五年级下册数学期末复习专题讲义2因数和倍数.docx
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五年级下册数学期末复习专题讲义2因数和倍数
五年级下册数学期末复习专题讲义-2.因数和倍数
【知识点归纳】
1、整除：
被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
整数与自然数的关系：
整数包括自然数。
2、因数、倍数：
大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。
例：
12是6的倍数，6是12的因数。
（1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的因数的求法：
成对地按顺序找。
（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
一个数的倍数的求法：
依次乘以自然数。
（4）2、3、5的倍数特征
1）个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
2）一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
3）个位上是0或5的数，是5的倍数。
4）能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的两位数是90，最小的三位数是120。
同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。
5）如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。
3、完全数：
除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。
如：
6的因数有：
1、2、3（6除外），刚好1+2+3=6，所以6是完全数，小的完全数有6、28等
4：
自然数按能不能被2整除来分：
奇数、偶数。
奇数：
不能被2整除的数。
叫奇数。
也就是个位上是1、3、5、7、9的数。
偶数：
能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。
最小的奇数是1，最小的偶数是0.
关系：
奇数+、-偶数=奇数奇数+、-奇数=偶数偶数+、-偶数=偶数。
5、自然数按因数的个数来分：
质数、合数、1、0四类.
质数（或素数）：
只有1和它本身两个因数。
合数：
除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：
1、它本身、别的因数）。
1：
只有1个因数。
“1”既不是质数，也不是合数。
0：
最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
20以内的质数：
有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）
100以内的质数有25个：
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、
43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
100以内找质数、合数的技巧：
看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
关系：
奇数×奇数=奇数质数×质数=合数
6、最大、最小
A的最小因数是：
1；最小的奇数是：
1；
A的最大因数是：
A；最小的偶数是：
0；
A的最小倍数是：
A；最小的质数是：
2；
最小的自然数是：
0；最小的合数是：
4；
7、分解质因数：
把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。
比如：
30分解质因数是：
（30=2×3×5）
8、互质数：
公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：
5和7
两个合数的互质数：
8和9
一质一合的互质数：
7和8
两数互质的特殊情况：
⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数一定互质；
⑷2和所有奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质；
9、公因数、最大公因数
几个数公有的因数叫这些数的公因数。
其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
用短除法求两个数或三个数的最大公因数（除到互质为止，把所有的除数连乘起来）
几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。
如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。
