1，则x＋y＝________.

解析：

2x＝（）y＋2＝2，

9y＝32y＝3x－1，

∴解得，∴x＋y＝1.

答案：

1

8．已知x＋y＝12，xy＝9，且x＜y，则的值是________．

解析：

∵=

又∵x＋y＝12，xy＝9，∴（x－y）2＝（x＋y）2－4xy＝108.

又x＜y，∴x－y＝－＝－6.

代入化简后可得结果为－.

答案：

－

9．化简求值：

（1）

（2）0.5＋0.1－2＋－3π0＋；

（2）＋（0.002）－10（－2）－1＋（－）0.

解析：

（1）原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.

（2）原式＝（－1）×（3）＋（）－＋1

＝＋（500）－10（＋2）＋1

＝＋10－10－20＋1＝－.

10．完成下列式子的化简：

（1）（a－2b－3）·（－4a－1b）÷（12a－4b－2c）；

（2）2÷4×3.

解析：

（1）原式＝－4a－2－1b－3＋1÷（12a－4b－2c）

＝－a－3－（－4）b－2－（－2）c－1＝－ac－1＝－.

（2）原式＝2a÷（4ab）×（3b）

＝ab·3b＝ab.

[B组　能力提升]

1．若S＝（1＋2）（1＋2）（1＋2）（1＋2）（1＋2），则S等于（　　）

A.（1－2）－1B.（1－2）－1

C．1－2D．（1－2）

解析：

令2＝a，则S＝（1＋a）（1＋a2）（1＋a4）（1＋a8）（1＋a16）．

因为1－a≠0，所以（1－a）S＝（1－a）（1＋a）（1＋a2）（1＋a4）（1＋a8）（1＋a16）

＝（1－a2）（1＋a2）（1＋a4）（1＋a8）（1＋a16）

＝…＝1－a32＝1－2－1＝.

所以S＝（1－a）－1＝（1－2）－1.故选A.

答案：

A

2．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y等于（　　）

A.B.

C.D．

解析：

∵x＝1＋2b，∴2b＝x－1，∴2－b＝＝，

∴y＝1＋2－b＝1＋＝.

答案：

D

3．已知10a＝2，10b＝，则10＝________.

解析：

10＝（10a）2·（10b）＝

（2）2·（32）

＝2－1·2＝2.

答案：

2

4．若x1，x2为方程2x＝（）的两个实数根，则x1＋x2＝________.

解析：

∵2x＝（）＝2，

∴x＝，∴x2＋x－1＝0.

∵x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两根，

∴x1＋x2＝－1.

答案：

－1

5．已知a＝3，求

的值

解析：

＝＋＝＝－1.

6．已知x＝（5－5），n∈N＋，求（x＋）n的值．

解析：

∵1＋x2＝1＋（5－5）2

＝1＋（5－2＋5）

＝（5＋2＋5）

＝[（5＋5）]2，

∴＝（5＋5），

∴x＋

＝（5－5）＋（5＋5）

＝5.

∴（x＋）n＝（5）n＝5.

专题一　指数式、对数式的运算

指数与对数的运算应遵循的原则．

（1）指数的运算：

注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算．另外，若出现分式，则要注意对分子、分母进行因式分解，以达到约分的目的．

（2）对数的运算：

注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，一般遵循真数化简的原则进行．

[例1]　

（1）计算：

log2＝______，2log23＋log43＝______．

（2）化简＝________．

解析：

（1）log2＝log22－＝－，

2log23＋log43＝2log23×2log43＝3×＝3.

（2）原式＝＝（8a－a）－＝8－＝

（23）－＝.

答案：

（1）－　3　

（2）

归纳升华

1．对于根式的运算结果，不强求形式的统一，但结果绝不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

2．指、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据幂、对数的运算法则及性质加以解决，在运用法则时要注意法则的逆用．在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化，因此要熟练把握这些运算性质的基本特征：

（1）同底；

（2）“和积”互化．

[变式训练]　

（1）lg＋2lg2－＝________．

（2）化简＝________．

解析：

（1）原式＝lg＋lg4－2＝－1.

（2）原式＝＝＝a－1＝.

