第9讲比例线段及由平行线截得的比例线段 学生版.docx

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第9讲比例线段及由平行线截得的比例线段学生版

第9讲　比例线段及由平行线截得的比例线段

（一）、夯实基础

一、比例线段

1、比例：

如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例。

通常我们把a、b、c、d四个实数成比例表示成，或，其中b、c称做内项，a、d称做外项。

2、比例的性质：

①基本性质：

（a、b、c、d都不为零）；

②合、分比性质：

或；

③等比性质：

若（）则；

④比例中项：

若（或），则b就叫做a、c的比例中项，。

3、两条线段的比：

两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。

4、比例线段：

一般地，四条线段、、、中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。

6、黄金分割：

如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使，那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，线段AP与AB的比叫做黄金比。

（黄金比）

二、平行线分线段成比例

①基本事实：

两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例。

②公式表达：

如图1，如果，则，，；

③推论1：

如图2，若，则；

④推论2：

如图3，若，则；

（二）、题型训练

考点一、比例线段

【例1】（☆☆）下列各组数中，成比例的是（　　）

A．-7，-5，14，5B．-6，-8，3，4C．3，5，9，12D．2，3，6，12

【例2】（☆☆）已知，且，则的值为（）

A.B.2C.3D.

【例3】1.（☆☆）已知，则的值为（）

A.B.C.D.

2.（☆☆）已知，那么下列式子成立的是（）

A.B.C.D.

【例4】（☆☆）若，且，则的值为（）

A.B.C.1D.

【例5】（☆☆☆）已知、、是非零实数，且，求的值。

举一反三

1.（☆☆）在中的.

2.（☆☆）若a：

b=3：

4，则b：

（a-b）的值为（　　）

A．3B．-3C．4D．-4

3.（☆☆）已知，那么下列等式中一定正确的是（　　）

A.B.C.D.

4.（☆☆）若，且，则，，.

5.（☆☆）若，则.

6.（☆☆）若，则.

7.（☆☆）已知、、是非零实数，并满足，且，求的值.

8.（☆☆）若（a+b）:

c=（b+c）:

a=（a+c）:

b=1+m2,求m的值.

9.（☆☆☆）已知三个数，1，，.请添加一个数，使他们构成比例式，则这个数是什么？

请写出答案。

【例6】（☆☆）在比例尺为的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为7，它的实际长度约为（）

A.B.C.D.

【例7】（☆☆），，那么、的比例中项.

【例8】（☆☆）已知点是的黄金分割点（），若，则的长为（）

A.B.C.D.

【例9】（☆☆）宽与长之比为的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，如图，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？

请证明你的结论.

【例10】（☆☆☆）已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图排列，则图中阴影部分面积为.

【例11】（☆☆）正△ABC的边长与高线的比为，正方形的对角线和边长的比为.

举一反三

1.（☆☆）图纸上画出的某个零件的长是32，如果比例尺是，这个零件的实际长是.

2.（☆☆）已知，线段，，则线段、的比例中项是.

3.（☆☆）已知、是线段的两个黄金分割点，且，则长为（）

A.B.C.D.

4.（☆☆）如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH。

则点H是AB的黄金分割点。

为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？

请试一试，说一说.

5.（☆☆）已知△ABC中，∠A=30，∠B=45。

求

（1）的比值；

（2）求AB:

AC:

BC。

二、平行线分线段成比例

1.（☆☆）如图，，且，，求的长为。

2.（☆☆）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE//BF，EF//BD，且AD：

DB=3：

5，那么CF：

CB等于（　　）

A．3：

5B．3：

8C．5：

8D．2：

5

3.（☆☆）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，已知AB=2，AC=5，DF=6，则DE的长是（　　）

A．3B．C．D．

4.（☆☆☆）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与三条平行线分别交于点A、B、C、D、E、F，已知AB=1，BC=3，DE=2，AD=2.

（1）求EF的长；

（2）求CF的长.

5.（☆☆☆）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长.

6.（☆☆）如图所示，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于点E，AB=6cm，CD=12cm，求EF.

7.（☆☆☆）已知：

如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD与点G和点H，BD=12，EF=8．求：

（1）的值；

（2）线段GH的长．

8.（☆☆☆）AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：

ED=1：

3，BE的延长线交AC于F，AF：

FC=（　　）

A．1：

3B．1：

4C．1：

5D．1：

6

举一反三

1.（☆）如图，已知在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，AD：

DB=3：

5，那么AE：

AC等于（　　）

A．3：

8B．5：

8C．3：

5D．2：

5

2.（☆☆☆）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与三条平行线分别交于点A、B、C、D、E、F，已知AB=1，BC=，DE=2，AD=.

（1）求EF的长；

（2）求CF的长.

3.（☆☆☆）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E，F，G，H分别在边AB、BC、CD、DA上．若四边形EFGH为平行四边形，且EF∥AC，则▱EFGH的周长为．

4.（☆☆）如图，已知AB∥CD，AC、BD相交于点O，过点D作DE∥BC交AB于点E，E为AB中点，交AC于点F，则=．

5.（☆☆）如图所示，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于点E，AB=6cm，CD=9cm，求EF.

6.（☆☆☆）如图，已知AD是△ABC的中线，E是AD上的点，且AE=2DE，连接BE并延长交AC于F．

（1）求证：

AF=FC；

（2）求的值．

（三）、课下继续夯实

1.（☆☆）下列线段能成比例线段的是（）

A.1，2，3，4B.1，，，2

C.，，，1D.2，5，3，4

2.（☆☆）中的。

3.（☆☆）已知，则（　　）

A．-17B．-1C．D．17

4.（☆☆）已知点M将线段AB黄金分割（AM＞BM），则下列各式中不正确的是（）

A．AM∶BM=AB∶AMB．AM=AB

C．BM=ABD．AM≈0.618AB

5.（☆☆）已知，且，那么，，.

6.（☆☆）若，则.

7.（☆☆）已知，则①；②.

8.（☆☆）线段，，，那么、、的第四比例项.

9.（☆☆）如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割。

已知AB=10cm，则AC的长约为cm（结果精确到0.1cm）.

10.（☆☆）如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，，DE=6，则EF=．

11.（☆☆）如图，已知，，，，则。

12.（☆☆）已知、、为的三边，且，，求的面积。

13.（☆☆）如图，线段AB=2，点C是AB的黄金分割点（AC

14.（☆☆）已知，①求的值；②若，求、、。

15.（☆☆）如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B、C，AC和BD相交于点E，EF⊥BC，垂足为F，求证。

16.（☆☆）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.58，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为多少？

17.（☆☆☆）△ABC中,D是BC上一点,BD=3CD,F是AD中点,连BF延长交AC于E。

求AE:

EC.

18.（☆☆☆）矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在BC，CD，DA，AB上，若∠1=∠2=∠3=∠4．

（1）求证：

四边形EFGH为平行四边形；

（2）若AB=6，BC=8，求四边形EFGH的周长．