如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。
10、公倍数、最小公倍数
几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。
其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。
用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。
如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。
11、求最大公因数和最小公倍数方法
用12和16来举例
求法一：
（列举求同法）
最大公因数的求法：
12的因数有：
1、12、2、6、3、4
16的因数有：
1、16、2、8、4
最大公因数是4
最小公倍数的求法：
12的倍数有：
12、24、36、48、…
16的倍数有：
16、32、48、…
最小公倍数是48
求法二：
（分解质因数法）
12=2×2×3
16=2×2×2×2
最大公因数是：
2×2=4（相同乘）
最小公倍数是：
2×2×3×2×2=48（相同乘×不同乘）
【典例讲解】
例1．要使25□是3的倍数，□里可以填（ ）
A．2、5、8B．2、5、6C．1、2、3
【分析】根据3的倍数的特征一个数每一位上的数字和能被3整除，这个数就是3的倍数可知，2+5再加2、5、8分别等于9、12、15是3的倍数，所以□里可以填2、5、8．
【解答】解：
因为2+5+2＝9，2+5+5＝12，2+5+8＝15，
9、12、15均能被3整除，
所以要使25□是3的倍数，□里可以填2、5、8．
故选：
A．
【点评】本题主要考查了3的倍数的特征．
例2．既是32的因数，又是8的倍数的数有 8、16、32 ．
【分析】因为8的倍数有：
8，16，24，32…；而32的因数最大是它本身，由此即可解答．一个数既是32的因数，又是8的倍数，即求32以内的8的倍数，那就先求出32的因数和8的倍数，再找共同的数即可．
【解答】解：
因为32的因数有：
1，2，4，8，16，32，
8的倍数有：
8，16，24，32…；
所以既是32的因数，又是8的倍数的数有8、16、32．
故答案为：
8、16、32．
【点评】解答此题应根据找一个数的因数的方法和找一个数倍数的方法分别进行列举，进而得出结论．
例3．23的倍数都是合数． × （判断对错）
【分析】自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数质数．质数23也是23的倍数．所以23的倍数都是合数是错误的．
【解答】解：
由于质数23也是23的倍数．所以23的倍数都是合数是错误的．
故答案为：
×．
【点评】明确23是质数是完成本题的关键．
例4．分解质因数．
150
171
【分析】根据分解质因数的意义，把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数．由此解答．
【解答】解：
150＝2×3×5×5
171＝3×3×19
【点评】此题主要考查分解质因数的方法．
例5．四年级2班有60人，体育课上需要分组游戏，要求每组人数相等，并且每组不多于15人，不少于8人，问有几种分法？
【分析】根据找一个数的因数的方法，首先找出60的因数，然后再判断即可．
【解答】解：
60的因数：
1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60；
每组10人，可以分成6组；每组12人，可以分成5组；每组15人，可以分成4组；共3种．
答：
有3种分法．
【点评】本题考查了找一个数的因数的方法．
【同步测试】
一．选择题（共10小题）
1．下面各数中，同时是2，3，5的倍数的数有（ ）
A．65B．130C．240D．100
2．一本30页的故事书翻开后看到两个页码，其中一个既是2的倍数又是5的倍数．这两页是（ ）
A．9页和10页B．10页和11页C．19页和20页D．30页和31页
3．（ ）是21的倍数，又含有因数21．
A．21B．7C．3
4．一个数既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（ ）
A．12B．24C．144
5．因为m÷n＝3，所以（ ）
A．m一定是n的倍数B．m、n的最大公因数是n
C．3可能是m的因数
6．如果□37是3的倍数，那么□里可以是（ ）
A．2、4B．3、8C．2、5、8
7．在下面四组数中，（ ）组中的数都是质数．
A．13，21，17B．91，71，51C．43，53，73D．17，37，85
8．一个合数至少有（ ）个因数．
A．1B．2C．3D．无数
9．四
（1）班的学生数是偶数，在40～50之间，如果每3人一组进行实践活动，可全部分完且没有剩余，那么这个班可能有（ ）人．
A．42B．48C．42或48
10．N是一位数，42NN3N是一个六位数，这个六位数一定是（ ）的倍效．