答案：

（1）－1　

（2）

专题二　基本初等函数的图象

指数函数、对数函数、幂函数图象的应用有两个方面：

一是已知函数解析式求作函数图象，即“知式求图”，此类题目往往是选择题，常借助指数函数、对数函数、幂函数的图象特征来解决；二是判断方程的根的个数，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对数函数、幂函数等图象的交点个数．

[例2]　

（1）若函数y＝logax（a>0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（　　）

（2）方程log2（x＋2）＝的实数解有（　　）

A．0个　　　　B．1个　　　　C．2个　　　　D．3个

解析：

（1）由函数y＝logax（a>0，且a≠1）的图象可知，a＝3，所以，y＝a－x，y＝（－x）3＝－x3及y＝log3（－x），这三个函数均为减函数，只有y＝x3是增函数．

（2）令y1＝log2（x＋2），y2＝，

分别画出两个函数图象，如图所示．

函数y1＝log2（x＋2）的图象是由函数y1＝log2x的图象向左平移2个单位长度得到．函数y2＝的图象是由幂函数y＝x的图象关于y轴对称得到．由图象可知，显然y1与y2有一个交点．

答案：

（1）B　

（2）B

归纳升华

识别函数的图象从以下几个方面入手：

（1）单调性，函数图象的变化趋势；

（2）奇偶性，函数图象的对称性；（3）特殊点对应的函数值．

[变式训练]　

（1）已知f（x）＝ax，g（x）＝logax（a>0，且a≠1），若f（3）·g（3）<0，那么f（x）与g（x）在同一坐标系内的图象可能是图中的（　　）

（2）如图所示，方程logx（y＋1）－logx2＝1对应的图形是（　　）

解析：

（1）因为f（x）＝ax与g（x）＝logax（a>0，且a≠1）互为反函数，于是排除A，D，对于B，C中，两图象均关于y＝x对称，又f（3）·g（3）<0，排除选项B.

（2）由logx（y＋1）－logx2＝1得y＝2x－1（x>0且x≠1，y>－1），所以图象是直线方程的一部分，结合图形知选项C正确．

答案：

（1）C　

（2）C

专题三　比较函数值大小

　比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．

[例3]　

（1）（2016·全国Ⅰ卷）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（　　）

A．logac＜logbcB．logca＜logcb

C．ac＜bcD．ca＞cb

（2）与的大小关系是______________．

解析：

（1）对于选项A：

logac＝，logbc＝，因为0＜c＜1，所以lgc＜0.而a＞b＞0，所以lga＞lgb，但不能确定lga，lgb的正负，所以logac与logbc的大小不能确定．对于选项B：

logca＝，logcb＝，而lga＞lgb，两边同乘一个负数不等号方向改变，所以logca＜logcb，所以选项B正确．对于选项C：

利用y＝xc（0＜c＜1）在第一象限内是增函数，可得ac＞bc，所以选项C错误．对于选项D：

利用y＝cx（0＜c＜1）在R上为减函数，可得ca＜cb，所以选项D错误．故选B.

（2）因为函数y1＝为减函数，又>，所以>.又因为幂函数y2＝x在（0，＋∞）上是增函数，且>，所以>.所以>.

答案：

（1）B　

（2）>

归纳升华

比较函数值的大小的一般步骤：

（1）根据函数值的特征选择适当的函数．

（2）根据所选函数的单调性，确定两个函数值的大小．

（3）当两个函数值不能直接比较时，常选择两个对应函数，再进行比较．

（4）必要时，可先将函数值与特殊数0和1进行比较，最后确定它们的大小关系．

[变式训练]　

（1）（2017·全国卷Ⅰ）设x，y，为正数，且2x＝3y＝5，则（　　）

A．2x＜3y＜5B．5＜2x＜3y

C．3y＜5＜2xD．3y＜2x＜5

（2）（2017·天津卷）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）．若a＝g（－log25.1），b＝g（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a＜b＜cB．c＜b＜a

C．b＜a＜cD．b＜c＜a

解析：

（1）令t＝2x＝3y＝5，

因为x，y，为正数，所以t＞1.

则x＝log2t＝，同理，y＝，＝.

所以2x－3y＝－＝

＝＞0，

所以2x＞3y.

又因为2x－5＝－＝

＝＜0，

所以2x＜5，

所以3y＜2x＜5.

（2）依题意a＝g（－log25.1）＝（－log25.1）·f（－log25.1）＝log25.1f（log25.1）＝g（log25.1）．

因为f（x）在R上是增函数，可设0＜x1＜x2，

则f（x1）＜f（x2）．从而