A．6B．5C．3
二．填空题（共8小题）
11．20以内所有质数的和是 ．
12．在0，5，9中任选两个数字组成的数中是3的倍数的是 ，同时是2、3、5的倍数的是 ．
13．一个数在40到50之间，它既是3的倍数，又是5的倍数，这个数是 ．
14．在45、9、5三个数中， 是 的因数， 是 的倍数．
15．在18的所有因数中，质数有 ，合数有 ．
16．写出16所有的因数，共能写出 个．
17．小于60的数中，7的所有倍数有 ．
18．68至少加上 才是3的倍数，至少减去 才是5的倍数．
三．判断题（共5小题）
19．1230同时是2、3、5的倍数． （判断对错）
20．因为5×4＝20，所以5和4是因数，20是倍数． （判断对错）
21．8既是8的倍数，又是8的因数． （判断对错）
22．51，89，93这3个数都可以写成几个质因数相乘的形式． （判断对错）
23．自然数中，最小的质数与最小的合数相差2． ．（判断对错）
四．计算题（共1小题）
24．用短除法将下列各数分解质因数．
56；64；84；96．
五．应用题（共6小题）
25．用10以内的两个质数组成一个两位数．
（1）
（2）
26．有三个数，分别是一位数、两位数、三位数，这三个数的乘积正好是2004，这三个数分别是多少？
27．人85个面包，如果每2个装成一袋，能正好装完吗？
如果每5个装成一袋，能正好装完吗？
如果每3个装成一袋，能正好装完吗？
为什么？
28．水果店有85个苹果，每3个装一袋，能正好装完吗？
如果不能，至少还需要加上几个就能正好装完？
29．五年级同学48人排队做操，要求每行的人数相同（至少排成2行），有几种不同的排法？
请你将他写出来．
30．有642盒牛奶，分别用6盒装和8盒装的箱子去装，选哪种箱子才能正好装完呢？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【分析】同时是2、3和5的倍数的数要满足个位上是0，而且各个数位上的数的和是3的倍数；据此逐项分析后选择．
【解答】解：
A、65不是2的倍数，A不符合题意；
B、130不是3的倍数，B不符合题意；
C、240同时是2，3，5的倍数，C符合题意；
D、100不是3的倍数，不符合题意．
故选：
C．
【点评】本题主要考查同时是2、3和5的倍数的特征，熟悉特征并灵活运用即可．
2．【分析】根据2、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；同时是2和5的倍数的数，个位上必须是0；由此可知，第1页是独立的，翻开后看到两个页码，首先是偶数，然后是奇数，其中一个页码既是2的倍数，又是5的倍数，所以翻开的页码可能是10页、11页，好像9页和10页以及19页和20页也符合条件，但是它们不在同一个翻页上，30页和31页也不行，因为只有30页，不存在31页；据此解答即可．
【解答】解：
第1页是独立的，翻开后看到两个页码，首先是偶数，然后是奇数，其中一个页码既是2的倍数，又是5的倍数，个位数字必须手0，所以翻开的页码可能是10页、11页；
其他选项A和C，9页和10页以及19页和20页，第一页不是偶数，翻开后，不会同时看到；
选项D，30页和31页，虽然是第一个页码是偶数，但是故事书只有30页，根本没有31页；
所以一本30页的故事书翻开后看到两个页码，其中一个既是2的倍数又是5的倍数．这两页是10页和11页；
故选：
B．
【点评】此题考查的目的是理解掌握2、5的倍数的特征及应用．
3．【分析】根据找一个数的因数的方法：
一个数的因数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1；根据找一个数的倍数的方法，一个数的倍数是无限的，最小的一个倍数是它本身，可见一个数的本身既是其最大因数又是其最小倍数．
【解答】解：
由分析得：
一个数既是21的倍数，又是21的因数，这个数是21，
故选：
A．
【点评】根据找一个数的因数、倍数的方法进行解答即可．
4．【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答．
【解答】解：
一个数既是12的倍数，又是12的因数，这个数是12．
故选：
A．
【点评】本题主要考查因数和倍数的意义，注意一个数的因数的最大的因数是它本身，一个数的倍数的最小的倍数是它本身．
5．【分析】根据倍数和因数的意义：
如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此判断即可．
【解答】解：
因为m÷n＝3，如果m和n不是非0自然数，则不能说m是n的倍数，也就不能说m、n的最大公因数是n；
如果m和n都是非0自然数，则3就是m的因数，所以3可能是m的因数；
故选：
C．
【点评】此题应根据因数和倍数的意义进行分析、解答；应明确：
倍数和约数不能单独存在．
6．【分析】根据3的倍数的特征，一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数．据此解答．
【解答】解：
因为3+7＝10，10不是3的倍数，10至少加上2才是3的倍数，
所以，要使口37是3的倍数，口里可以填2、5、8．
故选：
C．
【点评】此题考查的目的是理解掌握3的倍数的特征及用．
7．【分析】根据质数、合数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和题倍数还有别的因数，这样的数叫做合数．据此解答．
【解答】解：
A组中21是合数；
B组中91、71、51都是合数；
C组中43、53、73都是质数；
D组中85是合数．
故选：
C．
【点评】理解掌握质数、合数的意义，是解答关键．
8．【分析】合数是指一个大于1的自然数，除了1和它本身两个因数外，还有其它的因数．根据合数的意义直接选择．
【解答】解：
一个合数至少有3个因数．
故选：
C．
【点评】此题考查合数的意义：
合数有3个以上的因数．
9．【分析】根据求一个数的倍数的方法：
用这个数分别乘自然数1、2、3、4…，从中找出符合要求的倍数，即可解答．
【解答】解：
40～50之间3的倍数有：
42、45、48，又因四
（1）班的学生数是偶数，所以这个班可能有42人，也可能有48人．
我是这样想的：
用3分别乘自然数1、2、3、4…14、15、16，从中找出符合要求的倍数即可．
答：
这个班可能有42或48人．
故选：
C．
【点评】此题的关键是根据能被3整除的数的特征：
各个数位上数的和能被3整除进行解答．
10．【分析】这个数中已知的数字之和是4+2+3＝9，9是3的倍数，N+N+N＝3N，不论N为何值，3N一定是3的倍数，因此，这个数一定是3的倍数．
【解答】解：
4+2+3＝9，9÷3＝3
N+N+N＝3N，3N÷3＝N
（9+3N）÷3＝3+N
不论N为何值，（9+3N）都是3的倍数，
即这个六位数一定是3的倍数．
故选：
C．
【点评】根据3的倍数的特征，一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．
二．填空题（共8小题）
11．【分析】本题根据质数的定义找出20以内的所有质数之后，再相加即可．
【解答】解：
20以内所有质数的和是：
2+3+5+7+11+13+17+19＝77．
故答案为：
77．
【点评】本题通过20以内的数考查了学生对于质数的定义的理解．
12．【分析】
（1）被3整除的特征：
每一位上数字之和能被3整除．这三个数字只有0和9相加和是3的倍数．首位数字不能是0，只能组成：
90．
（2）同时是2、3和5的倍数的数个位必须是0且十位上数字是3的倍数．据此解答即可．
【解答】解：
在0，5，9中任选两个数字组成的数中是3的倍数的是90，同时是2、3、5的倍数的是90；
故答案为：
90，90．
【点评】此题考查的目的是理解掌握2、3、5的倍数的特征及应用，注意：
首位数字不能是0．
13．【分析】由题意知：
这个两位数既是3的倍数又是5的倍数，只要求出3和5的最小公倍数，然后得到该最小公倍数的倍数是在40到50之间就是要求的数．
【解答】解：
3和5是互质数，它们的最小公倍数是它们的乘积：
3×5＝15，
15×2＝30
15×3＝45
15×4＝60
故这个数是45．
故答案为：
45．
【点评】考查了找一个数的倍数的方法，本题关键是求出3和5的最小公倍数，得到最小公倍数的倍数即可得到要求的数．
14．【分析】因为5×9＝45，所以得出：
9、5是45的因数，45是9、5的倍数．
【解答】解：
由分析知：
9、5是45的因数，45是9、5的倍数；
故答案为：
9、5，45，45，9、5．
【点评】此题应根据倍数和因数的意义进行解答．
15．【分析】据因数的意义，和求一个数的因数的方法，一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数．
【解答】解：
18的因数有：
1，2，3，6，9，18．
其中2，3为质数，即其中有2个质数，6、9、18为合数，即有3个合数．
故答案为：
2、3、6、9、18．
【点评】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数的方法，以及质数与合数的意义．
16．【分析】根据找一个数因数的方法和找一个数倍数的方法，进行分别列举即可．
【解答】解：
16的因数有1、2、4、8、16，共5个；
故答案为：
5．
【点评】解答此题应根据找一个数因数和倍数的方法，进行解答．
17．【分析】本题采取列举法，7的倍数应是7与非0自然数的积；用7乘1、7乘2…直到积为60超过的前一个．
【解答】解：
7×1＝7
7×2＝14
7×3＝21
7×4＝28
7×5＝35
7×6＝42
7×7＝49
7×8＝56
7×9＝63（已经超过60）
所以小于60的数中，7的所有倍数有7、14、21、28、35、42、49、56；
故答案为：
7、14、21、28、35、42、49、56．
【点评】本题利用列举法直接求解，注意积的取值范围不要超过60即可．
18．【分析】根据“3的倍数特征：
每一位上数字之和是3的倍数；5的倍数特征：
个位上是0或5的数；”进而得出结论．
【解答】解：
6+8＝14，因为15是3的倍数，所以至少应加上：
15﹣14＝1；
因为68的个位是8，只有个位数是0或5时，才是5的倍数；故至少减去3．
故答案为：
1，3．
【点评】解答此题的关键：
（1）根据3的倍数的特征；
（2）根据5的倍数的特征．
三．判断题（共5小题）
19．【分析】根据2、3、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8、的数都是2的倍数；各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；同时是2、5、3的倍数的特征是个位上必须是0且各位上的数字之和是3的倍数．据此解答．
【解答】解：
因为1+3+2＝0＝6，6是3的倍数；所以1320是3的倍数，
又因为1320的个位是0，所以1320是2和5的倍数，
即1320同时是2、3、5的倍数．
所以“1320同时是2、3、5的倍数”的说法是正确的．
故答案为：
√．
【点评】此题考查的目的是理解掌握2、3、5的倍数的特征．
20．【分析】根据因数和倍数的意义：
如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．
【解答】解：
因为4×5＝20，所以20÷4＝5，20÷5＝4，
那么可以说5和4是20的因数，20是5和4的倍数；
因数和倍数不能单独存在，所以本题说法错误；
故答案为：
×．
【点评】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在．
21．【分析】根据找一个数的因数的方法：
一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1；根据找一个数的倍数的方法，一个数的倍数的个数是无限的，最小的一个倍数是它本身，可见一个数的本身既是其最大因数又是其最小倍数．
【解答】解：
8既是8的倍数，又是8的因数，
原题说法正确．
故答案为：
√．
【点评】根据找一个数的因数、倍数的方法进行解答即可．
22．【分析】根据合数的定义：
一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数，分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，据此解答．
【解答】解：
只有合数才能分解质因数，在51，89，93这3个数中，51和93是合数，89不是合数，不能分解质因数，所以原题说法错误；
故答案为：
×．
【点评】此题主要考查合数的定义以及分解质因数的意义．
23．【分析】自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数．由此可知，最小的质数是2，最小的合数是4，据此解答即可．
【解答】解：
在自然数中最小的质数是2，最小的合数是4，
最小的质数与最小的合数相差：
4﹣2＝2，
所以原题说法正确；
故答案为：
√．
【点评】解答本题关键是理解质数与合数的定义．
四．计算题（共1小题）
24．【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解．
【解答】解：
56＝2×2×2×7；
64＝2×2×2×2×2×2；
84＝2×2×3×7；
96＝2×2×2×2×2×3．
【点评】此题主要考查用短除法分解质因数，要注意分解质因数的书写形式．
五．应用题（共6小题）
25．【分析】
（1）10以内的质数有：
2、3、5、7；既有约数3，又能被2整除的数的特征是：
个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数的和是3的倍数；据此可推断这样的两位数是72；
（2）用10以内的两个质数组成一个两位数，有因数3，也有因数5，即这个两位数个位上的数字是0或5，各个数位上的数的和是3的倍数，所以这个两位数是75；由此解答即可．
【解答】解：
（1）这个两位数是2和3的公倍数是72；
（2）用10以内的两个质数组成一个两位数，有因数3，也有因数5，这个数是75．
填写如下：
（1）
（2）
故答案为：
72，75．
【点评】此题考查能同时被2、3、5整除的数的特征及其运用，也考查了10以内的质数．
26．【分析】把2004进行分解质因数，进而结合题意，写出这三个数即可．
【解答】解：
2004＝2×2×3×167＝12×167
所以这三个数是1、12、167．
【点评】灵活掌握分解质因数的方法，是解答此题的关键．
27．【分析】
（1）根据能被2整除的特征：
即个位上是0、2、4、6、8的数判断即可；
（2）根据能被5整除的特征：
即个位上是0或5的数判断即可；
（3）根据能被3整除的特征：
各个数位上的数字之和能被3整除这个数就能被3整除，判断即可．
【解答】解：
（1）85个位上是5，不能被2整除，
所以每2个装一袋，不能正好装完；
答：
不能正好装完；
（2）85个位上是5，能被5整除，
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